LOCC

將一個量子系統分成兩部分，利用 LOCC 操作，把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。 舉例說明：愛麗絲和鲍勃分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分，例如 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mid \uparrow \downarrow \rangle -\mid \downarrow \uparrow \rangle )}$ 。愛麗絲和鲍勃都只能對各自的自旋進行操作，也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量，當愛麗絲進行S_z的測量後，得到本征值+ħ/2，波函數塌縮成 ${\displaystyle \mid \uparrow \downarrow \rangle }$ ，然後愛麗絲透過電話告訴鲍勃結果，這就是Classical Communications，鲍勃知道結果後也相應做了一個Local Operation，現在鲍勃做σ_x操作，於是波函數變為 ${\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }$ 。如果剛才愛麗絲測得本征值-ħ/2，波函數塌縮成 ${\displaystyle \mid \downarrow \uparrow \rangle }$ ，則愛麗絲立即進行σ_x操作，然後經由電話告訴鲍勃，要求鲍勃不做任何操作，結果仍然可將波函數透過利用LOCC轉換成 ${\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }$ 。

顯然利用 LOCC 把某個態 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  轉換成 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ，A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要 ${\displaystyle |\phi \rangle }$  的糾纏熵比 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  的糾纏熵還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉，首先，可以把 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  和 ${\displaystyle |\phi \rangle }$  分別做施密特分解（英语：Schmidt decomposition）：

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}}}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle }$ 

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}'}}|a_{i}'\rangle |b_{i}'\rangle }$ 

將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理^[1]:

若Majorization

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}$ ,

對於所有 ${\displaystyle k}$  都成立，則 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  可利用LOCC轉換成 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ 。

然而若上述條件不成立，並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入催化態，LOCC 轉換仍有可能的。

Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子^[2]：考慮

${\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }$ 

${\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }$ 

${\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }$ 

以上三個態已經過施密特分解（英语：Schmidt decomposition）且係數皆由大至小排列，以下進行 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  和 ${\displaystyle |\phi \rangle }$  驗算係數的前 ${\displaystyle k}$  項之和：

${\displaystyle k}$	${\displaystyle |\psi \rangle }$	${\displaystyle |\phi \rangle }$
0	0.4	0.5
1	0.8	0.65
2	0.9	1.0
3	1.0	1.0

以上表格中，若「${\displaystyle |\psi \rangle }$  的前 ${\displaystyle k}$  項之和」比「${\displaystyle |\phi \rangle }$  的前 ${\displaystyle k}$  項之和」小的話，填入綠色；大的話，填入紅色；相等則是留下白色。如此一來，觀察 ${\displaystyle k}$  方向的顏色便一目了然。如果所有顏色皆為綠色，則表示 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  可經由LOCC轉換成 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ；如果所有顏色皆為紅色，則表示 ${\displaystyle |\phi \rangle }$  可經由LOCC轉換成 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ；如果顏色既有紅色又有綠色，則說明若無催化態便不可轉換。

那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢？我們考慮直積態 ${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$  和 ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$ ：

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$ 

以上各項已按照由大至小排列，接著同樣進行製作表格計算前 ${\displaystyle k}$  項之和：

${\displaystyle k}$	${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$	${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$
0	0.24	0.30
1	0.48	0.50
2	0.64	0.65
3	0.80	0.80
4	0.86	0.90
5	0.92	1.00
6	0.96	1.00
7	1.00	1.00

表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色，因此根據尼爾森定理，${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$  透過LOCC轉換成 ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$  是可以的。由於 ${\displaystyle |c\rangle }$  只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走，很像化學反應中的催化劑，因此可稱 ${\displaystyle |c\rangle }$  是催化態。

2007年塔庫（Turgut）證明了定理^[3]

^{[4] [5] [6]}