„Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)“ – Versionsunterschied

Ein p-Quantil ist ein Lagemaß in der Statistik, wobei p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist. Das p-Quantil ist ein Merkmalswert, der die Verteilung einer Variablen bzw. Zufallsvariablen in zwei Teile teilt. Links vom p-Quantil liegen 100·p Prozent aller Beobachtungswerte bzw. der Masse der Zufallsvariablen. Rechts davon liegen 100·(1−p) Prozent aller Beobachtungswerte bzw. der Masse der Zufallsvariablen.

Spezielle Quantile sind der Median, die Quartile, die Quintile, die Dezile und die Perzentile.

Als Quantil der Ordnung ${\displaystyle p}$ oder ${\displaystyle p}$-Quantil (${\displaystyle Q_{p}}$; veraltet auch „Fraktil“) wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet, unterhalb dessen ein vorgegebener Anteil ${\displaystyle p}$ aller Fälle der Verteilung liegt. Jeder Wert unterhalb von ${\displaystyle Q_{p}}$ unterschreitet diesen vorgegebenen Anteil. Deshalb wird ${\displaystyle p}$ auch als Unterschreitungsanteil bezeichnet. Dabei ist ${\displaystyle p}$ eine reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und 1 (alle Fälle oder 100 % der Verteilung).

Allgemeiner wird in der Mathematik das ${\displaystyle p}$-Quantil wie folgt definiert. Sei ${\displaystyle X}$ eine Zufallsvariable und ${\displaystyle F}$ ihre Verteilungsfunktion, so heißt für ${\displaystyle p\in (0,1)}$ die durch

${\displaystyle F^{-1}(p):=\inf\{x\in \mathbb {R} :F(x)\geq p\}}$

definierte Funktion ${\displaystyle F^{-1}}$ Quantilfunktion. ${\displaystyle F^{-1}(p)}$ wird als ${\displaystyle p}$-Quantil von ${\displaystyle F}$ (oder ${\displaystyle X}$) bezeichnet.

Das Quantil ${\displaystyle Q_{.3}}$ (oder 0,3-Quantil) ist der Wert des Punktes einer Verteilung, unterhalb dessen sich 30 % aller Fälle der Verteilung befinden.

Für einige bestimmte ${\displaystyle p}$ haben die ${\displaystyle p}$-Quantile zusätzliche Bezeichnungen.

Der Median oder Zentralwert entspricht dem Quantil ${\displaystyle Q_{.5}}$ (0,5-Quantil). Es erfolgt also eine Einteilung der gesamten Verteilung in zwei gleich große Teile. Bei jeder Einteilung in eine ungerade Anzahl von ${\displaystyle p}$-Quantilen mit äquidistant-verteilten ${\displaystyle p}$ (was eine gerade Anzahl gleich großer Teile impliziert) entspricht der Median jeweils dem mittleren Quantil (beispielsweise dem 2. Quartil Q2 oder dem 50. Perzentil P50).

Quartile (lat. „Viertelwerte“) sind die Quantile ${\displaystyle Q_{.25}}$ (0,25-Quantil), ${\displaystyle Q_{.5}}$ (0,5-Quantil=Median) und ${\displaystyle Q_{.75}}$ (0,75-Quantil), die auch als Q1 („unteres Quartil“), Q2 („mittleres Quartil“) und Q3 („oberes Quartil“) bezeichnet werden. Sie sind die in der Statistik mit am häufigsten verwendete Form der Quantile.

Der (Inter-)Quartilabstand oder auch (Inter-)Quartilsabstand (engl. interquartile range) bezeichnet die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil, also ${\displaystyle Q_{.75}-Q_{.25}}$ und umfasst daher 50 % der Verteilung. Der Quartilabstand wird als Streuungsmaß verwendet.

Siehe auch: Streuung (Statistik)

Durch Quintile (lat. „Fünftelwerte“) wird die Verteilung in 5 gleich große Teile zerlegt. Unterhalb des ersten Quintils, d. h. des Quantils ${\displaystyle Q_{.2}}$, liegen 20 % der Verteilung, unterhalb des zweiten Quintils (Quantil ${\displaystyle Q_{.4}}$) 40 % usw.

Durch Dezile (lat. „Zehntelwerte“) wird die Verteilung in 10 gleich große Teile zerlegt. Entsprechend liegen dann z. B. unterhalb des dritten Dezils (Quantil ${\displaystyle Q_{.3}}$) 30 % der Verteilung. Dezile teilen ein der Größe nach geordnetes Datenbündel in 10 gleich große Teile. Das 10-%-Dezil (oder 1. Dezil) gibt an, welcher Wert die unteren 10 % von den oberen 90 % der Datenwerte trennt, das 2. Dezil, welcher Wert die unteren 20 % von den oberen 80 % der Werte trennt, usw. Der Abstand zwischen dem 10-%-Dezil und dem 90-%-Dezil heißt Interdezilbereich.

Durch Perzentile (lat. „Hundertstelwerte“), auch Prozentränge genannt, wird die Verteilung in 100 gleich große Teile zerlegt. Perzentile teilen die Verteilung also in 1-%-Segmente auf. Daher können Perzentile als Quantile betrachtet werden, bei denen ${\displaystyle 100\cdot p}$ eine ganze Zahl ist. So entspricht das Quantil ${\displaystyle Q_{.97}}$ dem Perzentil P97: unterhalb dieses Punktes liegen 97 % aller Fälle der Verteilung.

Für ${\displaystyle a}$ aus ${\displaystyle (0,1)}$ wird das ${\displaystyle (1-a)}$-Quantil auch als a-Fraktil bezeichnet. Diese Unterteilung wird z.B. in der als „Paretoprinzip“ bezeichneten Vermutung verwendet.

• Wenn eine Schule 141 Schüler hat, so hat derjenige Schüler den Alters-Prozentrang von 50, der älter ist als die 70 jüngeren Schüler, aber jünger als die 70 älteren Schüler. Ein Prozentrang von 50 oder das 50. Perzentil entspricht dem 0,5-Quantil, also dem Median.
  Für den Prozentrang ist unerheblich, welche Altersunterschiede zwischen den Schülern bestehen; der Prozentrang gibt nur Auskunft über die Position des Einzelnen innerhalb der Gruppe (Stichprobe). Das Alter der Person mit Prozentrang 50 ist deshalb nicht identisch mit dem Durchschnittsalter der betrachteten Gruppe. Deshalb würde sich am Median auch nichts ändern, wenn man die älteren 70 Schüler durch 70 Rentner ersetzen würde.
• In einer Schulklasse sind 13 Aufsätze geschrieben worden, mit der folgenden (sortierten) Notenverteilung:

   Aufsatz A B C D E F G H I J K L M
   Note    1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 6

Die Noten der Aufsätze D („2“), G („3“) und J („4“) entsprechen jeweils Q1, Q2 (d. h. dem Median) und Q3.

• Wird die Körpergröße eines Kindes als Perzentil ausgedrückt, bedeutet dies, dass die Körpergröße in Bezug auf die Körpergrößen der Altersgenossen angegeben wird. Eine Körpergröße auf dem 20. Perzentil bedeutet beispielsweise, dass 20 % der Kinder gleichen Alters und gleichen Geschlechts nicht größer als das betreffende Kind sind (80 % sind größer).

• Modalwert
• Median
• Parameter (Statistik)
• Boxplot zur grafischen Darstellung
• Value at Risk
• Cornish-Fisher-Methode
• Quantile-Quantile-Plot

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 2004, ISBN 3-11-018282-3, S. 225 (Definition Quantil, Quartil, a-Fraktil.).