同构基本定理

同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群论中的同构基本定理形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

給定一個群同態 ${\displaystyle f:G\to G'}$ ，根據群同態第一基本定理，我們可以把${\displaystyle G}$ 除以${\displaystyle G}$ 的核，使${\displaystyle f}$  變成單射。

直觀來講，把一個群${\displaystyle G}$ 除以${\displaystyle G}$ 的子群${\displaystyle H}$ 相當於把${\displaystyle H}$ 裡的元素看成0(一元素）。把${\displaystyle f}$ 的核除掉後，我們使得${\displaystyle f(x)=0}$ 只在 ${\displaystyle x=0}$ 時才會成立，這是${\displaystyle f}$ 的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G'}$ 進行討論。

定理： 給定${\displaystyle G}$ 和${\displaystyle G'}$ 兩個群，和${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ 群同態。則${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 是一個${\displaystyle G}$ 的正規子群。

證明： 記 ${\displaystyle \cdot }$  為${\displaystyle G}$ 和${\displaystyle G'}$ 的運算符號，記${\displaystyle e}$ 和${\displaystyle e'}$ 他們的單位元，我們可以驗證${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$  在共軛運算下封閉，即對於所有${\displaystyle x\in G}$ 、所有${\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f}$ ，有${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f}$ 。

我們有${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})}$ 。由於${\displaystyle h}$ 在${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 裡面，即${\displaystyle f(h)=e'}$ ，我們推論${\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'}$ 。因此，${\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}}$ 在${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 裡面，故${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 是${\displaystyle G}$ 的正規子群。

${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ 是${\displaystyle G}$ 的正規子群的這個性質讓我們可以在商群${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}$ 上定義一個與${\displaystyle G}$ 的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ 誘導出群同構${\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f}$ 。

我們有以下的定理：

群同構第一定理 給定${\displaystyle G}$ 和${\displaystyle G'}$ 兩個群，${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ 群同態，則${\displaystyle f}$ 誘導出一個從${\displaystyle G/\operatorname {Ker} f}$ 打到${\displaystyle f(G)}$ 的群同構。

證明： 記${\displaystyle H}$ 為${\displaystyle f}$ 的核。我們定義${\displaystyle {\hat {f}}}$ 為${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)}$ .

• 函數${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 定義良好，即${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)}$ 只依賴於${\displaystyle xH}$ 而與代表${\displaystyle x}$ 的選擇無關。理由是，若${\displaystyle y\in G}$ 是${\displaystyle xH}$ 的一個代表，即若${\displaystyle xH=yH}$ ，則${\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f}$ ，所以${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ，從而${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)}$ 。
• 由商群運算的定義，${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 是一個群同態。
• 群同態${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 滿射：對於所有${\displaystyle y\in f(G)}$ ，存在${\displaystyle x\in G}$ 使得${\displaystyle f(x)=y}$ ，由此${\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y}$ 。
• 群同態${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 單射。理由是���考慮${\displaystyle {\widehat {f}}}$ 的核裡的任意元素${\displaystyle xH}$ ，則${\displaystyle e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)}$ ，即${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle f}$ 的核${\displaystyle H}$ 裡面。又${\displaystyle xH=H}$ 是${\displaystyle G/H}$ 的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為示意圖

群同構第二定理： 給定群 ${\displaystyle G}$  、其正規子群 ${\displaystyle N}$  、其子群 ${\displaystyle H}$  ，則 ${\displaystyle N\cap H}$  是 ${\displaystyle H}$  的正規子群，且我們有群同構如下： ${\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N}$ 

證明：

• 必須先證明${\displaystyle HN}$ 确实是一个群，以及${\displaystyle N}$ 限定在${\displaystyle HN}$  中亦是一個正規子群，才能討論商群 ${\displaystyle HN/N}$ 。

設 ${\displaystyle hn}$  和 ${\displaystyle h'n'}$  為 ${\displaystyle HN}$  中的兩個元素。我們有 ${\displaystyle hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'}$  ，其中 ${\displaystyle hh'\in H}$ , ${\displaystyle h'^{-1}nh'\in N}$  (因為 ${\displaystyle N}$  在 ${\displaystyle G}$  中正規) 且 ${\displaystyle n'\in N}$ ，故 ${\displaystyle hnh'n'}$  在 ${\displaystyle HN}$  中，其證明了 ${\displaystyle HN}$  在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外，我們有 ${\displaystyle N\subset HN\subset G}$  的包含關係，並且 ${\displaystyle N}$  在 ${\displaystyle G}$  中正規，所以也在 ${\displaystyle HN}$  中正規。

• 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。

取 ${\displaystyle j:H\hookrightarrow HN}$ 單射群同態，定義為 ${\displaystyle j(h)=h}$  ， 取標準滿射 ${\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N}$  (值域是個群，因為 ${\displaystyle N}$  在 ${\displaystyle G}$  中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 ${\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N}$  定義為 ${\displaystyle f(h)=hN}$ 。

• 群同態 ${\displaystyle f}$  是滿射。

理由是，設 ${\displaystyle (hn)N\in HN/N}$  ，其中 ${\displaystyle h\in H}$  且 ${\displaystyle n\in N}$  。由於 ${\displaystyle n}$  在 ${\displaystyle N}$  裡面， ${\displaystyle hnN=hN}$  ，故${\displaystyle hnN=f(h)}$ 。

• ${\displaystyle f}$  的核是 ${\displaystyle H\cap N}$  。

理由是， ${\displaystyle f(h)=hN}$  是 ${\displaystyle HN/N}$  的單位元，即 ${\displaystyle N}$  若且唯若， ${\displaystyle h}$  在 ${\displaystyle N}$  裡面。由於 ${\displaystyle h}$  已經在 ${\displaystyle H}$  裡面，所以證明這個相當於證明 ${\displaystyle h}$  在 ${\displaystyle N\cap H}$  裡面。

• 由群同構第一定理知 ${\displaystyle N\cap H}$  是 ${\displaystyle H}$  的正規子群，且其誘導出的映射 ${\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N}$  是群同構。

如果我們弱化前提，假設 ${\displaystyle N}$  的正規化子包含 ${\displaystyle H}$  (把相等改成包含)這個定理依然正確。

群同構第三定理： 給定群 ${\displaystyle G}$  ， ${\displaystyle N}$  和 ${\displaystyle M}$  為 ${\displaystyle G}$  的正規子群，滿足 ${\displaystyle M}$  包含於 ${\displaystyle N}$  ，則 ${\displaystyle N/M}$  是 ${\displaystyle G/M}$  的正規子群，且有如下的群同構： ${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$ 

證明： ${\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN}$  為滿射，其核為 ${\displaystyle N/M}$ 

所以可由群同構第一定理得到 ${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$ 

• 将定理中的“群”换为“R-模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。
• 将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
• 与子群的乘积HK相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用H + K而不再用HK表示。具体的定义是：

${\displaystyle H+K=\left\{a+b|a\in H,b\in K\right\}}$ 

在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

设A是一个代数结构，A的一个同余类是A上的一个等价关系${\displaystyle \Phi }$ ，可看作是A × A上的子代数。等价类A/${\displaystyle \Phi }$ 的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与A同类型的代数结构。

设A和B是两个代数结构，f是A到B的态射，则A等价关系${\displaystyle \Phi }$ ：a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类，并且A/${\displaystyle \Phi }$ 同构于f的像（B的子代数）。

设B是A的子代数，${\displaystyle \Phi }$ 是A上的同余类。令[B]${\displaystyle \Phi }$ 是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/${\displaystyle \Phi }$ 的一个子集；${\displaystyle \Phi _{B}}$ 是${\displaystyle \Phi }$ 限制在 B × B上的部分。那么[B]${\displaystyle \Phi }$ 是A/${\displaystyle \Phi }$ 的子代数结构，${\displaystyle \Phi _{B}}$ 是B上的同余类，并且[B]${\displaystyle \Phi }$ 同构于B/${\displaystyle \Phi _{B}}$ 。

设A是一个代数结构，${\displaystyle \Phi }$ 和${\displaystyle \Psi }$ 是A上的两个同余关系，${\displaystyle \Psi }$ 包含于${\displaystyle \Phi }$ 。则${\displaystyle \Phi }$ 定义了A/${\displaystyle \Psi }$ 上的一个同余类${\displaystyle \Theta }$ ：[a]~[b]当且仅当a与b关于 ${\displaystyle \Phi }$ 同余（[a]表示a所在的${\displaystyle \Psi }$ -等价类），并且A/${\displaystyle \Phi }$ 同构于(A/${\displaystyle \Psi }$ )/${\displaystyle \Theta }$ 。