Прагляд зыходнага тэксту старонкі Ступенны рад

Вам не дазволена правіць гэту старонку, з-за наступнай прычыны:
Ваш IP-адрас у дыяпазоне, які быў заблакаваны на ўсіх вікі-праектах Фонда Вікімедыя.
Блакіроўка была зроблена ‪EPIC‬. Названая прычына: Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected.
Пачатак блакіроўкі: 11:48, 2 ліпеня 2024
Канец блакіроўкі: 11:48, 2 ліпеня 2025
Ваш бягучы IP-адрас - 206.189.44.186, а заблакаваны дыяпазон - 206.189.32.0/20. Калі ласка, уключайце ўсе гэтыя падрабязнасці ў свае звароты.
Калі вы лічыце, што былі заблакаваны па памылцы, вы можаце знайсці дадатковую інфармацыю і інструкцыі на старонцы Недапушчальнасць выкарыстання адкрытых проксі-сервераў глабальных правіл.
У адваротным выпадку, каб абмеркаваць блакіроўку, калі ласка, звярніцеся з запытам пра перагляд на МетаВікі або адпраўце электроннае паведамленне ў чаргу VRT stewards па адрасе stewards@wikimedia.org, уключаючы ўсе вышэйпералічаныя дэталі.
Можна бачыць і капіраваць зыходны тэкст гэтай старонкі:
{{Calculus|Series}}
У [[матэматыка|матэматыцы]], '''ступенны рад''' (ад аднае зменнай) — [[бесканечны рад]] віду
: <math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1</math><math> + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math>
дзе ''a<sub>n</sub>'' — каэфіцыент пры ''n''-м ступенным члене, ''c'' — пастаянная, а ''x'' прымае значэнні каля ''c'' (з гэтае прычыны іншы раз гавораць, што рад ''цэнтраваны'' ў ''c''). Такія рады звычайна ўзнікаюць як [[рад Тэйлара|рады Тэйлара]] некаторых вядомых [[матэматычная функцыя|функцый]].

У многіх задачах ''c'' раўняецца нулю, напрыклад, для [[рад Маклорэна|радоў Маклорэна]]. У такіх выпадках ступенны рад прымае прасцейшы від
: <math>
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.
</math>
Такія ступенныя рады ўзнікаюць у першую чаргу ў [[матэматычны аналіз|аналізе]], але таксама сустракаюцца ў [[камбінаторыка|камбінаторыцы]] (як [[утваральная функцыя|утваральныя функцыі]], разнавіднасць [[фармальны ступенны рад|фармальных ступенных радоў]]) і электратэхніцы (пад назваю [[Z-пераўтварэнне]]). Падобны па выгляду [[дзесятковая сістэма злічэння|дзесятковы запіс]] [[рэчаісны лік|рэчаісных лікаў]] можна таксама разглядаць як прыклад ступенных радоў з цэлымі каэфіцыентамі, але з вызначаным аргументам ''x'', роўным {{дроб|1|10}}. У [[тэорыя лікаў|тэорыі лікаў]], паняцце [[p-адычны лік|p-адычных лікаў]] таксама цесна звязана з ідэяй ступенных радоў.

== Прыклады ==
[[Выява:Exp series.gif|right|thumb|[[Паказчыкавая функцыя]] (сіняя), і сума першых ''n''+1 членаў яе [[рад Маклорэна|ступеннага рада Маклорэна]] (чырвоная).]]

Любы [[мнагачлен]] лёгка можна запісаць у выглядзе ступеннага рада каля любога цэнтра ''c'', пры гэтым такі рад будзе ўтрымліваць толькі канечную колькасць ненулявых членаў. Напрыклад, мнагачлен <math>f(x) = x^2 + 2x + 3</math> можна запісаць як ступенны рад у наваколлі пункта <math>c=0</math>:
:: <math>f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,</math>
ці ў наваколлі пункта <math>c=1</math>:
:: <math>f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2</math><math> + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,</math>
ці ў наваколлі любога іншага пункта ''c''.

Ступенныя рады можна вобразна разглядаць як «мнагачлены бесканечнае ступені», аднак, строга кажучы, ступенныя рады — не мнагачлены.

Формула для сумы бесканечнай [[геаметрычная прагрэсія|геаметрычнай прагрэсіі]]
:: <math> \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,</math>
справядлівая пры <math>|x|<1</math>, — адзін з найважнейшых прыкладаў ступенных радоў.

Іншымі шырокавядомымі прыкладамі ступенных радоў з'яўляюцца формулы для паказчыкавай функцыі
:: <math> e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,</math>
і сінуса
:: <math> \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,</math>
справядлівыя для ўсіх рэчаісных x.
Названыя рады таксама з'яўляюцца прыкладамі [[рад Тэйлара|радоў Тэйлара]].

Адмоўныя ступені ў ступенных радах не дапускаюцца. Так, напрыклад, рад <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math>
не разглядаецца як ступенны (хаця з'яўляецца [[рад Ларана|радам Ларана]]). Дробныя ступені, як напрыклад <math>x^{1/2}</math>, таксама не дапушчальныя (гл. аднак [[рад Пюізё]]). Каэфіцыенты <math>a_n</math> не павінны залежаць ад <math>x</math>, таму, напрыклад, выраз:
: <math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,</math>
не з'яўляецца ступенным радам.

== Радыус збежнасці ==
Ступенны рад можа для адных значэнняў ''x'' збягацца, а для другіх разбягацца. Усе ступенныя рады ''f''(''x'') па ступенях (''x''-''c'') будуць збягацца ў пункце ''x'' = ''c''. (Пры гэтым, каб атрымаць правільнае ''f''(''c'') = ''a''<sub>0</sub>, трэба прыняць па азначэнню, што 0<sup>0</sup> роўны 1.) Калі ''c'' — не адзіны пункт збежнасці, тады заўсёды існуе лік ''r'', 0 < ''r'' ≤ ∞, такі што рад збягаецца пры |''x'' &minus; ''c''| < ''r'' і разбягаецца пры |''x'' &minus; ''c''| > ''r''. Лік ''r'' называецца '''[[радыус збежнасці|радыусам збежнасці]]''' ступеннага рада; у агульным выпадку ён вызначаецца як
: <math>r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}</math>
ці, што раўназначна, як
<math>r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}.</math>
Гэты факт носіць назву [[тэарэма Кашы - Адамара|тэарэмы Кашы — Адамара]].

Радыус збежнасці зручна вылічаць як граніцу
: <math>r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|,</math>
калі яна існуе.

Рад [[абсалютная збежнасць|збягаецца абсалютна]] пры |''x'' − ''c''| < ''r'' і [[раўнамерная збежнасць|раўнамерна]] на любым [[кампактнае мноства|кампактным]] [[мноства|падмностве]] круга збежнасці {''x'' : |''x'' &minus; ''c''| < ''r''}. Г. зн. рад абсалютна і [[кампактная збежнасць|кампактна збежны]] ўнутры круга збежнасці.

Пры |''x'' − ''c''| = ''r'' у агульным выпадку нельга адназначна сказаць збягаецца рад ці не. Тым не менш, у выпадку рэчаісных зменных [[тэарэма Абеля]] сцвярджае, што сума рада непарыўная ў ''x'', калі рад збягаецца ў ''x''. У выпадку камплексных зменных можна сцвярджаць толькі непарыўнасць уздоўж адрэзка, які злучае ''c'' і ''x''.

== Аперацыі над ступеннымі радамі ==

=== Складанне і адыманне ===
Калі дзве функцыі ''f'' і ''g'' раскладзены ў ступенныя рады ў наваколлі аднаго пункта ''c'', ступенны рад сумы ці рознасці гэтых функцый можна атрымаць пачленным складаннем ці адыманнем адпаведна. Г. зн. калі:
: <math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n</math>
: <math>g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n</math>
то
: <math>f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.</math>

=== Множанне і дзяленне ===
З улікам прыведзеных вышэй абазначэнняў, ступенныя рады здабытку і дзелі функцый можна атрымаць наступным чынам:

: <math> f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)</math>

: <math> = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}</math>

: <math> = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.</math>

Паслядоўнасць <math>m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> вядома як [[згортка, матэматычны аналіз|згортка]] паслядоўнасцей <math>a_n</math> і <math>b_n</math>.

Для дзелі маем:

: <math> {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n</math>

: <math> f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)</math>

і далей, параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях, знаходзім невядомыя каэфіцыенты {{math|''d''<sub>''n''</sub>}}.

=== Дыферэнцаванне і інтэграванне ===
Вызначаная ступенным радам функцыя [[вытворная функцыі|дыферэнцавальная]] [[унутранасць, тапалогія|ўнутры]] абсягу збежнасці. Яе можна лёгка [[вытворная функцыі|прадыферэнцаваць]] і [[інтэграл|праінтэграваць]], разглядаючы кожны член паасобку:

:: <math>
f'(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}
</math>

:: <math>
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.
</math>

Абодва рада маюць той жа радыус збежнасці, што і зыходны рад.

== Аналітычныя функцыі ==

Функцыя ''f'', вызначаная на некаторым [[адкрыта�� мноства|адкрытым падмностве]] ''U'' мноства '''R''' ці '''C''', называецца '''аналітычнаю''', калі яна лакальна задаецца збежным ступенным радам. Гэта значыць, што для кожнага пункта ''a'' ∈ ''U'' ёсць адкрытае [[наваколле, тапалогія|наваколле]] ''V'' ⊆ ''U'', такое што існуе ступенны рад з цэнтрам ''a'', які збягаецца да ''f''(''x'') для любога ''x'' ∈ ''V''.

Кожны ступенны рад з дадатным радыусам збежнасці задае аналітычную функцыю на [[тапалагічная ўнутранасць|ўнутранасці]] яго абсягу збежнасці. Усе [[галаморфная функцыя|галаморфныя функцыі]] камплексна аналітычныя. Сумы і здабыткі аналітычных функцый — аналітычныя функцыі, дзелі таксама аналітычныя, калі дзельнік не роўны нулю.

Калі функцыя аналітычная, то яна бесканечна дыферэнцавальная. Але адваротнае ў рэчаісным выпадку, увогуле кажучы, няверна. Для аналітычнай функцыі каэфіцыенты ''a''<sub>''n''</sub> можна вылічыць па формуле

:: <math>
a_n = \frac {f^{\left( n \right)}\left( c \right)} {n!}
</math>

дзе <math>f^{(n)}(c)</math> — ''n''-я вытворная функцыі ''f'' у пункце ''c'', і <math>f^{(0)}(c) = f(c)</math>. Гэта значыць, што кожную аналітычную функцыю можна лакальна прадставіць у выглядзе яе [[рад Тэйлара|рада Тэйлара]].

На глабальным узроўні аналітычная функцыя поўнасцю вызначаецца сваімі лакальнымі паводзінамі ў наступным сэнсе: калі ''f'' і ''g'' дзве аналітычныя функцыі, вызначаныя на адным і тым жа [[звязнасць|звязным]] адкрытым мностве ''U'', і існуе элемент ''c''∈''U'', такі што ''f''<sup>&nbsp;(''n'')</sup>(''c'') = ''g''<sup>&nbsp;(''n'')</sup>(''c'') для ўсіх ''n'' ≥ 0, тады ''f''(''x'') = ''g''(''x'') для ўсіх ''x'' ∈ ''U''.

Калі зададзен ступенны рад з радыусам збежнасці ''r'', можна разглядаць [[аналітычны працяг|аналітычныя працягі]] гэтага рада, г. зн. аналітычныя функцыі ''f'', вызначаныя на мноствах, большых чым { ''x'' : |''x'' − ''c''| < ''r'' }, і ўзгодненыя з даным ступенным радам на гэтым мностве. Лік ''r'' з'яўляецца найбольшым у наступным сэнсе: заўсёды ёсць [[камплексны лік]] ''x'' на [[Акружнасць|акружнасці]] |''x'' − ''c''| = ''r'', такі што ў гэтым пункце рад нельга аналітычна працягнуць.

Раскладанне [[адваротная функцыя|адваротнай]] да аналітычнай функцыі можна вызначыць, карыстаючыся [[Тэарэма Лагранжа аб абарачэнні радоў|Лагранжавай тэарэмай аб абарачэнні]].

== Фармальныя ступенныя рады ==
{{Асноўны артыкул|Фармальны ступенны рад}}

У [[абстрактная алгебра|абстрактнай алгебры]], імкнуцца да вывучэння сутнасці ступенных радоў, не абмяжоўваючыся [[Поле (алгебра)|палямі]] рэчаісных і камплексных лікаў і не звяртаючы ўвагі на пытанні збежнасці. Гэта вядзе да паняцця [[фармальны ступенны рад|фармальнага ступеннага рада]], вельмі карыснага ў [[алгебраічная камбінаторыка|алгебраічнай камбінаторыцы]].

== Ступенныя рады ад некалькіх зменных ==

Для мэт [[аналіз функцый многіх зменных|аналізу функцый многіх зменных]] неабходна пашырэнне тэорыі. Тут, '''ступенны рад''' — гэта бесканечны рад віду

:: <math>
f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},
</math>

дзе ''j'' = (''j''<sub>1</sub>, …, ''j''<sub>''n''</sub>) — вектар натуральных лікаў, каэфіцыенты
''a''<sub>(''j<sub>1</sub>,…,j<sub>n</sub>'')</sub> звычайна рэчаісныя ці камплексныя лікі, цэнтр ''c'' = (''c''<sub>1</sub>, …, ''c''<sub>''n''</sub>) і аргумент ''x'' = (''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>) звычайна рэчаісныя ці камплексныя вектары. У зручнейшай [[шматындэксныя абазначэнні|шматындэксных абазначэннях]] гэта можна запісаць як

:: <math>
f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.
</math>

Тэорыя такіх радоў больш складаная і мудрагелістая чым для радоў ад аднае зменнай, з больш складанымі абласцямі збежнасці. Напрыклад, ступенны рад <math> \sum_{n=0}^\infty x_1^n x_2^n</math> збягаецца абсалютна на мностве <math>\{ (x_1,x_2): |x_1 x_2| < 1\}</math> паміж дзвюма гіпербаламі. (Гэта прыклад ''лагарыфмічна выпуклага мноства'' ў тым сэнсе, што мноства пунктаў <math>(\log |x_1|, \log |x_2|)</math>, дзе <math>(x_1,x_2)</math> ляжыць у вышэйназванай вобласці, ёсць выпуклае мноства. У больш агульным выглядзе можна паказаць, што пры c=0 унутранасць вобласці абсалютнай збежнасці заўсёды ёсць лагарыфмічна выпуклае мноства.) З другога боку, унутры гэтай вобласці збежнасці рад можна дыферэнцаваць і інтэграваць пачленна, гэтак жа як і звычайныя ступенныя рады.
<!--

== Парадак ступеннага рада ==
Няхай α — мультыіндэкс для ступеннага рада ''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>). '''Парадак''' ступеннага рада ''f'' вызначаецца як найменшае значэнне |α|, такое што ''a''<sub>α</sub> ≠ 0, ці 0, калі ''f'' ≡ 0. У прыватнасці, для ступеннага рада ''f''(''x'') ад аднае зменнай ''x'', парадак рада ''f'' ёсць найменшая ступень ''x'' с ненулявым каэфіцыентам. Гэта азначэнне лёгка пашыраецца на [[рад Ларана|рады Ларана]].
-->

== Гл. таксама ==
* [[Тэарэма Тэйлара]]
* [[Рад Тэйлара]]
* [[Лінейнае прыбліжэнне]]

== Літаратура ==
* {{SpringerEOM|title=Power series|id=Power_series&oldid=15309|last=Solomentsev|first=E.D.}}
* {{крыніцы/БелЭн|15|Ступе́нны шэ́раг|[[Аляксей Адамавіч Гусак|Гусак А. А.]]|223}}

== Спасылкі ==
* {{MathWorld | urlname= FormalPowerSeries | title= Formal Power Series }}
* {{MathWorld | urlname= PowerSeries | title= Power Series }}
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexPowerSeriesMod.html Complex Power Series Module by John H. Mathews]
* [http://demonstrations.wolfram.com/PowersOfComplexNumbers/ Powers of Complex Numbers] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]].
{{Бібліяінфармацыя}}
[[Катэгорыя:Рэчаісны аналіз]]
[[Катэгорыя:Камплексны аналіз]]
[[Катэгорыя:Аналіз функцый многіх зменных]]
[[Катэгорыя:Матэматычныя рады]]
Шаблоны на гэтай старонцы:
Вярнуцца да Ступенны рад.
Узята з "https://be.wikipedia.org/wiki/Ступенны_рад"