幂级数

多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ 可以写成标准形式的幂级数：

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }$ 

也可以写成（${\displaystyle c=1}$ ）：

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots }$ 

实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。

等比级数的公式给出了对${\displaystyle |x|<1}$ ，有

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }$ ，是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$ 

以及正弦函数（对所有实数x成立）：

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$ 

这些幂级数都属于泰勒级数。

幂级数里不包括负的幂次。例如${\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ 就不是幂级数（它是一个洛朗级数）。同样的，幂次为分数的级数也不���幂级数。系数${\displaystyle a_{n}}$ 必须是和x无关，比如${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}$ 就不是一个幂级数。

作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量x在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有：

阿贝尔引理：给定一个幂级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ ，如果对实数${\displaystyle r_{0}>0}$ ，数列${\displaystyle (|a_{n}|r_{0}^{n})_{n\geq 0}}$  有界，那么对任意复数${\displaystyle |x|<r_{0}}$ ，${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ 绝对收敛。

按照引理，使得幂级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ 收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆（不包括边界），称为收敛圆盘，其边界称为收敛圆。具体来说，就是：

1. 要么对所有的非零复数，${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ 都发散；
2. 要么存在一个正常数（包括正无穷）${\displaystyle R}$ ，使得当${\displaystyle |x|<R}$ 时，${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ 绝对收敛，当${\displaystyle |x|>R}$ 时，${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ 发散。

这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数${\displaystyle R}$ 被称为幂级数的收敛半径，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。

按照定义，对一个幂级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ ，当${\displaystyle |x|<R}$ （在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当${\displaystyle |x|>R}$ 时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果${\displaystyle |x|=R}$ （在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径${\displaystyle R}$ 满足：如果幂级数${\displaystyle \sum a_{n}x^{n}}$ 满足${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|{a_{n+1} \over a_{n}}|=\rho }$ ，则：

${\displaystyle \rho }$ 是正实数时，${\displaystyle R={1 \over \rho }}$ 。

${\displaystyle \rho =0}$ 时，${\displaystyle R=\infty }$ 。

${\displaystyle \rho =\infty }$ 时，${\displaystyle R=0}$ 。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

${\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$ 

或者${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$ 。

形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

${\displaystyle (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots )\pm (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}+\cdots )=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}+\cdots }$ 

两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积：

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}$ 

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}$ 

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}}$ 。

各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

对一个收敛半径为R的幂级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ ，可以证明，幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此，考虑幂级数函数

${\displaystyle f:(-R,R)\longrightarrow \mathbb {R} }$ 

${\displaystyle .\ \ \ \ \ \ x\longmapsto \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ 

它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

可以证明，幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导，并且可积。此外，由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ 的收敛半径R。具体形式为：

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}nx^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)x^{n}}$ 

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+k}$ 

鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点c附近可展（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数R>0，使得在复平面中以c为圆心以R为半径的圆D(c,R)内（不包括边界）有：

${\displaystyle \forall z\in D(c,R),\qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}a_{n}(z-c)^{n}}$ 

其中${\displaystyle a_{n}}$ 为确定的常数。

如果一个函数在某处可展，那么它在这点无穷可导（${\displaystyle C^{\infty }}$ ），并且在这点附近的展开式是唯一的。

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}={f^{(n)}(c) \over {n!}}}$ 

即是在这点的泰勒展开的第n项的值。这时展开得到的幂级数称为函数f在c点的泰勒级数。

对于一般的无穷可导函数${\displaystyle f}$ ，也可以写出幂级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}}$ ，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于${\displaystyle f}$ 。例如函数${\displaystyle f}$ ：

当x>0时，${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ 

当${\displaystyle x\leq 0}$ 时，${\displaystyle f(x)=0}$ 

可以证明${\displaystyle f}$ 无穷可导，并且在0处的每阶导数都是零，因此相应的幂级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(0) \over {n!}}(x)^{n}}$ 恒等于0，不等于${\displaystyle f}$ 。

函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零： ${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-\sum _{n=0}^{n}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}\rightarrow 0}$ ，

一个更常用到的充分条件是： 如果存在正实数r，使得${\displaystyle f}$ 在区间${\displaystyle (c-r,c+r)}$ 上无穷可导，并且存在正数M使得对任意的n，任意的${\displaystyle x\in (c-r,c+r)}$ 都有

${\displaystyle |f^{n}(x)|\leq M^{n}}$ ，那么${\displaystyle f}$ 可以在c附近展开成幂级数：

${\displaystyle \forall x\in (c-r,c+r),\ \ f(x)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}}$ 。

以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。

1. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} ,\,e^{x}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}}.}$ 
   
   
2. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\cos x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.}$ 
   
   
3. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\sin x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.}$ 
   
   
4. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {ch} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.}$ 
   
   
5. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {sh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.}$ 
   
   
6. ${\displaystyle \forall x\in D(0,1),\,{1 \over {1-x}}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{x^{n}}.}$ 
   
   
7. ${\displaystyle \forall x\in (-1,1],\,\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}(-1)^{n+1}{x^{n} \over {n}}.}$ 
   
   
8. ${\displaystyle \forall x\in [-1,1],\,\arctan \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;}$ ，特别地，${\displaystyle \pi =4\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{2\,n+1}}}$ 。
   
   
9. ${\displaystyle \forall x\in \,(-1,1),\ \forall \alpha \,\not \in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}.}$ 
   
   
10. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\forall \alpha \,\in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}=\sum _{n=0}^{\alpha }{{\alpha \choose n}\,x^{n}}.}$ 
    
    
11. ${\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {artanh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.}$ 
    
    
12. ${\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\arcsin \,x=x+\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}$ 
    
    
13. ${\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {arsinh} \,x=x+\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,(-1)^{n}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}}$ 
    
    
14. ${\displaystyle \forall x\in \,\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right),\ \tan x={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\left({\frac {x}{\pi }}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)}$ ，其中${\displaystyle \forall p>1,\,\zeta (p)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,{\frac {1}{n^{p}}}}$ 

局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与複解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即複可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。

在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数：

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}$ 

其中j = (j₁, ..., j_n)是一个系数为非负整数的向量。系数a_(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c₁, ..., c_n)和变量x = (x₁, ..., x_n)是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}$ 

• 泰勒级数
• 解析函数
• 阿贝尔定理
• 零点孤立原理