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{{NoteTA|G1=Math}}
{{Infobox polygon
|name = 三角形（英語： Triangle）
|image = Triangle illustration.svg
|caption = 三角形
|edges = 3
|schläfli = {3}（[[正三角形]]時）
|area = 有各種求面積的公式；<br/>見[[#面積]]一節
|anglesum = 一百八十度
}}
'''三角形'''，又稱'''三邊形'''（英語： Triangle），是由三条[[线段]]顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面[[幾何圖形|几何图形]]，是最基本和最少邊的[[多边形]]。

一般用大写英语字母<math>A</math>、<math>B</math>和<math>C</math>为三角形的[[頂點 (幾何)|顶点]]标号；用小写英语字母<math>a</math>、<math>b</math>和<math>c</math>表示[[邊 (幾何)|边]]；用<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>和<math>\gamma</math>給[[角]]標號，又或者以<math>\angle ABC</math>這樣的顶点标号来表示。

== 分类 ==

=== 以角度分類 ===
{| style="margin:auto; text-align:center"
|-
| [[File:Triangle.Acute.svg|180px|alt=锐角三角形]]
| [[File:Triangle.Obtuse.svg|180px|alt=钝角三角形]]
| [[File:Triangle.Right.svg|180px|alt=直角三角形]]
|-
|  锐角三角形 || 钝角三角形 || 直角三角形
|-
|}
==== 锐角三角形 ====
銳角三角形的所有內角均為[[锐角|銳角]]。

==== 钝角三角形 ====
鈍角三角形是其中一角為[[钝角|鈍角]]的三角形，其余兩角均小於90°。

==== 直角三角形 ====
{{main|直角三角形}}
[[File:Right triangle.png|right]]

有一个角是[[直角]]（90°）的三角形为[[直角三角形]]。成直角的两条边称为「[[直角邊]]」（cathetus），直角所对的边是「[[斜邊]]」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）

==== 三角函数 ====
{{main|三角函数}}
直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

===以邊長分類===
{| style="margin:auto; text-align:center"
|- 
| [[File:Triangle.Scalene.svg|x150px|不等邊三角形]]
| width="185" | [[File:Triangle.Equilateral.svg|x150px|等邊三角形]]
| width="185" | [[File:Triangle.Isosceles.svg|x150px|等腰三角形]]
|-
| [[不等邊三角形]] || [[等邊三角形]] || [[等腰三角形]]
|}
==== 不等邊三角形 ====
{{main|不等邊三角形}}
三條邊邊長皆不相等的三角形稱為[[不等邊三角形]]。

==== 等邊三角形 ====
{{main|等邊三角形}}
[[等邊三角形]]（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 <math>a</math> ，则其面積公式為 <math>\frac{a^2\sqrt3}{4}</math> 。

等邊三角形是[[正四面體]]、[[正八面體]]和[[正二十面體]]這三個[[柏拉圖立體|正多面體]]面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個[[正六邊形]]。
==== 三角形的对边 ====
对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。
对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。

==== 等腰三角形 ====
{{main|等腰三角形}}
[[File:一个直角边为6.5的等腰直角三角形.svg|thumb|right|等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩个角為45度。]]
[[等腰三角形]]是三条[[邊 (幾何)|边]]中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。

[[等边三角形]]和[[等腰直角三角形]]是等腰三角形的特殊形式。

令其底边是 <math>b</math> ，腰是 <math>a</math>，则其面積公式為 <math>\frac{1}{4}{b\sqrt{4a^2-b^2}}</math>
等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

==== 退化三角形 ====
{{see also|退化多邊形#退化三角形}}
退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於[[三角不等式]]之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

==勒洛三角形==
[[勒洛三角形]]（{{lang-en|Reuleaux triangle}}），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師{{link-en|弗朗茨·勒洛|Franz Reuleaux}}命名。

== 一般性质 ==
===三角不等式===

*三角边長不等式
*:三角形两边之和大于第三边，两边之差的[[绝对值]]小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。
*三角[[內角和外角|內外角]]不等式
*:三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

=== 角度 ===

[[File:三角形の内角と外角.png|right]]

*三角形外角
*:三角形兩內角之和，等於第三角的外角。
*三角形內角和
*:在歐幾里德[[平面 (数学)|平面]]內，三角形的內角和等於180°。

===勾股定理===
{{main|勾股定理}}

勾股定理，又稱[[畢氏定理]]或[[毕达哥拉斯定理]]。其斷言，若直角三角形的其中一邊 <math>c</math> 為斜邊，即 <math>c</math> 的對角 <math>\gamma =90^\circ</math> ，則
: <math>a^2 + b^2 = c^2 </math>。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足
: <math>a^2 + b^2 = c^2 </math>，
則
:<math>\gamma =90^\circ</math>

===正弦定理===
{{main|正弦定理}}
設 <math>R</math> 为三角形[[外接圓]]半径，則
:<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}=2R</math>

===餘弦定理===
{{main|餘弦定理}}
對於[[任意三角形]]：
: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha,</math>
: <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cdot\cos\beta,</math>
: <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\gamma.</math>
[[勾股定理]]是本定理的特殊情况，即当角 <math>\alpha=90^\circ\,</math> 时， <math>\cos\alpha=0</math> ，于是 <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha</math> 化简为 <math>a^2 = b^2 + c^2</math> 。

== 全等及相似 ==
===全等三角形===
{{main|全等三角形}}
三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為[[全等三角形]]。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

* SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
* SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
* ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
* RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。<ref>P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25</ref>{{NoteTag|1=聯合SAS性質，可得「兩個'''直角'''三角形只要任兩邊（兩股，或一股一斜邊）對應地相等，即全等」。}}
* AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保证两个三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。<ref>{{cite journal|author = 黃德華|title = 「課堂學習研究」提升「本科知識」和「教學內容知識」之探究：判定「全等三角形」新發現|url = http://tame.tw/old/forum.php?mod=viewthread&tid=277|journal = 臺灣數學教師|volume = 37|issue = 2|year = 2016|doi = 10.6610/TJMT.20160629.01|quote = ⋯⋯SSO（O 是一鈍角）也是判断全等三角形的正確條件|pages = 17–49|access-date = 2022-01-26|archive-date = 2022-01-26|archive-url = https://web.archive.org/web/20220126041804/http://tame.tw/old/forum.php?mod=viewthread&tid=277|dead-url = no}}</ref>{{rp|34}}<ref>{{cite journal |first = Alexander F. |last = Mironychev |title = SAS and SSA Conditions for Congruent Triangles |url = https://www.davidpublisher.com/index.php/Home/Article/index?id=36180.html#Abstract |journal = Journal of Mathematics and System Science |volume = 8 |issue = 2 |year = 2018 |pages = 59–66 |doi = 10.17265/2159-5291/2018.02.003 |access-date = 2022-01-26 |archive-date = 2022-01-26 |archive-url = https://web.archive.org/web/20220126041745/https://www.davidpublisher.com/index.php/Home/Article/index?id=36180.html#Abstract |dead-url = no }}</ref>

===相似三角形===
* AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
* 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
* 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

== 特殊線段 ==
三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。
* [[中線 (幾何學)|中線]]（median）：三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。
* [[高线]]（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
* [[角平分线]]（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
* [[垂直平分線]]（perpendicular bisector）：通過三角形一边中点与該边所垂直的线段，又稱中垂线。
以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

=== 中线长度 ===

设在<math>\Delta ABC\,</math>中，若三边<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c \,</math>的中線分别为<math>m_a</math>、<math>m_b</math>、<math>m_c</math>，则：
:<math> m_a = \sqrt{\frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} a^2}</math>
:<math> m_b = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} b^2}</math>
:<math> m_c = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{4} c^2}</math>

=== 高线长度 ===

设在<math>\Delta ABC\,</math>中，連接三个顶点<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>上的高分別记作<math>h_a</math>、<math>h_b</math>、<math>h_c</math>，則：
:<math>h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}</math> 
:<math>h_b=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{b}</math> 
:<math>h_c=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{c}</math> 
其中 <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> 。

=== 角平分线长度 ===

设在<math>\Delta ABC\,</math>中，若三个角<math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>的角平分线分别为<math>t_a</math>、<math>t_b</math>、<math>t_c</math>，则：
:<math>t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(b+c+a \right)\left(b+c-a \right)bc}</math>

:<math>t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+c+b\right)\left(a+c-b \right)ac}</math>

:<math>  t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}</math>

== 三角形的心 ==

三角形的[[內心]](Incenter) 、[[外心]](Circumcenter)、[[垂心]](Orthocenter) 及[[形心]](Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：

{| class="wikitable"
|-
! 名称 || 定义 || 图示 || 备注
|-
| '''[[內心]]''' || 三个內角的[[角平分线]]的交點 || [[File:三角形の内心.png|250px]] || 該點為三角形[[內切圓]]的圓心。
|-
| '''[[外心]]''' || 三條邊的[[中垂線]]的交點 || [[File:三角形の外心.png|250px]] || 該點為三角形[[外接圓]]的圓心。
|-
| '''[[垂心]]''' || 三条[[高线]]的交點 || [[File:三角形の垂心.png|250px]] || 
|-
| '''[[形心]]（重心）''' || 三条[[中线]]的交點 || [[File:三角形の重心.png|250px]] || 被交点划分的线段比例为1:2（靠近角的一段较长）。
|}

关于三角形的四心，有这样的一首诗：

{{cquote|內心全靠角平分，<br />
外心中點垂線伸，<br />
垂心垂直畫三高，<br />
形心角連線中心。|}}

[[File:Triangle.EulerLine.svg|300px|right]]













垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能連成一線，且成比例1:2，稱為[[歐拉線]]，與[[九點圓]]的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的[[旁心]]，合稱為三角形的五心：
{| class="wikitable"
|-
! 名称 || 定义 || 图示 || 备注
|-
| '''[[旁心]]''' || 外角的[[角平分线]]的交點 || [[File:三角形の傍心.png|250px]] || 有三个，为三角形某一边上的[[旁切圆]]的[[圆心]]。
|}

== 外接圆和内切圆半径 ==
設外接圆半径為<math>R</math> ， 内切圆半径為<math>r</math> ，則：

:<math> R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}=\frac{abc}{4 \triangle}</math>

:<math> r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2 \left(a+b+c \right)}=\frac{\triangle}{s}</math>
其中<math>\triangle</math>為三角形面積；<math>s</math>為三角形半周長，<math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>

== 面積 ==

=== 基本公式 ===

三角形的面積 <math>A</math> 是底邊 <math> b </math> 與高 <math> h </math> 乘積的一半，即：
:<math>A=\frac{1}{2}bh</math>，
其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

{{hideh|證明}}
[[File:Triangle.GeometryArea.svg|thumb|350px|三角形的面積可表示為一長方形面積的一半。]]
從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 <math>bh</math> 的長方形。因此原來的三角形面積為
:<math>A=\frac{1}{2}bh</math>。
證畢。

{{hidef}}

=== 已知兩邊及其夾角 ===
設 <math>a</math> <math>b</math> 為已知的兩邊， <math>\gamma</math> 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：
:<math>A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}</math>。

{{hideh|證明}}
[[File:Triangle.TrigArea.svg|thumb|150px|三角形的高''h''能以[[正弦]]的定義表示。]]

觀察右圖，根據[[正弦]]的定義：
:<math>\sin \gamma = \frac{h}{a}</math>。

因此：
:<math>h = a \sin \gamma </math>。

將此式代入基本公式，可得：
:<math>A = \frac{1}{2} b (a \sin \gamma) = \frac{1}{2}ab\sin{\gamma}</math>。

證畢。
{{hidef}}

===已知兩角及其夾邊===
<math>\beta</math> 、 <math>\gamma</math> 為已知的兩角， <math>a</math> 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：
:<math>A=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)}</math>。

{{hideh|證明}}
[[File:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|200px|三角形的面積能從兩角及其夾邊求得。]]

從[[正弦定理]]可知：

:<math>\begin{align}
\frac{b}{\sin \beta} & = \frac{a}{\sin \alpha} \\
b & = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} \\
\end{align}</math>

代入 <math>A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma</math> ，得：

:<math>A = \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin \alpha}</math>。

注意到<math>\alpha + \beta + \gamma= 180^\circ</math>，因此：
:<math>\begin{align}
A & =\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin [180^\circ - (\beta + \gamma)]} \\
& =\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)} \\
\end{align}</math>

證畢。
{{hidef}}

=== 已知三邊長 ===
[[海倫公式]]，其表示形式為：
:<math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math>，
其中 <math>s</math> 等於三角形的半周長，即：
:<math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>

[[秦九韶]]亦求過類似的公式，稱為'''三斜求積法'''：
:<math>A = \sqrt{\frac{1}{4} {\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}}</math>

也有用[[幂和]]来表示的公式：
:<math>\begin{align}
A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\
&= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\
\end{align}</math>{{NoteTag|應用實例，如[[外森比克不等式#证明一|外森比克不等式的證明]]}}
{{hideH|證明}}
將[[海倫公式]]略為變形，知
:<math>16 A^2=[(a+b)+c][(a+b)-c] \times [c+(a-b)][c-(a-b)]</math>
多次使用[[平方差|平方-{}-差]]公式，得
:<math>\begin{align}
16 A^2 &=[(a+b)^2-c^2] \times [c^2-(a-b)^2]\\
&=[2ab+(a^2+b^2-c^2)]\times[2ab-(a^2+b^2-c^2)]\\
&=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2\\
&=4a^2b^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2)\\
&=(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\
&=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\
\end{align}</math>
等號兩邊開根號，再同除以4，得
:<math>\begin{align}
A &=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\
  &=\frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\
\end{align}</math>
{{hideF}}
亦可用[[Cayley–Menger行列式]]表示的公式：
:<math>16 \cdot A^2 =-
\begin{vmatrix}
  0 & a^2 & b^2 & 1\\
  a^2 & 0 & c^2 & 1\\
  b^2 & c^2 & 0 & 1\\
  1 & 1 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}</math>

基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不[[數值穩定]]，有一個變化的計法。設 <math>a \ge b \ge c</math> ，三角形面積為：
:<math>A = \frac{1}{4} \sqrt{[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}</math>。

{{hideh|證明}}

設 <math>a</math> 、 <math>b</math>、<math>c</math>為三角形三條邊， <math>\alpha</math> 、 <math>\beta</math> 、 <math>\gamma</math> 為相應邊的對角。從[[餘弦定理]]可知：

:<math>\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>

以畢氏[[三角恆等式]]可得：
:<math>\sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>。

將此式代入<math>A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}</math>，得：
:<math>A = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math>。

因式分解及簡化後可得：
:<math>A = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}</math>

代入<math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>，即可證畢。
{{hidef}}

=== 已知[[坐标系]]中三顶点坐标 ===
由 <math>(x_1,y_1)</math> 、 <math>(x_2,y_2)</math> 及 <math>(x_3,y_3)</math> 三个顶点构成的三角形，其面积可用[[行列式]]的絕對值表示：

:<math>A =\left|  \frac{1}{2} \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right|</math>

{{hideh|證明}}

无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。
{{hidef}}

若三個[[頂點 (幾何)|頂點]]設在三維坐標系上，即由 <math>(x_1,y_1,z_1)</math> 、 <math>(x_2,y_2,z_2)</math> 及 <math>(x_3,y_3,z_3)</math> 三个顶点构成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的[[畢氏和]]，即：
:<math>A = \frac{1}{2} \sqrt {\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}^2 +
\begin{vmatrix}y_1 & z_1 & 1 \\y_2 & z_2 & 1 \\y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} ^2 +
\begin{vmatrix}z_1 & x_1 & 1 \\z_2 & x_2 & 1 \\z_3 & x_3 & 1 \end{vmatrix}^2 }</math>

=== 已知周界��內切圓或外接圓半徑===
設三角形三邊邊長分別為 <math>a</math> 、 <math>b</math> 及 <math>c</math> ，三角形半周長（ <math>\frac{a+b+c}{2}</math> ）為 <math>s</math> ，內切圓半徑為 <math>r</math>，則：
:<math>A = sr</math>

若設外接圓半徑為 <math>R</math> ，則：
:<math>A =\frac{abc}{4R}</math>

{{hideh|證明}}

'''內切圓半徑公式'''

[[File:三角形の内心.png|thumb|300px|三角形被三條角平分線分成三分。]]

根據右圖，設 <math>\overline{AB} = c</math> ， <math> \overline{AC}=b </math> ， <math>\overline{BC} = a </math> ，則三角形面積可表示為：
:<math>\begin{align}
A & = \frac{1}{2} ar + \frac{1}{2} br + \frac{1}{2} cr \\
& = \frac{r(a+b+c)}{2} \\
& = rs
\end{align}</math>

'''外接圓半徑公式'''

根據[[正弦定理]]：

:<math>\begin{align}
\frac{c}{\sin \gamma} & = 2R \\
\sin \gamma & = \frac{c}{2R} \\
\end{align}</math>

因此：

:<math>\begin{align}
A & = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \\
& = \frac{1}{2}ab \left( \frac{c}{2R} \right) \\
& = \frac{abc}{4R}
\end{align}</math>

{{hidef}}

=== 已知兩邊向量===
設從一角出發，引出兩邊的向量為 <math>\mathbf{a}</math> 及 <math>\mathbf{b}</math> ，三角形的面積為：
:<math> A = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} |</math>

{{hideh|證明}}

根據[[向量積]]定義，<math> |\mathbf{a} \times \mathbf{b} | = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \gamma</math>，
其中 <math> \gamma </math> 是兩支向量的夾角。

因此：
:<math> \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} | = \frac{1}{2} |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \gamma = A</math>

證畢。
{{hidef}}

== 半角定理 ==
在三角形<math>  ABC\,</math>中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：
:<math>
\begin{align}
\tan{\frac{A}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}} \\

\tan{\frac{B}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}} \\

\tan{\frac{C}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}} \\
\end{align}
</math>

{{hideh|證明}}
以[[正弦]]及[[餘弦]]之比表示[[正切]]：
:<math> \tan\frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}</math>

因为

:<math> \sin \frac{A}{2}>0</math>

:<math> \tan \frac{A}{2}>0 </math>

所以
:<math> \sin \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1-\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)} </math>

:<math>=\sqrt{ \frac{a^2-{\left(b-c\right)}^2 }{4bc}}</math>

:<math>=\sqrt{ \frac{\left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right)}{4bc}}</math>

而
:<math> \cos \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1+\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}</math>

:<math>=\sqrt{ \frac{{\left(b+c\right)}^2-a^2 }{4bc}} </math>

:<math>=\sqrt{ \frac{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right)}{4bc}}</math>

所以
:<math>
\begin{align}
\tan\frac{A}{2}&=\frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}\\
&=\frac{\sqrt{\cfrac{(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt{\cfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}\\
&=\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}
\end{align}
</math>

同理可得
:<math> \tan \frac{B}{2}=\sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}</math>

:<math> \tan \frac{C}{2}=\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}</math>
{{hidef}}

== 其他有关三角形的定理 ==
* [[外角定理]]
* [[拿破仑三角形]]
* [[费马点]]
* [[欧拉线]]
* [[梅涅劳斯定理]]
* [[樞紐定理]]
* [[維維亞尼定理]]
* [[莫雷角三分線定理]]

==註釋==
{{NoteFoot}}

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

== 參看 ==
{{Commons category}}
* [[三角學]]
* [[三-椭圆形]]

{{幾何術語}}
{{多邊形}}

[[Category:多邊形|3]]
[[Category:三角學|*]]
[[Category:三角形幾何]]
[[Category:三]]

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無限角星（编辑）
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