Izvorni kôd stranice Parcijalna integracija

Nemate dopuštenje da uredite ovu stranicu, iz sljedećeg razloga:

Your IP address is in a range that has been blocked on all Wikimedia Foundation wikis.

The block was made by ‪EPIC‬. The reason given is Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected.

Start of block: 09:48, 2 juli 2024
Expiry of block: 09:48, 2 juli 2025

Your current IP address is 206.189.44.186. The blocked range is 206.189.32.0/20.

Navedite sve gornje podatke u upite ili zahtjeve za deblokadu. Ako smatrate da ste greškom blokirani, dodatne informacije i uputstva možete pronaći na stranici o globalnoj smjernici "Zabranjeni otvoreni proksiji".

U suprotnom, zahtjev za blokadu postavite na Meta-Wikiju. You could also send an email to the stewards VRT queue at stewards@wikimedia.org including all above details.

Možete vidjeti i kopirati izvorni kôd ove stranice.

{{Nedostaju izvori}}
{{Kalkulus}}
U [[kalkulus]]u, i generalno, u [[matematička analiza|matematičkoj analizi]], '''parcijalna integracija''' je pravilo koji transformiše [[integral]]e proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko [[diferencijacija|diferencijacije]] [[pravilo derivacije proizvoda|pravila derivacije proizvoda]].

== Pravilo ==

Pretpostavimo da su ''f''(''x'') i ''g''(''x'') dvije više puta diferencijabilne [[funkcija (matematika)|funkcije]]. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo [[interval (matematika)|intervale]] sa krajnjim tačkama ''a'' i ''b'', dobijamo
<math>\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  f'(x) g(x)\,dx</math>
gdje koristimo standardne oznake

:<math>\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).</math>

Pravilo se dokazuje [[pravilo derivacije proizvoda|pravilom derivacije proizvoda]] i [[fundamentalna teorema kalkulusa|fundamentalnom teoremom kalkulusa]]. Zbog toga je
:{|
|-
|<math> f(b)g(b) - f(a)g(a)\, </math>
|<math>= \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx </math>
|-
|
|<math>=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx. </math> 
|}

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod [[neodređeni integral|neodređenog integrala]] u formi
:<math>\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\,dx,</math>

ili u kraćoj formi, ako napišemo ''u'' = ''f''(''x''), ''v'' = ''g''(''x'') i diferencijali ''du'' = ''f''′(''x'') ''dx'' i ''dv'' = ''g''′(''x'') ''dx''. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

:<math>\int u\,dv = u v - \int v\,du.</math>

== Primjeri ==

Kako bi izračunali

:<math>\int x\cos (x) \,dx</math>

napišemo:

:''u'' = ''x'', tako da je ''du'' = ''dx'',
:''dv'' = cos(''x'') ''dx'', tako da je ''v'' = sin(''x'').

Zatim:

:<math>
\begin{align}
  \int x\cos (x) \,dx & = \int u \,dv \\
  & = uv - \int v \,du \\
  & = x\sin (x) - \int \sin (x) \,dx \\
  & = x\sin (x) + \cos (x) + C
\end{align}
</math>

gdje je ''C'' [[arbitražna konstanta integracije]].

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

:<math>\int x^{3} \sin (x) \,dx \quad \mbox{ili} \quad \int x^{2} e^{x} \,dx</math>

mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju ''x'' za jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

:<math>\int e^{x} \cos (x) \,dx</math>

gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

:''u'' = cos(''x''); tako da je d''u'' = -sin(''x'')d''x''
:d''v'' = e<sup>''x''</sup>d''x''; tako da je ''v'' = e<sup>''x''</sup>

Zatim:

:<math>\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin (x) \,dx</math>

Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integraciju, sa:

:''u'' = sin(''x''); d''u'' = cos(''x'')d''x''
:''v'' = e<sup>''x''</sup>; d''v'' = e<sup>''x''</sup>d''x''

Zatim:

:{|
|-
|<math>\int e^{x} \sin (x) \,dx </math>
|<math>= e^{x} \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx </math>
|-
|}
Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

:<math>\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + e^x \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx</math>

Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

:<math>2 \int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) )</math>

:<math>\int e^{x} \cos (x) \,dx = {e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) \over 2}</math>

Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(''x'') d''x''. Ovo pišemo kao:

:<math>\int \ln (x) \cdot 1 \,dx</math>

Napišimo:

:''u'' = ln(''x''); d''u'' = 1/''x'' d''x''
:''v'' = ''x''; d''v'' = 1·d''x''

Zatim:

:{|
|-
|<math>\int \ln (x) \,dx </math>
|<math>= x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx </math>
|-
|
|<math>= x \ln (x) - \int 1 \,dx</math>
|}
:<math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - {x} + {C}</math>

:<math>\int \ln (x) \,dx = x ( \ln (x) - 1 ) + C</math>

gdje je, ponovo, C [[arbitražna konstanta integracije]]

Drugi primjer je ∫ arctan(''x'') d''x'', gdje je arctan(''x'') [[inverzna tangensna funkcija]]. Ovo ponovo napišemo kao:

:<math>\int \arctan (x) \cdot 1 \,dx</math>

Napišimo:

:''u'' = arctan(''x''); d''u'' = 1/(1+''x''<sup>2</sup>) d''x''
:''v'' = ''x''; d''v'' = 1·d''x''

Zatim:

:{|
|-
|<math>\int \arctan (x) \,dx </math>
|<math>= x \arctan (x) - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx </math>
|-
|
|<math>= x \arctan (x) - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C</math>
|}

koristeći kombinaciju [[pravilo inverzne derivacije složene funkcije]] i [[uslov integriranja prirodnog logaritma]].

== Više dimenzije ==
{{Proširiti sekciju}}

== Kulturološke reference ==

* Metoda tabularne parcijalne integracije pojavila se u filmu ''[[Stand and Deliver]]'' iz [[1988]]. godine.

== Vanjski linkovi ==

* [http://mathworld.wolfram.com/IntegrationbyParts.html Parcijalna integracija - sa MathWorld]
* [https://web.archive.org/web/20030329232712/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma035.pdf Tabularna parcijalna integracija] 
* [https://web.archive.org/web/20070310183128/http://labs.imranyusuff.net/tabular_integration/ Demonstrirana tabularna parcijalna integracija]

[[Kategorija:Integralni račun]]
[[Kategorija:Matematički identiteti]]
[[Kategorija:Teoreme u matematičkoj analizi]]
[[Kategorija:Teoreme u infinitezimalnom računu]]

Šabloni koji su upotrebljeni na ovoj stranici:

Šablon:Ambox/igralište (uredi)
Šablon:Big (uredi)
Šablon:Endflatlist (uredi)
Šablon:Flatlist (uredi)
Šablon:Hlist/styles.css (uredi)
Šablon:Infinitezimalni račun (uredi)
Šablon:Kalkulus (uredi)
Šablon:Nedostaju izvori (pogledaj izvor) (poluzaštićeno)
Šablon:Proširiti sekciju (uredi)
Šablon:Sidebar (uredi)
Šablon:Startflatlist (uredi)
Šablon:Subsidebar bodystyle (uredi)
Modul:Arguments (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Category handler (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Message box/configuration (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Message box/igralište (uredi)
Modul:Namespace detect (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Namespace detect/config (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Namespace detect/data (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Navbar (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Navbar/configuration (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Navbar/styles.css (uredi)
Modul:No globals (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Sidebar (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Sidebar/configuration (pogledaj izvor) (poluzaštićeno)
Modul:Sidebar/styles.css (pogledaj izvor) (poluzaštićeno)
Modul:Yesno (pogledaj izvor) (zaštićeno)

Nazad na Parcijalna integracija.

Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/wiki/Parcijalna_integracija"