五角二十四面體

五角二十四面體是一個手性多面體（英语：Chirality (mathematics)）^[10]，也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀^[11][12][13]。這兩種形式互為鏡像（或“對映體”），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有24個面、60個邊、38個頂點^[3]。

五角二十四面體的對偶多面體為扭棱立方體，換句話說即這個多面體的頂點可以對應到扭棱立方體每個面的幾何中心、扭棱立方體的每個頂點可以對應到五角二十四面體的幾何中心。^[14]

五角二十四面體由24個全等的具有鏡像對稱性之不等邊五邊形組成^[13][12]。這種不等邊五邊形有兩種邊長，有三個邊為短邊（下圖中以b表示）、兩個邊為長邊（下圖中以a表示）。長邊的邊長為短邊的一半再加上短邊的三波那契常數（英语：tribonacci constant）倍^[15]，即：

短邊${\displaystyle :}$ 長邊${\displaystyle =1:{\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2}}}$ 

其中，${\displaystyle t}$ 為三波那契常數（英语：tribonacci constant），即：

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,}$  （OEIS數列A058265）

這個數為${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}$ 的實根^[16]。

這個不等邊五邊形兩個長邊相鄰，其夾角為二減去三波那契常數的反餘弦值（${\displaystyle \arccos {\left(2-t\right)}}$ 約為80.75度）；其餘4個角皆為二分之一減去一半的三波那契常數之反餘弦值（${\displaystyle \arccos {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {t}{2}}\right)}}$ 約為114.81度）^[15]。

若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體面的短邊邊長為^[13][12]：

${\displaystyle b={\frac {\sqrt {6\left(4-{\sqrt[{3}]{2\left(13+3{\sqrt {33}}\right)}}-{\sqrt[{3}]{2\left(13-3{\sqrt {33}}\right)}}\right)}}{6}}\approx 0.593465355971987310502}$ 

相應的五角二十四面體面的長邊邊長為^[13][12]：

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {3\left(4+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}}{6}}\approx 0.8425091624448604672504}$ 

若對應的對偶多面體——扭棱立方體邊長為單位長，則相應的五角二十四面體的體積與表面積為^[10]：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3{\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}&&\approx 19.299\,94\\V&={\sqrt {\frac {11(t-4)}{2(20t-37)}}}&&\approx 7.4474\end{aligned}}}$ 

而根據相應的邊長關係^[13][12]，可以得到以邊長表示的體積與表面積：

${\displaystyle A={\frac {24a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {12b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}\approx 27.19a^{2}\approx 54.8b^{3}}$ 

${\displaystyle V={\frac {4a^{3}(2+3t){\sqrt {1-2t}}}{(1+t)(1-4t^{2})}}={\frac {2b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}\approx 12.45a^{3}\approx 35.63b^{3}}$ 

五角二十四面體有三種具有特殊對稱性的正交投影，分別是以度為三的頂點為中心、以度為四的頂點為中心以及以與側邊中點為中心的正交投影。前兩者對稱性對分別應於A₂和B₂的考克斯特平面^[17][18]。

五角二十四面體有另外一種同樣所有面全等的變體。這種變體具有八面體群的對稱性，且具有3種不同的邊長。這種變體可以透過在扭棱立方體的6個正方形與8個三角形的面上加上角錐至與鄰面共面來構造^[19]。

五角二十四面體的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性^[20]，其他同為(n32)旋轉對稱性的幾何結構有：

關於的拓樸結構屬於(432)的旋轉對稱性的五角二十四面體^[20]，亦可以從(4n2)旋轉對稱性進行比較。這些相關幾何結構包括：

五角二十四面體是立方體經過扭棱變換後的對偶多面體^[10]，其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有：

在圖論的數學領域中，與五角二十四面體相關的圖為五角二十四面體圖，是五角二十四面體之邊與頂點的圖（英语：1-skeleton），同時也是拓樸結構與五角二十四面體等架的圖論对象，由38個節點和60條邊組成^[21]，是一個哈密顿图^[22]。

五角二十四面體圖有60條邊和38個頂點，其中度為3的頂點有32個；度為4的頂點有6個。這個圖的直徑是7，半徑是6^[22]，其中半徑代表圖中所有頂點偏心率的最小值、直徑代表代表圖中所有頂點偏心率的最大值、偏心率為某頂點和离其最远点的距离^[23]。換句話說五角二十四面體圖在不考慮循環路徑下頂點間最大距離只少相距6個頂點，最長距離不超過7個頂點^[22]。五角二十四面體圖的圍長為5，即在這個圖內最小的循環路徑為5個頂點^[22]。

• 五角二十四面體圖的特徵多項式為^[22]：

  ${\displaystyle (x-2)^{2}(x-1)^{3}x(x^{2}-x-7)(x^{2}+x-3)(x^{2}+2x-1)^{2}(x^{3}-4x+1)^{3}(x^{5}+x^{4}-8x^{3}-9x^{2}+7x+4)^{3}}$ 

• 卡塔蘭立體
• 對偶多面體

• 埃里克·韦斯坦因, 五角二十四面體 （參閱卡塔蘭立體） 於MathWorld（英文）