阻力

阻力一般可以分为以下几类：

• 寄生阻力（parasitic drag），包括
  • 形状阻力（form drag）
  • 摩擦阻力（skin friction drag）
  • 干扰阻力（interference drag）
• 诱导阻力（induced drag）

对于高速（或高雷诺数）的流场而言，一物体的阻力的特性可以用一个无因次的阻力系数来描述，配合阻力系数，可以用阻力方程式来计算阻力。若阻力系数为一常数，阻力约和相对速度的平方成正比，因此需克服阻力需要的功率则和速度的立方成正比。

阻力方程式可计算物体在较高速（雷诺数${\displaystyle R_{e}>\sim 1000}$ ）流体下的阻力，此阻力也称为二次阻力或平方阻力。此方程式是由瑞利勋爵所提出，提出时用${\displaystyle L^{2}}$ （${\displaystyle L}$ 代表某特定长度）代替${\displaystyle A}$ ，物体所受的流体阻力如下：

${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\mathbb {C} _{d}\,A}$ 

其中

${\displaystyle \mathbf {F} _{D}}$  为阻力

${\displaystyle \mathbf {} \rho }$  为流体密度^[1]

${\displaystyle \mathbf {} v}$  为流体相对于物体的速度

${\displaystyle \mathbf {} C_{d}}$  为阻力系数，为一无因次的参数，像汽车的阻力系数约为0.25至0.45

${\displaystyle \mathbf {} A}$  为参考面积

参考面积${\displaystyle A}$ 一般定义为物体在运动方向上的正交投影面积。对于形状简单的物体（例如球），参考面即为截面。有时会使用其他的参考面积来定义一物体的阻力系数，此时需特别标明使用的参考面。

以机翼而言，若阻力及升力使用的参考面积相同，阻力及升力的比值（升阻比）即为阻力系数及升力系数的比值，在比较阻力及升力的大小时最为方便^[2]。因此机翼阻力系数的参考面积一般会是机翼的翼面积（即机翼沿垂直方向的投影面积），而不是沿飞行方向的投影面积^[3]。

若物体有光滑的表面，在流场中没有固定的分离点（例如球或圆柱），其阻力系数会随著雷诺数${\displaystyle R_{e}}$ 而变化，甚至在雷诺数很高（其量级到10⁷）时也是如此^[4][5]。若物体有在流场中有固定的分离点（例如一法向量和流场方向平行的圆盘），在雷诺数${\displaystyle R_{e}>3500}$ 时，阻力系数不随雷诺数而变化^[5]。若物体不是球对称，阻力系数也是流场和物体本身对称轴夹角的函数。

一物体在在时间${\displaystyle t=0}$ 时的初速${\displaystyle v=0}$ ，在非浓稠的介质落下（因此不考虑介质的浮力），其速度可以用以下的双曲函数表示：

${\displaystyle v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho C_{d}A}{2m}}}\right).\,}$ 

在${\displaystyle t}$ 很大时，双曲正切函数${\displaystyle \tanh }$ 其函数极限值为1，因此上述的速度有一渐近值，称为终端速度${\displaystyle v_{t}}$ ：

${\displaystyle v_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.\,}$ 

对于形状接近球形、平均半径为${\displaystyle d}$ 、密度为${\displaystyle \rho _{obj}}$ 的物体，终端速度约为

${\displaystyle v_{t}={\sqrt {gd{\frac {\rho _{obj}}{\rho }}}}.\,}$ 

若物体的密度接近水（如雨滴、冰雹、鸟、昆虫等）差不多，在接近海平面的地表落下，终端速度约为

${\displaystyle v_{t}=90{\sqrt {d}},\,}$ 

其中

${\displaystyle d}$  的直径，单位是公尺

${\displaystyle v_{t}}$ 为速度，单位为m/s。

例如人体（${\displaystyle \mathbf {} d}$  ~ 0.6 m）其${\displaystyle \mathbf {} v_{t}}$  约为 70 m/s，体型接近猫的动物（${\displaystyle \mathbf {} d}$  ~ 0.2 m）其${\displaystyle \mathbf {} v_{t}}$  约为 40 m/s，小鸟（${\displaystyle \mathbf {} d}$  ~ 0.05 m）其${\displaystyle \mathbf {} v_{t}}$  ~ 20 m/s约为 40 m/s，而昆虫（${\displaystyle \mathbf {} d}$  ~ 0.01 m）其${\displaystyle \mathbf {} v_{t}}$  ~ 9 m/s。

非常小的物体（例如花粉）在低雷诺数流体中的终端速度可以用斯托克斯定律来描述。

较大的生物其终端速度较高，因此从高处落下时致命的可能性也较高。例如老鼠和人分别以各自的终端速度坠落时，老鼠其存活的可能性会比人高很多。若蚱蜢以其终端速度坠落时，可能甚至不会受伤。生物大小和其终端速度的关系，以及其肢体截面积和身体质量间的比例关系（一般称为平方立方定律（英语：Square-cube law））可用来说明为何有些小动物从高处落下时不会受伤^[6]。

当物体在雷诺数很低，没有紊流（雷诺数${\displaystyle R_{e}<1}$ ）的流体中^[7]移动时，其受到的阻力称为黏滞阻力、线性阻力。此情形下，阻力大约和速度成正比，但和速度方向相反。黏滞阻力的方程式如下：^[8]

${\displaystyle \mathbf {F} _{d}=-b\mathbf {v} \,}$ 

其中：

${\displaystyle \mathbf {} b}$  为一常数，和流体特性及物体尺寸有关

${\displaystyle \mathbf {v} }$  为物体和流体的相对速度

若一物体由静止状态落下，其速度为

${\displaystyle v(t)={\frac {(\rho -\rho _{0})Vg}{b}}\left(1-e^{-{\frac {bt}{m}}}\right)}$ 

其速度会趋近终端速度${\displaystyle \mathbf {} v_{t}={\frac {(\rho -\rho _{0})Vg}{b}}}$ 。若${\displaystyle \mathbf {} b}$ 为定值，较重的物体会较快落下。

对于小的球形物体缓慢的通过黏性流体（因此雷诺数很小）的情形，斯托克斯推导其阻力常数如下

${\displaystyle b=6\pi \eta r\,}$ 

其中

${\displaystyle \mathbf {} r}$ 为物体的当量球径

${\displaystyle \mathbf {} \eta }$ 为流体的黏滞系数

例如，考虑一半径 ${\displaystyle \mathbf {} r=}$ 0.5 微米（直径=1.0 µm）的球形物体以10 µm/s的速度通过水中。依上式可得其阻力为0.09 pN，这也就是细菌游过水中所受到的阻力。

飞行中飞机所受到的空气阻力。分成四大类。分别是摩擦阻力、压差阻力、寄生阻力及诱导阻力。

其中摩擦阻力、压差阻力、寄生阻力与速度的平方成正比，诱导阻力则与速度的平方成反比。飞行阻力是这四种阻力的合成。

诱导阻力（或称感应阻力）是指飞行体在产生升力时，一并衍生的阻力。诱导阻力包括二个主要组成成分，一个是因为涡流而产生的阻力（涡流阻力），另一个则是额外产生的黏滞阻力。在飞行体通过空气时，其上表面及下表面的气流压强不同，但在飞行体尾端，上方及下方不同压强的气流会混合，产生紊流及涡流^[9]。

在其他参数不变的条件下，当飞行体产生的升力增加时，其诱导阻力也随之增加。对飞行中的飞机而言，这表示在飞机失速前，当其攻角及升力系数增加时，其诱导阻力也随之增加。当失速时，升力及诱导阻力都突然下降，而此时飞行体表面形成独立的紊流，造成寄生阻力中的黏滞压差阻力上升

寄生阻力是一物体在一不可压缩流体中移动所受到的阻力。寄生阻力中包括由秥滞力产生压强差的阻力（形状阻力）以及因表面粗糙度产生的阻力（表面摩擦阻力）。若物体附近有其他相邻近的物体，会产生干扰阻力，有时也会视为寄生阻力的一部份。

在低速飞行时，由于维持升力需要的功率较大，飞机的攻角较大，其产生的诱导阻力也较大。不过当速度提高时诱导阻力随之下降，而流体相对物体的速度提高，因此寄生阻力会变大。若速度已到达穿音速，波动阻力也随之出现。其中速度提高时，诱导阻力下降，其他阻力却随之上升，因此总阻力会在某一速度时出现最小值，若飞机以此速度航行，其效率会等于或接近其最佳效率。飞行员会以此速度来使续航力最大化（使油耗最小化），或是在引撃故障时可以使滑翔距离最大化。

可以将寄生阻力及诱导阻力相对速度的特性曲线绘制在同一图上，此图在航空学中称为功率曲线。功率曲线可以让飞行员了解不同速度下，飞机飞行所需要输出的功率，是非常重要的曲线。

功率曲线中寄生阻力及诱导阻力有一交点，交点处的阻力总和最小。交点的右侧为正常控制区，当速度越高时，维持定速需要的推力越大。交点的左侧为反向控制区，此区域的功率特性恰好与一般直觉的认知相反：当速度越低时，维持定速需要的推力越大。夂当速度越高时，维持定速需要的推力越大。若飞机的速度低于此交点对应的速度，会出现一个不符合人类直觉的特性：当速度越低时，维持定速需要的推力越大。

波动阻力（压缩性阻力）是指一高速物体通过可压缩流体时所出现的阻力。在空气动力学中，依飞行速度的不同，波动阻力也可分为几种不同的组成成份。

在跨音速飞行（马赫数介于0.8及1.4之间）时，波动阻力是飞行体形成激波后的结果。一般会出现在出现局部超音速流（局部流体马赫数大于1.0）的区域。实务上，当飞行体较音速低很多，但加速时部份区域的空气速度超过音速，就会出现局部超音速流。因此飞机附近的气流既有超音速流，也有低于音速的亚音速。飞机在跨音速飞行的正常运作过程中常会产生波动阻力，这种波动阻力常称为跨音速压缩性阻力。当马赫数接近1时，跨音速压缩性阻力会显著的上升，远大于同速度下的其他阻力。

在超音速飞行（马赫数大于1.0）时，会在飞行体的前缘及后缘出现斜激波。若速度非常高，或是飞行体转弯角度够大时，则会出现舷波（bow wave）。在超音速飞行时，阻力一般可以分为二个成份：超音速升力相关的波动阻力，及超音速体积相关的波动阻力。

布斯曼双翼机（英语：Busemann's Biplane）是一种特殊型式的飞行体，当依其设计速度航行时，完全不产生波动阻力，不过它本身无法产生升力。

位流理论是18世纪最能解释非黏性流的理论。但1752年时法国物理学家达朗伯特依位流理论，推导到位流下其阻力为零的结果，此结果和实测结果矛盾，因此称为达朗伯特悖论。

19世纪时科学家圣维南、纳维、斯托克斯开始用纳维－斯托克斯方程来分析黏性流。斯托克斯推导了一球形物体在雷诺数很低的流体中的阻力，其结果即为斯托克斯定律^[10]。

纳维－斯托克斯方程在高雷诺数时会趋近非黏性流的欧拉方程式，此时可以用位流理论进行分析，得到阻力为零的结果，但所有在高雷诺数下进行的实验，均证实阻力的存在，和位流所得的结果矛盾。科学家也试著找出除了位流以外，欧拉方程在非黏性定常流的解，不过没有什么进展^[10]。

1904年德国科学家普朗特依理论及实验的结果，提出了边界层的概念，也说明了高雷诺数流体为何会产生阻力^[10]。

• French, A. P. Newtonian Mechanics (The M.I.T. Introductory Physics Series) 1st. W. W. Norton & Company Inc., New York. 1970. ISBN 0393099709. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers 6th. Brooks/Cole. 2004. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics 5th. W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0809-4. 
• Huntley, H. E. Dimensional Analysis. Dover. 1967. LOC 67-17978. 
• Batchelor, George. An introduction to fluid dynamics. Cambridge Mathematical Library 2nd. Cambridge University Press. 2000. ISBN 978-0-521-66396-0. MR1744638. 

• Educational materials on air resistance （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Aerodynamic Drag （页面存档备份，存于互联网档案馆） and its effect on the acceleration and top speed of a vehicle.
• Vehicle Aerodynamic Drag calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆） based on drag coefficient, frontal area and speed.