芝诺悖论

这裡的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。

常見的敘述為芝诺提出的追著烏龜的阿基里斯，本悖論因此得其名。芝诺提出让乌龟和阿基里斯赛跑，兩者起點不同，乌龟的起點位於阿基里斯身前1000米处，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然領先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然領先他1米。芝诺认为，阿基里斯永遠無法追上烏龜^[2]。

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999...，1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999...，但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0，或1-0.999...>0”思想。

如果將阿基里斯步行的速度為每秒10m，烏龜爬行的速度為每秒0.1m， 並且在比賽之前，阿基里斯讓烏龜先爬999m，在這種條件下，阿基里斯追趕烏龜所用的時間為：

 999 ÷ 10 = 99.9秒
 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
 · · · · · ·

這些數字，按其先後排列，可以構成一個無限序列：

 99.9, 0.999, 0.00999, · · ·  
 求其和：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

因此阿基里斯只要跑101秒，即可超越烏龜。
換個角度說，阿基里斯之所以追不上烏龜，原因在於小前提「由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。」已經限制了阿基里斯追趕的時間(距離)。
因此會得到無限的時間序列。

追乌龟亦涉及到极限是否存在的問題。譬如说，阿基里斯的速度改為10m/s，乌龟的速度是1m/s，乌龟原先在阿基里斯前面9m。進行上述步驟後，總共所花的時間應表示為${\displaystyle t=0.9+0.09+0.009+...=0.999...}$ 。

其一，關於极限這个无限过程的意義，涉及到实无限（英语：Actual infinity）與潜无限（potential infinity）的討論。潜无限的性質是无限过程无法完成，故上述級數雖然能无限逼近1，但不能說是等於1──故沒有一個時間點（若有，必須是1）能代表乌龟被追上的時間。在潜无限的框架下，可以假设空间無法无限分割，如此一來此悖论就不存在了。但实无限的理論是，无限过程可以完成，即逼近的過程與其极限等價，故阿基里斯可以追上烏龜。現在的实数，极限，微积分都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。

其二，關於要如何找到該無限過程的極限，歐拉曾提出「${\displaystyle 0.9999999999\dots =1}$ 」之證明如下：

令${\displaystyle S=0.99999999999\dots }$ 

則${\displaystyle 10S=9.9999999999\dots }$ 

兩式相減可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}10S-S&=9.9999999999\dots -0.99999999999\dots \\9S&=9\\S&=1\end{aligned}}}$ 

故${\displaystyle 0.99999999999\dots =1}$ 

但由於箭要達到每一時刻的固定位置必須存在動能，所以箭必須是運動狀態。

這個悖論的問題在于，「飛行」的運動，是依賴于兩個時間點的。即從這一刻到那一刻的時間內，這支箭是否移動。

首先假設在操場上，在一瞬間（一个最小时间单位）裡，相对于观众席Ａ，列队Ｂ、Ｃ将分别各向右和左移动一个距离单位。

　ＡＡＡＡ　观众席Ａ

　ＢＢＢＢ　队列Ｂ・・・向右移动（→）

　ＣＣＣＣ　队列Ｃ・・・向左移动（←）

Ｂ、Ｃ两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席Ａ，Ｂ和Ｃ分别向右和左各移动了一个距离单位。

　ＡＡＡＡ

　　ＢＢＢＢ

ＣＣＣＣ

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）裡移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位裡移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

（四个悖论的叙述引自莫里斯·克萊因《古今数学思想》中译本，Bill Smith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。）

在一個跟時間有關的系統中，如果牽涉到有限時間內，無限多次的操作，我們會稱之芝諾現象或芝諾行為。一個簡單的例子是球在地面上反彈到停止的過程。處理這個問題的方法，是直接假設停止的時間點，只考慮反彈，不去考慮無窮多次，以計算無窮多次反彈之後的結果。^{[來源請求]}

• 湯姆生的燈悖論
• 量子芝諾效應