Izvorni kôd stranice Abelov test

Nemate dopuštenje da uredite ovu stranicu, iz sljedećeg razloga:

Your IP address is in a range that has been blocked on all Wikimedia Foundation wikis.

The block was made by ‪EPIC‬. The reason given is Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected.

Start of block: 09:48, 2 juli 2024
Expiry of block: 09:48, 2 juli 2025

Your current IP address is 206.189.44.186. The blocked range is 206.189.32.0/20.

Navedite sve gornje podatke u upite ili zahtjeve za deblokadu. Ako smatrate da ste greškom blokirani, dodatne informacije i uputstva možete pronaći na stranici o globalnoj smjernici "Zabranjeni otvoreni proksiji".

U suprotnom, zahtjev za blokadu postavite na Meta-Wikiju. You could also send an email to the stewards VRT queue at stewards@wikimedia.org including all above details.

Možete vidjeti i kopirati izvorni kôd ove stranice.

{{Infinitezimalni račun|series}}
U [[matematika|matematici]], '''Abelov test''' (poznat i pod nazivom '''Abelov kriterij''') je metoda testiranja [[Konvergentni red|konvergencije]] [[red (matematika)|beskonačnih redova]]. Test je dobio naziv po matematičaru [[Niels Henrik Abel|Nielsu Abelu]]. Postoje dvije verzije ovog testa, koje se mnogo ne razlikuju &ndash; jedna se koristi nad redovima realnih brojeva, a druga se koristi kod [[potencijalni red|potencijalnih redova]] u [[kompleksna analiza|kompleksnoj analizi]].

== Abelov test u analizi u skupu realnih brojeva ==

Za dva data [[niz]]a [[relni brojev|realnih brojeva]], <math>\{a_n\}</math> i <math>\{b_n\}</math>, te ako niz zadovoljava uslove

* <math> \sum^{\infty}_{n=1}a_n </math> konvergira

* <math>\lbrace b_n \rbrace\,</math> je [[monotona funkcija|monotona]] i <math>\lim_{n \rightarrow \infty} b_n \ne \pm\infty</math>

tada red

:<math>\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n</math>

konvergira.

== Abelov test u kompleksnoj analizi ==

Abelov test se često koristi za određivanje konvergencije [[potencijalni red|potencijalnih redova]] na granicama njegovog [[radijus konvergencije|kruga konvergencije]]. Specifično, Abelov test kaže da ako

:<math>
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,
</math>

a red

:<math>
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,
</math>

konvergira kada je |''z''| < 1, a divergira kada je |''z''| > 1, i koeficijenti {''a''<sub>''n''</sub>} su ''pozitivni realni brojevi'' koji opadaju monotono prema nultoj granici za ''n'' > ''m'' (za dovoljno velike n'', drugim riječima), tada potencijalni red za ''f''(''z'') konvergira svuda na [[jedinični krug|jediničnom krugu]], osim kada je ''z'' = 1. Abelov test ne može se primijeniti kada je ''z'' = 1, tako da se konvergencija u toj tački mora ispitati odvojeno. Primijetite da se Abelov test može primijeniti na potencijalne redove s radijusom konvergencije ''R'' ≠ 1 jednostavnim promjenama varijabli ''ζ'' = ''z''/''R''.<ref>(Moretti, 1964, p. 91)</ref>

== Dokaz == 

Pretpostavimo da je ''z'' tačka na jediničnom krugu, ''z'' ≠ 1. Tada je

:<math>
z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} = 
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0
</math>

tako da, za svaka dva pozitivna cijela broja ''p'' > ''q'' > ''m'', možemo pisati

:<math>
\begin{align}
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & = 
\sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] -
a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\,
\end{align}
</math>

gdje su ''S''<sub>''p''</sub> i ''S''<sub>''q''</sub> parcijalne sume:

:<math>
S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,
</math>

Ali sada, pošto su |''z''| = 1 i ''a''<sub>''n''</sub> monotono opadajući pozitivni realni brojevi kada ''n'' > ''m'', možemo pisati

:<math>
\begin{align}
\left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & = 
\left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\
& \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] +
\left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\
& = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}.\,
\end{align}
</math>

Sada možemo primijeniti [[Cauchyjev test konvergencije|Cauchyjev test]] te zaključiti da potencijalni red za ''f''(''z'') konvergira u odabranoj tački ''z'' ≠ 1, zato što je sin(½''θ'') ≠ 0 fiksna veličina, a ''a''<sub>''q''+1</sub> može biti manje od bilo koje date ''ε'' > 0 tako što se izabere dovoljno veliko ''q''.

== Reference ==
{{refspisak}}
*Gino Moretti, ''Functions of a Complex Variable'', Prentice-Hall, Inc., 1964

== Vanjski linkovi ==

* [http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfAbelsTestForConvergence.html Dokaz (za realne redove) na PlanetMath.org] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070312202311/http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfAbelsTestForConvergence.html |date=12. 3. 2007 }}

[[Kategorija:Matematički redovi]]
[[Kategorija:Testovi konvergencije]]
[[Kategorija:Članci koji sadrže dokaz]]

Šablon koji su upotrebljeni na ovoj stranici:

Šablon:Big (uredi)
Šablon:Endflatlist (uredi)
Šablon:Flatlist (uredi)
Šablon:Hlist/styles.css (uredi)
Šablon:Infinitezimalni račun (uredi)
Šablon:Refspisak (uredi)
Šablon:Refspisak/styles.css (uredi)
Šablon:Sidebar (uredi)
Šablon:Startflatlist (uredi)
Šablon:Subsidebar bodystyle (uredi)
Šablon:Webarchive (uredi)
Modul:Arguments (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Navbar (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Navbar/configuration (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Navbar/styles.css (uredi)
Modul:No globals (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Sidebar (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Sidebar/configuration (pogledaj izvor) (poluzaštićeno)
Modul:Sidebar/styles.css (pogledaj izvor) (poluzaštićeno)
Modul:Webarchive (pogledaj izvor) (zaštićeno)
Modul:Webarchive/data (pogledaj izvor) (poluzaštićeno)

Nazad na Abelov test.

Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/wiki/Abelov_test"