引力場

在古典力學中，重力場是一個物理量^[3]。其定義為：在單一質量 ${\displaystyle M}$  附近的重力場是一個向量場，通常記做 ${\displaystyle {\bf {g}}}$ ，這個向量場在空間中各點的方向指向質量M的位置，大小為每單位質點在該處受到的重力，亦即，若一質點 ${\displaystyle m}$  在空間中某處受到來自 ${\displaystyle M}$  的重力為 ${\displaystyle {\bf {F}}}$  ，則該處的重力場強度定義為 ${\displaystyle \mathbf {F} /m}$  ，其中 ${\displaystyle m}$  稱為測試質量（英语：Test particle）。由此也可看出，重力場強度可以透過牛頓的萬有引力定律公式計算^[4]：

${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {R} }{\mathrm {d} t^{2}}}=-GM{\frac {\mathbf {\hat {R}} }{\left|\mathbf {R} \right|^{2}}}}$ 

式中，${\displaystyle G}$  為萬有引力常數，${\displaystyle \mathbf {R} }$  為質量 ${\displaystyle m}$  的位置向量（以質量 ${\displaystyle M}$  處為原點），${\displaystyle t}$  為時間，${\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}}$  為 ${\displaystyle \mathbf {R} }$  方向的單位向量。這個式子涵蓋了牛頓的萬有引力定律。注意到 ${\displaystyle {\bf {g}}}$  的大小與質量 ${\displaystyle m}$  的加速度 ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {R} /\mathrm {d} t^{2}}$  相同，換言之，重力場強度的量值與重力加速度的量值相等^[5]。

由於重力是保守的，重力場也是保守的，從而它可以被寫成一個純量場的梯度^[6]：

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \Phi }$ 

此純量場 ${\displaystyle \Phi }$  稱作重力位。

若空間中存在多個帶質量的物體，那麼空間中任一點的重力場則是個別質量在該處建立的重力場的向量和^[7]：

${\displaystyle \mathbf {g} _{j}^{\text{(net)}}=\sum _{i\neq j}\mathbf {g} _{i}={\frac {1}{m_{j}}}\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{i}=-G\sum _{i\neq j}m_{i}{\frac {\mathbf {\hat {R}} _{ij}}{\left|\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} _{j}\right|^{2}}}=-\sum _{i\neq j}\nabla \Phi _{i}}$ 

也就是說，質量 ${\displaystyle m_{j}}$  處的重力場是除了 ${\displaystyle m_{j}}$  本身以外所有其他質量 ${\displaystyle m_{i}}$  造成的重力場 ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$  的向量和。式中 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}_{ij}}$  是 ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} _{j}}$  方向的單位向量。

進一步對重力場 ${\displaystyle {\bf {g}}}$  取散度，我們可以得到

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-\nabla ^{2}\Phi =-4\pi G\rho }$ 

式中 ${\displaystyle \rho }$  是造成重力場的質量的密度。這條式子涵蓋了高斯的重力定律和帕松的重力方程式，和牛頓的萬有引力定律等價，兩者透過散度定理連結起來。

以上的數條方程式即為測試質量 ${\displaystyle m}$  的運動方程式，也就是說，透過對這些方程式求解，我們可以完全確定並描述測試質量的運動狀態。

在廣義相對論中，「重力場」和「重力位」的概念分別被「克里斯多福符號」和「度規張量」取代，其中度規張量 ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$  必須滿足愛因斯坦方程式^[8]：

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$ 

式中 ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R}$  是愛因斯坦張量，${\displaystyle \Lambda }$  為宇宙常數，${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{2}}}}$  是愛因斯坦的萬有引力常數，${\displaystyle T_{\mu \nu }}$  是應力-能量張量。

重力場中的物體運動則由測地線方程式決定：

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\rho \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\rho }}{d\tau }}{\frac {dx^{\sigma }}{d\tau }}=0}$ 

式中的 ${\displaystyle \Gamma }$  便是克里斯多福符號。