纤维丛

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纖維束（fiber bundle 或 fibre bundle）又稱纖維叢，在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射

${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$

${\displaystyle E}$和乘積空間${\displaystyle B\times F}$的局部類似性可以用映射 ${\displaystyle \pi }$ 來說明。也就是說：在每個${\displaystyle E}$的局部空間 ${\displaystyle U}$，都存在一個相同的${\displaystyle F}$（${\displaystyle F}$稱作纖維空間），使得 ${\displaystyle \pi }$ 限制在 ${\displaystyle U}$ 上時　與直积空间${\displaystyle B\times F}$的投影${\displaystyle P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,f)=b}$　相似。（通常會用此滿射：${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$來表示一個纖維叢，而忽略${\displaystyle F}$）

如果${\displaystyle E=B\times F}$，也就是一个可以整体上等於乘積空間的丛叫做平凡丛（trivial bundle）。

纤维丛扩展了向量丛(vector bundle)，向量丛的主要实例就是流形的切丛（tangent bundle）。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。

一个纤维丛由四元组（${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle F}$）组成，其中${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle F}$是拓扑空间而${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$是一个连续满射，满足下面给出的局部平凡（local triviality）条件。${\displaystyle B}$称为丛的基空间（base space），${\displaystyle E}$称为总空间（total space），而${\displaystyle F}$称为纤维（fiber）。映射${\displaystyle \pi }$称为投影映射.下面我们假定基空间${\displaystyle B}$是连通的。

我们要求对于${\displaystyle B}$中的每个點${\displaystyle x}$，存在一个在${\displaystyle B}$中 包含${\displaystyle x}$的开邻域${\displaystyle U}$，並有一個同胚映射${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}$ (顯然${\displaystyle U\times F}$是一個乘積空間) ，${\displaystyle \varphi }$並且要滿足 ${\displaystyle \textstyle \pi (y)=\operatorname {proj} _{1}\circ \phi (y),\,\forall y\in \pi ^{-1}(U)}$，也就是下圖是可交换的：

其中${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\rightarrow U}$是自然投影而${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}$是一个同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 ${\displaystyle \textstyle x=\pi \circ \varphi ^{-1}(x,f),\,\forall x\in U,f\in F}$）。所有${\displaystyle \{(U_{i},\varphi _{i})\}}$的集合称为丛的局部平凡化。

对于${\displaystyle B}$中每點${\displaystyle p}$，原象（preimage）${\displaystyle \pi ^{-1}(p)}$和${\displaystyle F}$同胚并称为點${\displaystyle p}$上的纤维。一个纤维丛（${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle F}$）经常记为

${\displaystyle F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B}$

以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纖維叢${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以${\displaystyle B}$有由映射${\displaystyle \pi }$决定的商拓扑(quotient topology).

一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是，${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle F}$都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是光滑映射。

令${\displaystyle E=B\times F}$并令${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$为对第一个因子的投影，则${\displaystyle E}$是${\displaystyle B}$上的丛。这里${\displaystyle E}$不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛。

最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带（Möbius strip）。莫比乌斯带是一个以圆为基空间${\displaystyle B}$并以线段为纤维${\displaystyle F}$的丛。对于一点${\displaystyle x\in B}$的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$在图中是个（有些扭转的）切片，4个方块宽一个方块长。同胚${\displaystyle \varphi }$把${\displaystyle U}$的原象映到柱面的一块：弯曲但不扭转。

相应的平凡丛${\displaystyle B\times F}$看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。

一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个“扭转”的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环，${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$。

一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例，叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。

另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。

一个球丛是一个纤维为n維球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的单位球丛，其在一点${\displaystyle x}$的纤维是所有${\displaystyle E_{x}}$的单位向量的集合.

纤维丛的截面（section或者cross section）是一个连续映射${\displaystyle f:B\rightarrow E}$使得${\displaystyle \pi (f(x))=x}$对于所有${\displaystyle B}$中的${\displaystyle x}$成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的示性类理论。

截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。纤维丛的局部截面是一个连续映射${\displaystyle f:U\rightarrow E}$其中${\displaystyle U}$是一个${\displaystyle B}$中的开集而${\displaystyle \pi (f(x))=x}$对所有${\displaystyle U}$中的${\displaystyle x}$成立。若${\displaystyle (U,\varphi )}$是一个局部平凡化图，则局部截面在${\displaystyle U}$上总是存在的。这种截面和连续映射${\displaystyle U\rightarrow F}$有1-1对应。截面的集合组成一个层（sheaf）。

纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的相容条件。特别的，令${\displaystyle G}$为一个拓扑群，它连续的从左边作用在纤维空间${\displaystyle F}$上。不失一般性的，我们可以要求${\displaystyle G}$有效的作用在${\displaystyle F}$上，以便把它看成是${\displaystyle F}$的同胚群。纖維叢的一个${\displaystyle G}$-图册（${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle F}$）是之前定義過的局部平凡化並且滿足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图${\displaystyle (U_{i},\varphi _{i})}$和${\displaystyle (U_{j},\varphi _{j})}$且 ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$，則函数

${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F}$

是由以下方式给出：

${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F}$

其中 ${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$ 是一个称为转移函数（transition function）的连续映射。两个${\displaystyle G}$-圖冊是等價的如果他们的聯集也是${\displaystyle G}$-圖冊。一个${\displaystyle G}$-丛是有${\displaystyle G}$-圖冊等价类的纤维丛。群${\displaystyle G}$稱为该丛的结构群（structure group）。

在光滑范畴中，一个${\displaystyle G}$-丛是一个光滑纤维丛，其中${\displaystyle G}$是一个李群而相应的在${\displaystyle F}$上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。

转移函数${\displaystyle t_{ij}}$满足以下条件

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)}$

第三个条件用到三個相交的 ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$上叫做上链条件（cocycle condition，见Čech上同调）。

一个主丛是一个${\displaystyle G}$-丛，其纤维可以认为是${\displaystyle G}$本身，并且有一个在全空间上的${\displaystyle G}$的右作用保持纤维不变。

• 向量丛
• 主丛
• 拉回丛（pullback bundle）
• 纤维化
• 覆盖映射
• 规范场论

• PlanetMath: Fiber Bundle
• MathWorld: Fiber Bundle （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.