Теорема на Болцано – Вайерщрас (за безкрайните редици)

За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изц��ло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел.

Теоремата на Болцано – Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица ${\displaystyle r:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ притежава сходяща подредица.

Нека ${\displaystyle r:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \;\;a\leq r_{n}\leq b}$ Ако ${\displaystyle r}$ има точка на сгъстяване ${\displaystyle l}$, то очевидно ${\displaystyle l\in \left[a;b\right]}$.

Да допуснем, че ${\displaystyle r}$ няма точка на сгъстяване. Тогава ${\displaystyle \forall x\in \left[a;b\right]\exists }$ околност ${\displaystyle U_{x}}$ на ${\displaystyle x}$, такава че ${\displaystyle U_{x}}$ съдържа само краен брой членове на ${\displaystyle r}$.

Тогава обединението ${\displaystyle \Omega =\cup U_{x}}$ е покритие на интервала ${\displaystyle \left[a;b\right]}$. От теоремата на Хайне – Борел следва, че ${\displaystyle \Omega }$ има крайно подпокритие ${\displaystyle \Omega ^{\prime }}$, състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на ${\displaystyle r}$. Но ${\displaystyle r}$ има безбройно много членове в интервала ${\displaystyle \left[a;b\right]}$, което е противоречие и следователно ${\displaystyle r}$ има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.

Тази теорема е доказана от чешкия математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.