Формули на Виет

За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел.

Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на даден полином и неговите корени. Формулите са наречени на името на Франсоа Виет (François Viète).

Нека е даден полином ${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}$ с коефициенти ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}$ от някакво поле ${\displaystyle F}$

и корени ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ от ${\displaystyle F}$ или от някое разширение ${\displaystyle E}$ на ${\displaystyle F}$.

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n}).}$ Като приравним коефициентите пред съответните степени на ${\displaystyle x}$, получаваме:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}={-a_{n-1} \over a_{n}};}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={a_{n-2} \over a_{n}};}$

${\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots }$

${\displaystyle x_{1}x_{2}\ldots x_{n}=(-1)^{n}{a_{n} \over a_{0}}}$

Ако квадратно уравнение ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ има корени ${\displaystyle x_{1}\!}$ и ${\displaystyle x_{2}\!}$, то за тях са в сила следните зависимости:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}};}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}={c \over a}.}$

Ако кубично уравнение ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ има корени ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ и ${\displaystyle x_{3}}$, то за тях са в сила следните зависимости:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}};}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}};}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$

Формулите на Виет важат както за реални, така и за комплексни корени и коефициенти. В случай че коефициентите и корените са реални числа, формулите на Виет дават възможност да се правят някои заключения за корените, без да се решава уравнението. Например при квадратно уравнение с реални коефициенти и корени, ако произведението на двата корена е отрицателно, то те имат различни знаци; а ако е положително, то те са с еднакви знаци (при това, ако коефициентите са реални числа и c/a < 0, то корените също са реални числа).

Съществува теорема, обратна на теоремата на Виет: ако две числа ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ изпълняват условията ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p}$ и ${\displaystyle x_{1}x_{2}=q}$, то тези числа са корени на уравнението ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$.