Quelltext der Seite Zustand (Quantenmechanik)

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Ein '''quantenmechanischer Zustand''' ist die Beschreibung des [[Zustand (Physik)|Zustands]] eines [[Physikalisches System|physikalischen Systems]] nach den Regeln der [[Quantenmechanik]]. Diese Beschreibung unterscheidet sich grundlegend von derjenigen nach den Regeln der [[Klassische Physik|klassischen Physik]], damit die an quantenphysikalischen Systemen beobachteten Phänomene erfasst werden können. Zu den verschiedenen [[Interpretationen der Quantenmechanik]] gehören zum Teil unterschiedliche Zustandsbegriffe. Dieser Artikel behandelt den Zustandsbegriff der weit verbreiteten [[Kopenhagener Deutung|Kopenhagener Interpretation]].

== Überblick ==
=== Physikalischer Gehalt ===
Viele der physikalischen Beobachtungen, die an [[Quantensystem]]en gemacht werden, sind auf der Grundlage der Zustandsbegriffe der [[Klassische Physik|klassischen Physik]] nicht mehr zu erfassen.<ref>Das wird in fast allen Lehrbüchern der Quantenphysik ausführlich dargestellt. Z.&nbsp;B. in Richard Feynman: ''[[Feynman-Vorlesungen über Physik]]'' Band&nbsp;3, Quantenmechanik, Kap. 16. ISBN 0-201-02115-3 (dt. ''Vorlesungen über Physik''. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58444-8), zuerst 1963/1965 bei Addison/Wesley.</ref>

==== Streuung der Messwerte, Wahrscheinlichkeitsaussagen ====
In der klassischen Physik ist der Zustand eines Systems zu jedem Zeitpunkt durch bestimmte Werte für jeden der [[Freiheitsgrad]]e des Systems gegeben. Aus diesen lässt sich für jede am System beobachtbare physikalische Größe der aktuelle Wert berechnen. Diese Werte sind damit auch eindeutig als die [[Messwert]]e vorhergesagt, die bei einer (idealen) entsprechenden [[Messung]] gemessen werden würden. Beispiele sind Ort oder Geschwindigkeit eines Körpers. Auch in der Quantenmechanik stellt der Zustand die genaueste physikalische Beschreibung dar, die physikalisch möglich ist, kann aber im Gegensatz zum klassischen Zustand nicht für jede Messung ''einen'' mit Sicherheit zu erwartenden Messwert festlegen, sondern nur für ''jedes der möglichen'' Messergebnisse die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P</math> (<math>0 \le P \le 1</math>), dass gerade dieser Wert eintritt (siehe z.&nbsp;B. [[Quantenmechanische Messung]]). Nur im Grenzfall <math>P=1</math> für einen Messwert (und damit <math>P=0</math> für alle anderen) ist dieser Messwert sicher vorhergesagt. Diesen Fall gibt es nur bei besonderen Zuständen, die als [[Eigenzustand|Eigenzustände]] zu der betreffenden Messgröße bezeichnet werden. In allen anderen Zuständen zeigen wiederholte Messwerte eine Streuung oder Unbestimmtheit, die für die ganze Quantenphysik charakteristisch ist, weil es keine andere Beschreibung gibt, in der die Messwerte genauer vorherzusagen wären. Dann nimmt das System erst durch die Messung einen bestimmten Wert für die gemessene Größe an. Sein Zustand geht damit auch unstetig in den entsprechenden Eigenzustand über ([[Zustandsreduktion]]), sodass gewährleistet ist, dass für eine unmittelbar folgende Wiederholung der Messung mit Sicherheit derselbe Messwert vorhergesagt wird. Die Zustandsreduktion läuft nicht als ein physikalischer Vorgang ab, sondern beschreibt den durch die Messung gewonnenen Informationszuwachs des Beobachters. So wird durch eine Messung der Zustand des Systems im Allgemeinen auf eine Weise verändert, die nur mit gewisser Wahrscheinlichkeit vorhergesagt und nicht weiter beeinflusst werden kann.<ref name="Neumann">{{Literatur |Autor=John von Neumann |Titel=Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1996 |ISBN=978-3-642-64828-1 |DOI=10.1007/978-3-642-61409-5}} Insbesondere Kap. VI, ''Der Meßprozeß.''</ref> Daher findet eine [[Determinismus|deterministische]] [[Zeitentwicklung]] des quantenmechanischen Zustands nur im Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Messungen statt. In diesem Zeitraum entwickelt sich der Zustand gemäß einer deterministischen [[Bewegungsgleichung]]: im [[Spezielle Relativitätstheorie|nichtrelativistischen]] Fall gemäß der [[Schrödinger-Gleichung]], im relativistischen, abhängig von [[Spin]] und [[Masse (Physik)|Masse]] des Teilchens, gemäß der [[Klein-Gordon-Gleichung]] (Spin&nbsp;0), der [[Dirac-Gleichung]] (massiv, Spin&nbsp;½), der [[Weyl-Gleichung]] (masselos, Spin&nbsp;½), der [[Proca-Gleichung]] (massiv, Spin&nbsp;1) oder der [[Maxwell-Gleichungen]] (masselos, Spin&nbsp;1).

Für zwei verschiedene Messgrößen existieren in vielen Fällen keine gemeinsamen Eigenzustände. Solche Paare von physikalischen Größen können daher in keinem Zustand gleichzeitig mit scharfen Werten vorliegen, so z.&nbsp;B. der Ort und die Geschwindigkeit eines Körpers. Zwei Messgrößen dieser Art heißen zueinander [[Kommensurabilität (Quantenmechanik)|inkommensurabel]]. Die Präparation eines Systems in einem bestimmten Zustand kann daher nicht so erfolgen, dass für sämtliche Freiheitsgrade feste Werte vorgegeben werden, sondern bestenfalls für einen maximalen Satz solcher physikalischer Größen, die untereinander alle [[Kommensurabilität (Quantenmechanik)|kommensurabel]] sind.<ref>{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Nolting (Physiker)|Wolfgang Nolting]] |Titel=Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik – Grundlagen |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-42114-9 |Seiten=119}}</ref> Anschließend befindet sich das System in einem wohldefinierten gemeinsamen Eigenzustand aller dieser Größen, während für alle zum gewählten Satz nicht kommensurablen Größen die Messwerte streuen. Diese Unbestimmtheit wird durch die [[Heisenbergsche Unschärferelation]] ausgedrückt.

==== Unvollständige Präparation, statistisches Gemisch, inkohärente Überlagerung ====
Werden viele gleichartige Systeme so präpariert, dass sie nur für eine Auswahl der kommensurablen Größen denselben Eigenzustand haben, liegt eine unvollständige Präparation vor (z.&nbsp;B., wenn die Elektronen in einem Elektronenstrahl nur in den drei Komponenten des [[Impuls]]es übereinstimmen, aber nicht in der Ausrichtung ihrer [[Spin]]s). So erhält man ein statistisches Gemisch von Systemen, die hinsichtlich der zur Präparation ausgewählten Größen alle im selben Eigenzustand sind, hinsichtlich der anderen (kommensurablen) Größen aber in verschiedenen Eigenzuständen. Die Messwerte dieser Größen streuen dann nicht wegen der quantenmechanischen Unbestimmtheit, sondern weil sie schon vor der Messung verschiedene Werte hatten. Diese Form der Überlagerung wird als inkohärente Überlagerung oder [[Reiner und gemischter Zustand|Zustandsgemisch]] bezeichnet. Sie ist in der klassischen Physik genau so möglich, zeigt in der Quantenmechanik jedoch neue Eigenschaften.<ref name="SchröBoltzHeis">[[Erwin Schrödinger]] nennt diese Art der Unbestimmtheit „Boltzmannisch“, weil sie in der klassischen statistischen Physik, z.&nbsp;B. in der [[Kinetische Gastheorie|kinetischen Gastheorie]], der Unkenntnis des Zustands eines herausgegriffenen Teilchens entspricht. Die quantenmechanische Unbestimmtheit, die durch die Unschärferelation ausgedrückt wird und die schon in einem einzelnen wohldefinierten Zustand vorliegen kann, nennt er „Heisenbergisch“.<br />[[Karl von Meyenn]]: ''Eine Entdeckung von ganz außerordentlicher Tragweite – Schrödingers Briefwechsel zur Wellenmechanik und zum Katzenparadoxon'', Springer Verlag, 2011, S.&nbsp;566.</ref>

==== Kohärente Überlagerung und Interferenz (Superposition) ====
In der klassischen Physik kann es eine [[Kohärenz (Physik)|kohärente]] Überlagerung von zwei Zuständen –&nbsp;aus der ein einziger neuer Zustand hervorgeht&nbsp;– nur bei [[Schwingungen]] und [[Welle]]n geben, nicht bei Teilchen. In der Quantenphysik hingegen muss bei jedem System die Überlagerung zweier Zustände einen möglichen Zustand ergeben. Anders wäre das Entstehen von Interferenzmustern durch konstruktive und destruktive [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] nicht zu verstehen. Ein Beispiel zeigt sich im [[Doppelspaltexperiment]], wo man am Intensitätsmuster auf dem Schirm ablesen kann, dass sich die zwei Zustände überlagern, bei denen dasselbe Teilchen nur von dem einen bzw. nur von dem anderen Spalt aus zum Schirm fliegt.

==== Zusammengesetzte Systeme, Quantenverschränkung ====
Diese beiden Charakteristika zusammengenommen ergeben weiterhin die Möglichkeit, dass zwei Teile eines größeren Systems eine Art von [[Quantenverschränkung|Verschränkung]] zeigen, die in der klassischen Physik nicht vorkommt.<ref name="Mitt2002">{{Literatur |Autor=Peter Mittelstaedt |Titel=100 Jahre Quantenphysik: Universell und inkonsistent? Quantenmechanik am Ende des 20. Jahrhunderts |Sammelwerk=Physikalische Blätter 56.12 (2000) |Band=56 |Nummer=12 |Datum=2000 |Seiten=65–68 |Online=[https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/phbl.20000561218 online] |Abruf=2024-07-20}}</ref>

Dies sei hier am Beispiel eines zusammengesetzten Systems dargestellt, das sich in einem seiner eindeutig bestimmten Zustände befindet, wo es also unmöglich ist, für diesen Zustand eine noch detailliertere Beschreibung zu geben. Wenn es sich zum Beispiel um einen Energieeigenzustand des Gesamtsystems handelt, dann liegt der Wert der Gesamtenergie fest, aber es ist damit nicht immer festgelegt, dass auch jedes Teilsystem in einem seiner Energieeigenzustände ist. Verschränkung der beiden Teilsysteme bedeutet dann vielmehr, dass in dem wohlbestimmten Zustand des Gesamtsystems die Möglichkeit von mehreren verschiedenen Aufteilungen der Energie auf die Teilsysteme angelegt ist, bei denen nur die Summe mit der Energie des Gesamtsystems übereinstimmt. Daher kann die Messung der Energie des ersten Teilsystems verschiedene Werte ergeben, wobei durch die entsprechende Zustandsreduktion des Zustands des Gesamtsystems wegen der Verschränkung stets sichergestellt ist, dass danach das zweite System genau den dazu passenden Energieinhalt besitzt. Das heißt, nach der Messung am ersten Teilsystem befindet sich nicht nur dieses in einem seiner Energieeigenzustände, sondern auch das zweite, auch dessen Zustand hat sich geändert. Das gilt entgegen aller alltäglichen Anschauung auch dann, wenn die Messung das zweite System sonst in keiner Weise beeinflusst hat, einschließlich des Falls, dass die beiden Teilsysteme beliebig weit voneinander entfernt sind.

Bei dieser quantenmechanischen Verschränkung ist zu beachten, dass die Energieeigenzustände eines Teilsystems, beispielsweise des ersten, die mit gewissen Wahrscheinlichkeiten im Gesamtzustand enthalten sind, eine inkohärente Überlagerung bilden, keine kohärente. Interferenzeffekte zwischen verschiedenen solcher Zustände des einen Teilsystems sind ausgeschlossen, außer in dem Sonderfall, dass sie durch die Verschränkung nicht an verschiedene Eigenzustände des anderen Teilsystems gekoppelt sind, sondern an exakt denselben. Ohne den Nachweis von Interferenzen kann aber durch keine Beobachtung ausgeschlossen werden, dass jedes der beiden Teilsysteme schon vor der Messung jeweils in einem bestimmten Zustand gewesen sei, man aber nur nicht wisse, in welchem. Man kann diese Folge der quantenmechanischen Verschränkung insoweit ebenso gut als Folge der bloßen Unkenntnis einer Verteilung begreifen, die schon vor der Messung real vorliegt (wobei es gleichzeitig für das Gesamtsystem keine vollständigere Beschreibung geben kann als durch seinen –&nbsp;hier als bekannt vorausgesetzten&nbsp;– quantenmechanischen Zustand). Dann wäre sie noch mit dem klassischen Zustandsbegriff verträglich.<ref name="SchröBoltzHeis"/> (Beim Würfeln sind verschiedene Augenzahlen möglich und jeweils mit bestimmten festgelegten Konsequenzen verknüpft. Man weiß aber auch erst nach dem Aufdecken des Würfelbechers, welche der Kombinationen von Augenzahl und Konsequenz eingetreten ist.) Im obigen Beispiel etwa kann man sich vorstellen, dass zwischen den beiden Teilsystemen ständig Energie ausgetauscht wird, wie etwa zwischen zwei Systemen im thermischen Gleichgewicht, nur dass die momentane Energieverteilung im Augenblick der Messung nicht vorhersagbar ist. Demnach beruht diese Verschränkung, genau wie bei der oben erwähnten unvollständigen Präparation, auf partieller Unkenntnis des genauen Zustands und widerspricht nicht der klassischen Vorstellung, dass jedes Teilsystem zu jedem Zeitpunkt einen wohlbestimmten Zustand habe.

Diese klassisch und anschaulich mögliche Vorstellung kann aber in der Quantenphysik letztendlich doch nicht aufrechterhalten werden. Denn anders, als in der klassischen Physik denkbar, kann die Verschränkung in bestimmten Experimenten (siehe [[Quantenradierer]]) von der inkohärenten Überlagerung zu einer kohärenten umgewandelt werden, indem die Unterschiede zwischen den Zuständen des zweiten Systems, die die Interferenz verhindern, zum Verschwinden gebracht werden. Dann erscheinen die Interferenzmuster aufs Neue und zeigen, dass das Teilsystem nun nicht mehr entweder in dem einen oder in dem anderen Zustand war, sondern im Zustand einer kohärenten Überlagerung beider. Das gelang bisher allerdings nur, wenn das zweite Teilsystem ein Quantensystem aus höchstens wenigen Teilchen ist. Quantenmechanische Verschränkungen mit großen, z.&nbsp;B. makroskopischen Systemen, sind daher durch Beobachtungen nicht vom klassischen Fall der Verschränkung durch Unkenntnis eines real vorliegenden Zustands zu unterscheiden (siehe z.&nbsp;B. [[Schrödingers Katze]] und [[Dekohärenz]]).

=== Mathematische Darstellung ===
Mathematisch wird der quantenmechanische Zustand meist durch einen auf den Betrag 1 normierten '''Zustandsvektor''' im [[Hilbertraum]] beschrieben. Mithilfe einer Basis des Hilbertraums mit diskretem Index kann dieser Zustandsvektor als [[Linearkombination]] der Basisvektoren geschrieben werden, oder bei einer Basis mit kontinuierlichem Index als [[Wellenfunktion]]. Zu jedem der (bei gegebenem Zustand) möglichen Messwerte einer physikalischen Größe besitzt der zugehörige Zustandsvektor mindestens eine Komponente. Die Stärke einer Komponente, ihre „Amplitude“, bestimmt die Wahrscheinlichkeit, mit der der betreffende Messwert als Ergebnis einer Messung auftritt; diese Wahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat der Amplitude.

Die Zuordnung von einem gegebenen Zustand zu einem Zustandsvektor ist nicht eindeutig, denn Zustandsvektoren, die sich nur durch einen konstanten komplexen Phasenfaktor unterscheiden, beschreiben denselben physikalischen Zustand. Jede Linearkombination der Zustandsvektoren zweier verschiedener Zustände ist (nach Normierung) selbst ein möglicher Zustandsvektor, der als ''kohärente Überlagerung'' der beiden Zustände bezeichnet wird. Diese Überlagerung ist kohärent, weil es von der (relativen) Phase der beiden komplexen Koeffizienten abhängt, welcher von den möglichen physikalisch verschiedenen Zuständen durch die Linearkombination beschrieben wird. Die theoretischen Grundlagen für eine Beschreibung des quantenmechanischen Zustands als Hilbertraumvektor mit der Möglichkeit der Linearkombination wurden 1925 von [[Werner Heisenberg]] in der [[Matrizenmechanik]] entwickelt, die Beschreibung als Wellenfunktion in der [[Ortsoperator#Ortsdarstellung|Orts-]] oder [[Ortsoperator#Impulsdarstellung|Impulsbasis]] 1926 von [[Erwin Schrödinger]] in der [[Wellenmechanik]]. Ein solcher Zustand wird auch als [[Reiner und gemischter Zustand|reiner Zustand]] bezeichnet, um ihn von dem Fall des [[Reiner und gemischter Zustand|gemischten Zustands]] zu unterscheiden, der ein mit einem anderen System verschränktes System beschreibt.

Die beiden Beschreibungen als Vektor oder Wellenfunktion beruhen auf derselben tiefer liegenden mathematischen Struktur, die auch für die klassische Physik gilt. Jeder Zustand wird mit einer [[Funktion (Mathematik)|mathematischen Funktion]] identifiziert, die jedem der Operatoren, die eine Messgröße darstellen, eine reelle Zahl zuordnet. Der Zustand wird hier also als eine Abbildung von der Menge der Operatoren in die Menge der reellen Zahlen aufgefasst. Der Funktionswert ist in der klassischen Physik der sicher zu erwartende Messwert, in der Quantenmechanik aber der [[Erwartungswert]], der sich als Mittelwert der bei einzelnen Messungen streuenden möglichen Messergebnisse ergibt. Bei dieser Begriffsbildung, die 1931 von [[John von Neumann]] ausgearbeitet wurde, reicht ein Vektor oder eine Wellenfunktion nicht mehr aus, vielmehr ist der Zustand im Allgemeinen durch einen [[Dichtematrix|Dichteoperator]] zu beschreiben. Dies umfasst auch den Fall, dass statt eines Zustands mit einem bestimmten Zustandsvektor ein ''inkohärentes Gemisch'' verschiedener Zustände vorliegt, wie z.&nbsp;B. häufig nach der in realen Experimenten meistens nicht ganz idealen und damit unvollständigen Präparation, aber auch in der Theorie der Vielteilchensysteme in der [[Quantenstatistik]]. Ein reiner Zustand hat als Dichteoperator einen Projektionsoperator auf den 1-dimensionalen Unterraum, der durch seinen Zustandsvektor definiert ist. Das entspricht genau der obigen Definition durch einen bis auf einen Phasenfaktor festgelegten Hilbertraumvektor. Die beliebige Phase ist damit aus dem Formalismus eliminiert. Der Dichteoperator für einen gemischten Zustand ist eine mit relativen Häufigkeiten, also reellen Zahlen zwischen Null und Eins, gewichtete Summe solcher Projektionsoperatoren auf verschiedene 1-dimensionale Unterräume.

== Grundbegriffe ==
=== Unterschied zur klassischen Physik ===
{{Hauptartikel|Zustand (Physik)}}
Die Einführung von Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse anstelle einer eindeutigen Voraussage bedeutet eine grundsätzliche Abkehr von der [[Klassische Physik|klassischen Physik]]. Dort ist nämlich mit der Angabe des momentanen Systemzustands das Ergebnis jeder möglichen Messung eindeutig festgelegt (immer fehlerfreie Messung vorausgesetzt). Dies trifft für [[makroskopisch]]e Systeme (z.&nbsp;B. aus dem Alltag) im Allgemeinen sehr gut zu. Beispielsweise lassen sich einer Schrotkugel oder einem Sandkorn in jedem Moment mit praktisch eindeutiger Genauigkeit ein bestimmter Ort ''und'' eine bestimmte Geschwindigkeit zuschreiben.

Für immer kleinere Systeme wird dies jedoch zunehmend falsch, für ein [[Ensemble (Physik) #Ensemble in der Quantenstatistik|Ensemble]] quantenmechanischer Teilchen<ref>Für ein ''einzelnes'' Elektron in einem [[Teilchenstrahl]] ist zwar eine gleichzeitige „scharfe“ registrierende Messung von Impuls und Ort durch ein und dieselbe Messapparatur („Zähler“) möglich. In einem Magnetspektrometer z.&nbsp;B. wird sogar der Auftreffort als diejenige Messgröße genutzt, aus der der Impuls berechnet werden kann. Eine ''Vorhersage'', welcher Zähler aus einer vorgegebenen Anordnung, die alle Möglichkeiten abdeckt, beim anschließend folgenden Elektron anspricht, oder zumindest die Gleichzeitigkeit „scharfer“ Mittelwerte von Ort und Impuls bei einer [[Messreihe]], sind dagegen ''ausgeschlossen''. Vgl. ''[[Feynman-Vorlesungen über Physik]]''. 3 Bände, ISBN 0-201-02115-3 (dt. ''Vorlesungen über Physik''. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58444-8), zuerst 1963/1965 bei Addison/Wesley. In Band&nbsp;3, ''Quantenmechanik,'' Kap. 16, wird ausführlich die Begrifflichkeit der [[Heisenbergsche Unschärferelation|Heisenbergschen Unschärferelation]] behandelt.</ref> ist es ausgeschlossen. Die streng gültige [[Heisenbergsche Unschärferelation]] von 1927 besagt nämlich: Liegt der Aufenthaltsort mathematisch eindeutig fest, dann kann eine Messung der Geschwindigkeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit ''jeden beliebigen'' Wert ergeben, und umgekehrt; d.&nbsp;h., zu jeder Zeit kann nur eine der beiden Größen eindeutig bestimmt sein. Diese Unbestimmtheit lässt sich auch durch das präziseste [[Quantenmechanische Messung #Präparation und Messung in der Quantenmechanik|Präparieren]] des Systemzustands nicht beseitigen. Sie ist mathematisch rigoros, relativ einfach zu beweisen<ref>Siehe Artikel [[Heisenbergsche Unschärferelation]] oder zum Beispiel [[Albert Messiah]]: [https://books.google.de/books?id=DCMTEAAAQBAJ&pg=PA121 ''Quantenmechanik''], de Gruyter 1978, Band 1, unveränderter Nachdruck 1981, [https://books.google.de/books?id=DCMTEAAAQBAJ&pg=PA121 S.&nbsp;121&nbsp;ff.]</ref> und bildet eine zentrale begriffliche Grundlage der Physik.

=== Reiner Zustand und Zustandsgemisch ===
{{Hauptartikel|Reiner Zustand und Zustandsgemisch}}
Die maximale Kenntnis der momentanen physikalischen Eigenschaften eines Systems wird durch einen Zustandsvektor oder eine Wellenfunktion wiedergegeben. Eine noch genauere Kenntnis des Zustands ist undenkbar. Die Streuung des Messergebnisses oder die Unsicherheit bei der Vorhersage des Wertes für eine Größe, für die der Zustand nicht ein Eigenzustand ist, ist eine unausweichliche physikalische Gegebenheit.

Zusätzliche Unsicherheit über das zu erwartende Messergebnis entsteht, die Information über den Zustand des Systems nicht maximal, also unvollständig ist. Das gilt z.&nbsp;B. für den häufig vorkommenden Fall, dass das beobachtete System aus einer Anzahl gleichartiger Systeme herausgegriffen wird, die nicht alle im selben Zustand präpariert sind. Dann kann das System nicht durch eine einzige Wellenfunktion bzw. Zustandsvektor vollständig beschrieben werden, denn das System kann sich in verschiedenen Zuständen befinden. Diese Zustände befinden sich in einer inkohärenten Überlagerung und bilden ein [[Zustandsgemisch]] (früher auch „Gemenge“ genannt).

Bei einem Zustandsgemisch ließe sich die Unsicherheit über die zu erwartenden Messergebnisse im Allgemeinen noch verringern, indem zur Messung nur ein Teil der Systeme ausgewählt werden, die im selben Zustand sind. Zur Verdeutlichung des Unterschieds zum Zustandsgemisch wird ein eindeutig präparierter Zustand gelegentlich auch als [[reiner Zustand]] bezeichnet.

Im Folgenden bedeutet ''Zustand'' hier immer ''reiner Zustand''.

=== Eigenzustand ===
Ein Zustand, in dem für eine bestimmte [[Messgröße]] der zu erwartende Messwert eindeutig festliegt, heißt [[Eigenzustand]] zu dieser Messgröße. Beispiele sind:

# Das [[Teilchen]] ist an einem Ort [[Lokalisierung (Physik)|lokalisiert]] (Ortseigenzustand).
# Das Teilchen hat eine bestimmte Geschwindigkeit oder Impuls (Impulseigenzustand).
# Das Teilchen ist in einem [[Gebundener Zustand|gebundenen Zustand]] bestimmter Energie ([[Energieeigenzustand]]).
Die Beispiele&nbsp;1 und&nbsp;2 sind streng genommen (wegen einer mathematischen Subtilität: des Vorliegens eines „[[Kontinuierliches Spektrum|kontinuierlichen Spektrums]]“) nur im Grenzfall zulässig (beim Beispiel&nbsp;2 etwa im „[[monochromatisch]]en Grenzfall“ eines unendlich ausgedehnten [[Wellenpaket]]s, während das Beispiel&nbsp;1 daraus durch eine [[Fouriertransformation]] erhalten wird). Beide Beispiele spielen eine bedeutende Rolle in der theoretischen Beschreibung.<ref>Bei ungebundenen Eigenzuständen des [[Energieoperator]]s treten analoge Grenzwertprobleme wie bei Beispiel&nbsp;1 und&nbsp;2 (s.&nbsp;u.) auf.</ref>

Beispiel 3 ist ein Zustand, in dem eine physikalische Größe (nämlich die Energie) einen bestimmten Wert hat, während sowohl für den Ort als auch für den Impuls nur Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Messergebnisse angegeben werden können (für den Ort z.&nbsp;B. durch das [[Atomorbital|Orbital]], für den Impuls durch das [[Betragsquadrat]] der Fouriertransformierten der betreffenden Orts[[wellenfunktion]]).

=== Superposition von Zuständen ===
{{Hauptartikel|Interferenz (Physik) #Interferenz in der Quantenmechanik|titel1=„Interferenz in der Quantenmechanik“ im Artikel Interferenz (Physik)}}
Für ein Teilchen in Gestalt eines [[Massepunkt]]s ist in der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] der Zustand durch den Ort und den [[Impuls]] gegeben, also durch einen Punkt im sechsdimensionalen [[Phasenraum]]. Da bei Teilchenstrahlen aber auch [[Interferenz (Physik)|Interferenzeffekte]] beobachtet werden ([[Welle-Teilchen-Dualismus]]), muss auch die Möglichkeit, dass die [[Superposition (Physik)|Superposition]] (oder ''kohärente Überlagerung'', [[Linearkombination]] mit [[Komplexe Zahl|komplexen]] Faktoren) mehrerer Zustände einen möglichen Zustand bildet, zugelassen werden (siehe [[Materiewelle]]n). So ist jeder Zustand, für den die Quantenmechanik zu einer Messgröße mehrere mögliche Messwerte mit je eigenen Wahrscheinlichkeiten voraussagt, eine '''Superposition''' derjenigen Zustände, die die zu diesen Messwerten gehörigen Eigenzustände sind. Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten dieser Eigenwerte als Messergebnis zu erhalten, ist durch das ''Betragsquadrat'' seiner Wahrscheinlichkeitsamplitude festgelegt. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist der (im Allgemeinen komplexe) Faktor, mit dem der betreffende Eigenzustand in dieser Linearkombination vorkommt.

Es gibt keinen prinzipiellen Unterschied zwischen den Eigenschaften, Superpositionszustand zu sein oder Basis- bzw. Eigenzustand: Jeder Zustand eines Systems kann als Basiszustand in einer geeignet gewählten Basis betrachtet werden, aber auch als kohärenter Superpositionszustand der Basisvektoren einer anderen Basis. Jeder Zustand kann mit jedem anderen Zustand desselben Systems kohärent überlagert werden, und jeder Zustand kann als kohärente Überlagerung anderer Zustände dargestellt werden. Zustände, die als kohärente Superposition beschrieben werden, sind also auch ''reine Zustände'' im obigen Sinn, genauso „rein“ wie die Zustände, aus denen sie durch Linearkombination gebildet wurden. Gelegentlich werden sie trotzdem ungenau als ''gemischte Zustände'' angesprochen, was aber vermieden werden sollte, weil Verwechslungen mit dem Begriff ''Zustandsgemisch'', das auch als ''inkohärente Superposition'' bezeichnet wird und durch einen Dichteoperator dargestellt werden muss, auftreten könnten.

=== Zustand und statistisches Gewicht ===
Der quantenmechanische Phasenraum wird durch die Möglichkeit der Superposition erheblich [[Mächtigkeit (Mathematik)|mächtiger]] als der Phasenraum der klassischen Mechanik für dasselbe System. Als Maß dieses erweiterten Raumes gilt in der [[Quantenstatistik|statistischen Quantenphysik]] aber nicht die Größe dieser Menge selbst, sondern ihre [[Dimension (Mathematik) #Dimension eines Vektorraumes (Hamel-Dimension)|Dimension]];<ref>Diese Dimension kann endlich sein oder abzählbar-unendlich (wie im Standardfall des [[Hilbertraum]]s) oder sogar überabzählbar-unendlich (wie bei den [[Gelfandsches Raumtripel|Gelfandschen Raumtripeln]], einer Verallgemeinerung des Hilbertraums zur besseren Erfassung kontinuierlicher Spektren).</ref> das ist die kleinstmögliche Zahl der Zustände, aus denen sich durch Superposition alle überhaupt möglichen Zustände des Systems ergeben können. Innerhalb dieser kleinstmöglichen Teilmenge ist demnach keiner der Zustände als Superposition der anderen darstellbar, deshalb sind sie [[linear unabhängig]] und bilden eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des ganzen Phasenraums.

Im Vergleich mit der [[Zustandsdichte]] in der klassischen [[Statistische Physik|statistischen Physik]] zeigt sich, dass jeder quantenmechanische Zustand einer solchen Basis ein gleich großes „Phasenraumvolumen“ <math>(2 \pi \hbar)^n = h^n</math> belegt, wobei <math>n</math> die Anzahl unabhängiger Ortskoordinaten ist und <math>h</math> die [[Planck-Konstante]]. Die [[Dimension (Größensystem)|physikalische Dimension]] dieses „Volumens“ ist für <math>n=1</math> die einer [[Wirkung (Physik)|Wirkung]]&nbsp;= Energie mal Zeit, oder&nbsp;= Ort mal Impuls.

== Mathematische Darstellung ==
=== Mathematische Grundlagen ===
{{Hauptartikel|Zustand (Mathematik)}}
Zu einem allgemeineren Begriff eines quantenmechanischen Zustands kommt man, wenn der Begriff nicht wie oben als Ausgangspunkt der Beschreibung definiert wird, sondern aus allgemeineren Annahmen abgeleitet wird. Dem mathematisch strikten Aufbau der Quantenmechanik wird nur zugrunde gelegt, dass es physikalische Größen gibt, die an einem physikalischen System gemessen werden können, wobei sie je nach Zustand des Systems bestimmte Werte zeigen. Die physikalischen Größen haben (wegen der Möglichkeiten der Produktbildung (insbesondere [[Kommutator (Mathematik) #Anwendung in der Physik|Vertauschungsrelationen]]) und Linearkombination etc.) eine algebraische Struktur und bilden z.&nbsp;B. eine Untermenge einer [[C*-Algebra]].<ref>Auch Systeme mit physikalischen Größen, die durch ''unbeschränkte'' Operatoren (wie z.&nbsp;B. den [[Ortsoperator]]) beschrieben werden, lassen sich C*-algebraisch behandeln. Statt der unbeschränkten Operatoren, die nicht Teil der C*-Algebra sind, werden geeignete beschränkte Funktionen davon betrachtet, z.&nbsp;B. die durch sie generierten unitären Gruppen.</ref> Ihre Werte sind eine Untermenge der komplexen Zahlen <math>\mathbb C</math>. Der Zustand des Systems ist diejenige Abbildung der C*-Algebra auf <math>\mathbb C</math>, die jeder physikalischen Größe (unter Wahrung der Linearität) ihren Erwartungswert zuweist.<ref name="Thirring">{{Literatur |Autor=[[Walter Thirring]] |Titel=Quantenmechanik von Atomen und Molekülen |Sammelwerk=Lehrbuch der Mathematischen Physik |Band=3 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Wien |Datum=1994 |ISBN=3-211-82535-5 |Seiten=26}}</ref>

Diese Abbildung ist in mathematisch strikter Benennung ein [[lineares Funktional]] auf der Algebra der Observablen. Damit eine Abbildung <math>\psi</math> von der C*-Algebra <math>\mathcal A</math> auf die komplexen Zahlen <math>\C</math> einen quantenmechanischen Zustand darstellt, muss das Funktional positiv und normiert sein, d.&nbsp;h., es muss gelten: <math>\psi(A A^*) \ge 0 \;\forall A \in \mathcal A</math> und <math>\psi(\hat 1) = 1</math>. Dabei ist <math>\hat 1</math> das [[Einselement]] der Algebra.

Die Menge dieser Zustände ist eine [[konvexe Menge]], das heißt, wenn <math>\psi</math> und <math>\phi</math> Zustände sind und <math>0 \le a \le 1</math>, dann ist auch <math>\varphi = a \psi + (1-a) \phi</math> ein Zustand. Zustände <math>\varphi</math>, die sich nicht mit einem <math>0 < a < 1</math> so in zwei andere zerlegen lassen, heißen [[Extremalpunkt]]e der Menge. Sie haben die Eigenschaften der oben mittels Hilbertraumvektoren definierten reinen Zustände. Alle anderen Elemente der Menge sind Zustandsgemische, die als Summe oder Integral über reine Zustände ausgedrückt werden können.

Jedem Zustand kann mittels der [[GNS-Konstruktion]] eine [[Hilbertraum-Darstellung]] <math>\pi\colon\mathcal A\to \mathcal B(\mathcal H)</math> zugeordnet werden. Jeder normierte Vektor <math>|\psi\rangle</math> im Hilbertraum, <math>\big\| |\psi \rangle \big\| = 1</math>, entspricht einem reinen Zustand <math>\psi</math> auf <math>\mathcal A</math> und umgekehrt kann jedem reinen Zustand ein Vektor zugeordnet werden. Es gilt
:<math>\psi(a)\ \Leftrightarrow\ \langle \psi | \pi(a) \psi \rangle</math>,
wobei <math>\langle \psi | \pi(a) \psi \rangle</math> das Skalarprodukt im Hilbertraum aus <math>|\psi \rangle</math> und <math>|\pi(a) \psi \rangle</math> bezeichnet. Die reinen Zustände bilden die irreduziblen Darstellungen im Hilbertraum.

=== Physikalische Implikationen ===
Für die mathematische Darstellung des oben physikalisch definierten reinen Zustands eignen sich zwei Formen, die zueinander äquivalent sind:
* Ein Zustandsvektor in einem [[Abzählbar unendlich|abzählbar-unendlich]]-dimensionalen [[Vektorraum]] mit einem [[Skalarprodukt]], der als [[Hilbertraum]] bezeichnet wird. Diese Darstellung geht zurück auf [[Werner Heisenberg]]<ref name="Heisenberg1925a">W. Heisenberg: ''Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen''. In: ''[[Zeitschrift für Physik]]''. Band 33, 1925, S.&nbsp;879–893. [https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF01328377.pdf Digitalisat.]</ref> und [[Paul Dirac]]<ref>[[Paul Dirac|P.A.M. Dirac]]: ''On the theory of quantum mechanics''. In: ''Proceedings of the Royal Society of London A''. Band 112, 1926, S.&nbsp;661–677.</ref> und hat oft den Vorzug der übersichtlichen Darstellung in [[Algebraische Gleichung|algebraischen Gleichungen]]. Ein Zustand wird hier als [[Vektor]] notiert, wofür sich nach Dirac das [[Bra-Ket|''Ket''-Symbol]] <math>\vert\psi\rangle</math> durchgesetzt hat.
* Eine Zustandsfunktion, z.&nbsp;B. die orts- und zeitabhängige [[Materiewelle]]. Ein Zustand wird hier als [[Wellenfunktion]] notiert, z.&nbsp;B. <math>\psi(t, \vec r)</math>. Diese Darstellung geht auf [[Erwin Schrödinger]] zurück<ref name="Schroedinger1926">[[Erwin Schrödinger|E. Schrödinger]]: „''Quantisierung als Eigenwertproblem I''“, [[Annalen der Physik]] 79 (1926), 361–376.<br />E. Schrödinger: „''Quantisierung als Eigenwertproblem II''“, Annalen der Physik 79 (1926), 489–527.<br />E. Schrödinger: „''Quantisierung als Eigenwertproblem III''“, Annalen der Physik 80 (1926), 734–756.<br />E. Schrödinger: „''Quantisierung als Eigenwertproblem IV''“, Annalen der Physik 81 (1926), 109–139.</ref> und ist oft leichter zu veranschaulichen, vor allem, wenn es sich nur um einziges Teilchen handelt.

==== Zustandsvektor und Kovektor ====
{{Siehe auch|Dirac-Notation}}
Der Zustandsvektor <math>|\psi\rangle</math> im Hilbertraum <math>\mathcal H</math> ist, wie auch ein Ortsvektor <math>\vec x</math>, ein mathematisches, abstraktes Objekt. So wie der Ortsvektor in einer Basisdarstellung
:<math>\vec x = \sum_{i = 1}^3 \vec e_i \left(\vec e_i \cdot \vec x\right) = \sum_{i = 1}^3 x_i \vec e_i</math>
geschrieben werden kann, wobei <math>\vec e_i</math> drei zueinander orthogonale Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum sind, kann der Zustandsvektor in jeder beliebigen vollständigen Orthonormalbasis entwickelt werden. Für diese Entwicklung ist es nötig, den Kovektor <math>\langle \psi |</math> einzuführen, der als ''Bra''-Vektor im [[Dualraum]] zum Hilbertraum ansässig ist. Mathematisch betrachtet ist ein Bra-Vektor ein lineares Funktional, das auf dem Hilbertraum in die komplexen Zahlen opereriert. Wie für Vektoren im euklidischen Raum gilt analog als Entwicklung
:<math>|\psi\rangle = \sum_{i = 1}^\infty |\phi_i \rangle \langle \phi_i | \psi \rangle = \sum_{i = 1}^\infty c_i |\phi_i\rangle</math>
mit <math>c_i = \langle \phi_i | \psi\rangle \in \Complex</math>. Da die Basisvektoren <math>|\phi_i \rangle</math> eine Orthonormalbasis bilden, gilt
:<math>\langle \phi_i | \phi_j \rangle = \delta_{ij}</math>
mit dem [[Kronecker-Delta]] <math>\delta_{ij}</math> und
:<math>\sum_{i = 1}^\infty |\phi_i \rangle \langle \phi_i| = I</math>
mit der unendlichdimensionalen Einheitsmatrix <math>I</math>. Da in der Quantenmechanik –&nbsp;im Gegensatz zum euklidischen Vektorraum&nbsp;– auch kontinuierliche Basen auftreten können, gilt für eine Entwicklung in einer kontinuierlichen Basis entsprechend
:<math>\langle x| y \rangle = \delta(x-y)</math>
mit der [[Dirac-Distribution]] <math>\delta(x-y)</math> beziehungsweise
:<math>\int \mathrm dx \, |x \rangle \langle x | = I</math>.

Um in der Schreibweise nicht zwischen kontinuierlichen und diskreten Basen unterscheiden zu müssen, wird teilweise das Symbol ⨋ verwendet.

Wenn der Zustandsvektor in einer Basis dargestellt wird, dann zumeist in der Eigenbasis eines hermiteschen Operators, der mit einer physikalischen Messgröße identifiziert wird. Die Eigenzustände eines solchen Operators werden häufig mit dem Formelzeichen der entsprechenden physikalischen Größe bezeichnet:
# <math>|x\rangle</math> bezeichnet den Ortseigenzustand eines Teilchens.
# <math>|p\rangle</math> den Impulseigenzustand.
# <math>|E \rangle</math> den Energieeigenzustand. Dabei kann <math>E</math> sowohl diskrete Werte annehmen (z.&nbsp;B. bei gebundenen Zuständen) als auch kontinuierliche Werte (z.&nbsp;B. bei ungebundenen Zuständen).
# Wird einem Eigenwert eine [[Quantenzahl]] zugeordnet (z.&nbsp;B. Quantenzahl <math>n</math> für das <math>n</math>-te [[Energieniveau]] <math>E_n</math>, Quantenzahlen <math>j, \, m</math> für Betrag und ''z''-Komponente des [[Drehimpuls]]es), so wird der zugehörige Eigenzustand angegeben durch Angabe der Quantenzahl(en) oder durch ein extra vereinbartes Symbol (Beispiele: <math>|n \rangle, |j, m \rangle, \left|{\uparrow}\right\rangle</math>).

Damit die Wellenfunktion nach der [[Bornsche Regel|Bornschen Regel]] als Wahrscheinlichkeitsamplitude aufgefasst werden kann, ist es nötig, den Zustandsvektor zu normieren. Das heißt, für einen physikalischen Zustand muss
:<math>\langle \psi | \psi \rangle = 1</math>
gelten. Allerdings legt dies den Vektor <math>|\psi\rangle</math> ''nicht'' [[umkehrbar eindeutig]] fest, sondern nur bis auf einen konstanten Faktor <math>a=\mathrm e^{\mathrm i\alpha},\ \alpha \in \R</math>, also eine [[komplexe Zahl]] mit Betrag&nbsp;1. Diese wird auch als quantenmechanische Phase des Zustands bzw. Zustandsvektors bezeichnet. Die Vektoren <math>\mathrm e^{\mathrm i \alpha} |\psi\rangle</math>, die alle denselben Zustand beschreiben, spannen einen eindimensionalen [[Untervektorraum|Unterraum]] ([[Strahl (Geometrie)|Strahl]]) auf.

==== Wellenfunktion ====
{{Hauptartikel|Wellenfunktion}}
Die Wellenfunktionen <math>\psi(x)</math> beziehungsweise <math>\psi(p)</math> sind die Entwicklungskoeffizienten des Zustandsvektors in der Orts- beziehungsweise Impulsbasis:<ref>{{Literatur |Autor=Torsten Fließbach |Titel=Quantenmechanik |Auflage=4. |Verlag=Spektrum |Ort=München |Datum=2005 |ISBN=3-8274-1589-6 |Seiten=231}}</ref>
:<math>|\psi \rangle = \int \mathrm dx \, |x \rangle \langle x | \psi \rangle = \int \mathrm dx \, |x \rangle \psi(x)</math>
:<math>|\psi \rangle = \int \mathrm dp \, |p \rangle \langle p | \psi \rangle = \int \mathrm dp \, |p \rangle \psi(p)</math>

==== Messung ====
{{Hauptartikel|Quantenmechanische Messung}}
Eine messbare physikalische Größe wird durch einen [[Linearer Operator|Operator]] dargestellt, der im Hilbertraum eine [[lineare Transformation]] bewirkt. Messgröße <math>A</math> und zugehöriger Operator <math>\hat A</math> werden zusammengefasst [[Observable]] genannt. Die möglichen Messergebnisse <math>A_i</math> sind die [[Eigenwert]]e des Operators. Das heißt, es gilt für einen Eigenzustand <math>|A_i\rangle</math> des Operators:
:<math>\hat A |A_i \rangle = A_i |A_i\rangle</math>

Da alle möglichen Messergebnisse [[reelle Zahl]]en sind, muss der Operator [[Hermitescher Operator|hermitesch]] sein, d.&nbsp;h. folgende Bedingung erfüllen:
:<math>\langle \phi \vert \hat A \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \hat A \vert \phi \rangle^*</math>

Bei einem Zustand, der nicht Eigenzustand des betreffenden Operators ist, können Messergebnisse nicht sicher, sondern nur mit Wahrscheinlichkeiten vorhergesagt werden. Diese Wahrscheinlichkeiten berechnen sich für jeden Eigenwert <math>A_i</math> der Messgröße als Betragsquadrat aus dem Skalarprodukt des betreffenden Eigenvektors <math>|A_i \rangle</math> mit dem Zustandsvektor des Systems:
:<math>P(A_i) = \Big|\langle A_i | \psi \rangle \Big|^2</math>

Nach der Messung ist der Zustandsvektor auf den zum entsprechenden Eigenwert zugehörigen Unterraum [[Kollaps der Wellenfunktion|kollabiert]], das heißt:
:<math>|\psi \rangle_\text{vor} \to |\psi\rangle_\text{nach} = |A_i \rangle</math>

Dadurch ist gleichzeitig das System im Eigenzustand <math>|A_i \rangle</math> präpariert, denn nach dieser Messung liegt es genau in diesem Zustand vor. Eine instantan erfolgende erneute Messung dieser Observable ergibt daher sicher wieder denselben Wert.

Als [[Erwartungswert]] <math>\langle \hat A \rangle</math> wird der Mittelwert vieler Einzelmessungen der Observable an immer gleichen Systemen im selben Zustand <math>| \psi \rangle</math> bezeichnet. Aus dem Spektrum aller möglicher Einzelergebnisse <math>A_i</math> und ihren Wahrscheinlichkeiten <math>P_i</math> ergibt sich:
:<math>\langle \hat A \rangle = \langle \psi \vert \hat A \vert \psi \rangle</math>

==== Phasenfaktor und Superposition ====
''Linearkombinationen'' zweier Zustandsvektoren, also z.&nbsp;B. <math>|\psi\rangle = c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle</math> mit komplexen Zahlen <math>c_1, c_2</math> beschreiben ebenfalls erlaubte Zustände, wenn die beiden Faktoren so gewählt sind, dass <math>\langle \psi|\psi\rangle = 1</math> (s.&nbsp;o. [[#Superposition von Zuständen|Superposition von Zuständen]]). Hierbei ist, anders als bei einem einzelnen Zustandsvektor, die relative Phase der Faktoren, d.&nbsp;h. die komplexe Phase <math>\phi</math> im Quotienten <math>\tfrac{c_2}{c_1} = \vert\tfrac{c_2}{c_1}\vert \mathrm e^{i\phi}</math>, nicht mehr beliebig; je nach Phase hat der Überlagerungszustand <math>|\psi\rangle</math> verschiedene physikalische Eigenschaften.<ref>Beispiel: Wenn <math>\left\vert{\uparrow}\right\rangle,\ \left\vert{\downarrow}\right\rangle</math> die Eigenzustände zum Spin „auf“ oder „ab“ in ''z''-Richtung sind, dann ist <math>\left\vert{\rightarrow}\right\rangle = \left\vert{\uparrow}\right\rangle + \left\vert{\downarrow}\right\rangle</math> der Eigenzustand „auf“ in ''x''-Richtung, aber <math>\left\vert{\nearrow}\right\rangle = \left\vert{\uparrow}\right\rangle + i\left\vert{\downarrow}\right\rangle</math> der Eigenzustand „auf“ in ''y''-Richtung (der Normierungsfaktor<!-- 1/(2<sup>1/2</sup>) = <math>1/\sqrt{2}</math> --> wurde fortgelassen).</ref> Daher wird von ''[[Kohärenz (Physik)|kohärenter]]'' Superposition gesprochen, weil wie bei optischer Interferenz mit [[Kohärentes Licht|kohärentem Licht]] nicht die Betragsquadrate, sondern die „erzeugenden [[Amplitude]]n“ selbst, also <math>|\psi_1\rangle</math> und <math>|\psi_2\rangle</math>, superponiert werden.

==== Zustandsgemisch und Dichteoperator ====
Ein Zustandsgemisch, in dem sich das System mit Wahrscheinlichkeit <math>p_i</math> im Zustand <math>\psi_i</math> (mit <math>i = 1, 2, \dotsc, n</math>) befindet, wird durch den [[Dichteoperator]] <math>\hat \rho</math> dargestellt, das ist die Summe der entsprechenden Projektionsoperatoren:
:<math>\hat \rho = \sum_{i}p_i \vert\psi_i\rangle \langle \psi_i \vert</math>

Im Gegensatz zu einer [[#Phasenfaktor und Superposition|kohärenten Superposition]] derselben im Gemisch vertretenen Zustände <math>\psi_i</math> bleibt der Dichteoperator unverändert, wenn die <math>\psi_i</math> mit beliebigen Phasenfaktoren versehen werden; im Zustandsgemisch werden die Zustände also ''inkohärent'' überlagert.

Der Erwartungswert einer Messung der Observable <math>\hat A</math> ist dementsprechend die gewichtete Summe der Erwartungswerte der einzelnen Bestandteile des Gemisches:
:<math>\langle \hat A \rangle = \sum_{i}p_i \langle\psi_i\vert \hat A \vert\psi_i \rangle</math>

Dies kann auch als [[Spur (Mathematik)|Spur]] des Operators <math>\hat \rho \hat A</math> dargestellt werden:
:<math>\langle \hat A \rangle = \operatorname{Sp}(\hat \rho \hat A)</math>

Die letzte Gleichung hat den Vorzug, dass sie gleichermaßen für Gemische und für reine Zustände gilt. (Bei einem reinen Zustand <math>\psi_i</math> ist <math>\hat \rho = \vert\psi_i\rangle \langle \psi_i \vert</math> der zum Zustand gehörige Projektionsoperator.)

Der Dichteoperator wird auch als „Zustandsoperator“ bezeichnet.

==== Zustände von zusammengesetzten Systemen, Tensorraum {{Anker|Tensorproduktraum Quantenmechanik}}  ====

Wenn ein Teilsystem <math>\mathbb S_1</math> mit Zuständen <math>\psi^{1}</math> und ein Teilsystem <math>\mathbb S_2</math> mit Zuständen <math>\psi^{2}</math> als ein zusammengesetztes System  <math>\mathbb S = \mathbb S_1 \otimes \mathbb S_2 </math>  mit Zuständen <math>\Psi</math> beschrieben werden soll, dann gibt es für  <math>\Psi</math> zwei Möglichkeiten. Ein ''separabler'' Zustand liegt vor, wenn <math>\mathbb S_1</math> einen bestimmten Zustand <math>\psi^{1}</math> und <math>\mathbb S_2</math> einen bestimmten Zustand  <math>\psi^{2}</math> einnimmt. Dann schreibt man 
:  <math>\Psi =  \psi^{1}\! \otimes \psi^{2}</math> oder  <math>|\Psi \rangle  =|\psi^{1} \rangle  |\psi^{2}\rangle  </math>
Zusätzlich gibt es [[Quantenverschränkung|''verschränkte'' Zustände]] des Gesamtsystems, die sich nur als kohärente Superpositionen von mindestens zwei separablen Zuständen darstellen lassen. Beispiel:
:  <math>\Psi = \alpha \; \psi^{1} \! \otimes \psi^{2} + \beta \; \phi^{1} \! \otimes \phi^{2}</math> , mit  <math>|\alpha|^2\! + |\beta|^2 = 1</math> 
Hier befindet sich System <math>\mathbb S_1</math> weder ganz im Zustand   <math>\psi^{1}</math> noch im Zustand  <math>\phi^{1}</math> , sondern (wenn die Zustände orthogonal sind) mit den Wahrscheinlichkeiten <math>|\alpha|^2</math> im ersten und  <math>|\beta|^2</math> im zweiten. Solche verschränkten Zustände kommen in der klassischen Physik beim Zusammensetzen von Systemen nicht vor. 

Wenn das Teilsystem <math>\mathbb S_1</math> die Basiszustände <math>\psi^{1}_i</math> hat, und das Teilsystem <math>\mathbb S_2</math> Basiszustände <math>\psi^{2}_k</math>, dann bilden die separablen Zustände <math>\Psi_{i,k} =\psi^{1}_i \otimes \psi^{2}_k </math> eine Basis für den Zustandsraum des zusammengesetzten Systems <math>\mathbb S = \mathbb S_1 \otimes \mathbb S_2 </math>. Dieser Raum wird auch als der '''Tensorproduktraum''' oder '''Tensorraum''' der Zustandsräume von  <math>\mathbb S_1</math> und  <math>\mathbb S_2</math> bezeichnet.<ref name="Cohen-T">[[Claude Cohen-Tannoudji]]: ''Quantenmechanik.'' de Gruyter, 1999, ISBN 3-11-016458-2. Abschnitt 2.6</ref><ref>{{Literatur | Autor= Norbert Straumann
| Titel=Quantenmechanik | Auflage=2 | Verlag=Springer Spektrum | Ort= | Jahr=2012 | ISBN=978-3-642-32174-0 |DOI=10.1007/978-3-642-32175-7| Seiten=119 }}</ref> Seine Dimension ist <math>N_1 N_2</math>, wenn die Zustandsräume der Teilsysteme die endlichen Dimensionen  <math>N_1 </math> bzw.  <math>N_2</math> haben.

Diese Erweiterung des Zustandsraums gilt nicht nur beim Zusammenfassen verschiedener physikalischer Quantensysteme zu einem Gesamtsystem, sondern auch schon beim Hinzufügen weiterer Freiheitsgrade zu einem Quantensystem. Der Zustandsraum des Elektrons z.&nbsp;B. ist der Tensorproduktraum aus dem Hilbertraum der Wellenfunktionen für die Ortsfreiheitsgrade und dem 2-dimensionalen Hilbertraum für den Spinfreiheitsgrad.

==== Teleportation von Quantenzuständen ====
{{Hauptartikel|Quantenteleportation}}
Mit dem Verfahren der Quantenteleportation kann bei [[Quantenverschränkung|Verschränkung]] der quantenmechanische Zustand eines Quantensystems (Quelle), z.&nbsp;B. eines Photons oder eines Qubits, auf ein anderes Quantensystem (Ziel) übertragen werden.<ref>[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/quantenteleportation/11885 ''Lexikon der Physik. Quantenteleportation.''] In: ''Spektrum.de.'' Abgerufen am 3.&nbsp;Juli 2024.</ref>

== Beispiele ==
* Die Zustände eines [[Teilchen im Kasten|Teilchens im (eindimensionalen) Kasten]] der Breite <math>a</math> (von 0 bis <math>a</math>) können als Superpositionen von Eigenzuständen des Hamiltonoperators <math>\hat H</math> geschrieben werden. Dessen Eigenzustände im Ortsraum sind
::<math>\langle x |n\rangle = \sin n\tfrac{\pi x}{a},\ n\in \N</math>
:und die zugehörigen Energieeigenwerte zu <math>\hat H |n \rangle = E_n |n \rangle</math> sind:
::<math>E_n = n^2 \tfrac{\pi^2 \hbar^2}{2 m a^2}</math>
* Für [[Wasserstoffproblem|Teilchen in einem Zentralfeld]] können die Energieeigenzustände so gewählt werden, dass sie auch Eigenzustände des Drehimpulsoperators sind. Dann tragen sie alle drei Quantenzahlen <math>n,j,m</math>:
::<math>\hat H \vert n, j,m\rangle = E_{n} \vert n, j,m\rangle,\quad \hat J^2 \vert n, j,m\rangle = \hbar^2 j (j+1) \vert n,j,m\rangle,\quad \hat J_z \vert n, j,m\rangle = \hbar m \vert n, j,m\rangle</math>
:Aufgrund der [[Entartung (Quantenmechanik)|Energie-Entartung]] bezüglich der Quantenzahl <math>m</math> reicht im Allgemeinen eine Messung der Energie nicht aus, um den Zustand eindeutig zu bestimmen.
* Die Spineigenzustände zu <math>m_s = \pm \tfrac{1}{2}</math> eines (fermionischen) Teilchens werden einfach als <math>\left|{\uparrow}\right\rangle</math> und <math>\left|{\downarrow}\right\rangle</math> geschrieben.
* Der Zustand eines Systems, das durch den s-Wellen-Zerfall eines einzigen gebundenen Elementarteilchensystems in zwei Spin-1/2-Teilchen entsteht, ist <math>|\psi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2} \left( \left|{\uparrow}\right\rangle_1 \otimes \left|{\downarrow}\right\rangle_2 - \left|{\downarrow}\right\rangle_1 \otimes \left|{\uparrow}\right\rangle_2 \right)</math>. Durch die Messung des Spins bei einem Teilchen kollabiert der Zustand instantan, sodass eine unmittelbar folgende Messung beim anderen Teilchen ein eindeutig korreliertes Ergebnis (nämlich das jeweils gegenteilige) liefert. Dies ist ein Beispiel für [[Quantenverschränkung]].

== Reine Zustände und Zustandsgemische ==
{{Hauptartikel|Reiner und gemischter Zustand}}
In der [[Quantenmechanik]] und der [[Quantenstatistik]] wird zwischen [[Reiner Zustand|reinen Zuständen]] und Zustandsgemischen unterschieden. Reine Zustände stellen den Idealfall einer maximalen Kenntnis der beobachtbaren Eigenschaften ([[Observable]]n) des Systems dar. Häufig ist aber nach der Präparation oder aufgrund von Messungenauigkeiten der Zustand des Systems nur unvollständig bekannt (Beispiel: der Spin des einzelnen Elektrons in einem unpolarisierten Elektronenstrahl, aber auch, wenn das System als Teil eines zusammengesetzten Systems betrachtet werden muss und die übrigen Bestandteile des Systems von der Präparation oder der Messung nicht betroffen sind). Dann können den verschiedenen möglicherweise vorkommenden reinen Zuständen <math>|\psi_i\rangle</math> oder den zugeordneten Projektionsoperatoren <math>\hat \mathrm P_i = |\psi_i\rangle\langle\psi_i|</math> nur Wahrscheinlichkeiten <math>p_i</math> zugeordnet werden (siehe unten). Solche unvollständig bekannten Zustände werden als Zustandsgemische bezeichnet. Zur Darstellung von Zustandsgemischen wird der [[Dichteoperator]] <math>\hat \rho</math> verwendet, der auch Dichtematrix oder Zustandsoperator genannt wird.

Ein reiner Zustand <math>|\psi_i\rangle</math> entspricht einem eindimensionalen Unterraum (Strahl) in einem [[Hilbertraum]]. Der zugehörige Dichteoperator <math>\hat \rho =\hat  \mathrm P_i = |\psi_i\rangle\langle\psi_i|</math> ist der Operator für die [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] auf diesen Unterraum. Es gilt <math>\hat \rho^2 =\hat  \rho</math> ([[Idempotenz]]). Für Zustandsgemische dagegen gilt <math>\hat \rho^2 < \hat \rho</math>. Eine Beschreibung durch einen einzigen Strahl ist dann nicht möglich.

Charakteristische Merkmale dieser Zustandsbeschreibung sind die kohärente [[Superposition (Physik)|Superponierbarkeit]] der reinen Zustände und die daraus folgenden Phänomene der [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] und [[Quantenverschränkung]], während bei den Zustandsgemischen die Beiträge der verschiedenen beteiligten reinen Zustände inkohärent summiert werden.

Wenn ein Quantensystem sich nicht in einem reinen [[Eigenzustand]] einer Messgröße befindet, ergeben wiederholte Messungen dieser Größe an exakt gleich präparierten Systemen auch bei reinen Zuständen unterschiedliche Messwerte. Bei Zustandsgemischen werden zusätzlich die Ergebnisse der beteiligten reinen Zustände (inkohärent!)<ref name="Inkohärenz">„Inkohärent“ deshalb, weil die <math>p_i</math> mit einem quadratischen Ausdruck in den <math>|\psi_i\rangle</math> gewichtet werden.</ref> mit den Gewichten <math>p_i</math> gemittelt. Die Verteilung hängt von dem quantenmechanischen Zustand <math>|\psi\rangle</math> und der Observablen <math>A</math> für den Messprozess (<math>A</math> repräsentiert i.&nbsp;W. die Messapparatur) ab. Für reine Zustände <math>|\psi\rangle</math> folgt aus der Quantenmechanik: Der Mittelwert der durch Wiederholung erzeugten Messreihe ist der quantenmechanische Erwartungswert <math>\langle\psi |A|\psi\rangle</math>.

Für das Ergebnis der Messungen ist also im Unterschied zur klassischen Physik selbst bei reinen (also vollständig bekannten) quantenmechanischen Zuständen nur eine Wahrscheinlichkeitsverteilung um einen Erwartungswert angebbar (deshalb heißt es im Folgenden nicht ''das Resultat'', sondern ''das zu erwartende Resultat'', s.&nbsp;u.). Für Zustandsgemische gilt wegen der <math>p_i</math> eine zusätzliche (inkohärente!) Unbestimmtheit: <math>\langle A \rangle= \sum\,p_i\cdot\langle\psi_i |A|\psi_i\rangle\,.</math>

Also selbst das zu erwartende Resultat des Ausgangs einer einzelnen Messung kann nur in Spezialfällen (etwa <math>p_1 = 1, \,\,p_2 = p_3 = \dots = 0</math>) sicher vorhergesagt werden. Nur die (speziellen!) Eigenzustände <math>|\phi_k\rangle</math> der betrachteten Observable <math>A</math> oder die zugehörigen Eigenwerte <math>a_k</math> kommen bei gegebenem <math>|\psi\rangle</math> überhaupt als Messwerte in Frage, und selbst in dem oben angegebenen Fall eines reinen Zustands, etwa <math>|\psi\rangle \equiv |\psi_1\rangle</math>, d.&nbsp;h. selbst bei vollständig bekannter Wellenfunktion, können für die verschiedenen Eigenzustände <math>|\phi_k\rangle</math> bei gegebenem <math>|\psi\rangle</math> nur Wahrscheinlichkeiten angegeben werden, <math>w_k = |\langle\psi|\phi_k\rangle |^2\,,</math> obwohl der Zustand <math>|\phi_k\rangle</math> bei einer unmittelbar anschließenden Folgemessung mit derselben Apparatur genau reproduziert wird. Unbekannte Zustände können dagegen nicht durch Messung bestimmt werden (siehe [[No-Cloning-Theorem]]).<ref>Das heißt unter anderem, dass die <math>p_i</math> nicht durch Angabe der <math>a_k</math> und der <math>w_k</math> bestimmt werden können.</ref> Es gilt ferner
:<math>\hat \rho =\sum p_i\,\hat \mathrm P_i,</math>
d.&nbsp;h., dass die Projektionsoperatoren mit Wahrscheinlichkeiten versehen werden und nicht etwa die zu den Projektionsoperatoren gehörigen Kets superponiert werden.

Insgesamt gilt also: <math>\langle A \rangle = \sum_i\sum_k\, p_i\cdot a_k\cdot|\langle\psi_i|\phi_k\rangle |^2</math>, wobei sich der Index ''i'' auf die (reinen) Zustände im Gemisch und der Index ''k'' auf die Eigenzustände der Messgröße bezieht.

== Informationsentropie ==
Die [[Informationsentropie]] des Zustandes oder die mit der Boltzmannkonstante multiplizierte [[Von-Neumann-Entropie]] ist ein quantitatives Maß für die Unkenntnis, die hinsichtlich der möglichen Aussage über das Vorliegen eines bestimmten reinen Zustands besteht. Die Von-Neumann-Entropie, <math>-k_\mathrm B \operatorname{Tr}(\rho \ln(\rho))</math>, ist gleich <math>-k_\mathrm B\sum p_i \ln p_i</math> für Zustandsgemische. Für reine Zustände ist sie Null (man beachte <math>p \ln p \to 0</math> für <math>p \to 0</math>). Dabei wurden [[Ludwig Boltzmann|Boltzmann]]’sche Einheiten benutzt, insbesondere ist <math>k_\mathrm B</math> die [[Boltzmann-Konstante]]. In [[Claude Shannon|Shannon]]’schen Einheiten wird dagegen diese Konstante durch Eins und der [[Natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]] <math>\ln</math> durch den [[Binärer Logarithmus|binären Logarithmus]] <math>\operatorname{lb}</math> ersetzt.

== Siehe auch ==
* [[Quantenmechanische Messung]]
* [[Quantentomografie]]
* [[Heisenbergsche Unschärferelation]]
* [[Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon]]

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

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[[Kategorie:Quantenmechanik]]
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