羣

如果有一個叫G嘅Set，我想佢係喺一個羣，就需要有一個二元運算（Binary Operation）「•」，（多數叫佢做乘，因為係用一點嚟表示）。而Set入面嘅嘢同個運算，需要符合以下幾個條件：

• 閉合性質（Closure）：${\displaystyle \forall a,b\in G,a\cdot b\in G}$ 。意思係，喺G入面求其搵兩粒嘢出嚟「乘」埋佢，「乘」完出嚟嘅嘢要係喺返${\displaystyle G}$ 入面。
• 結合性質（Associative）：${\displaystyle \forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ 。意思係，無論有幾多粒嘢，點樣乘都無問題，做左前面先又得，做左後面先亦得。
• 恆等性質（Identity）：${\displaystyle \exists {\text{ }}e\in G{\text{, such that }}\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a}$ 。意思係，嗰堆嘢入面一定要有一粒嘢叫${\displaystyle e}$ 或者叫${\displaystyle {\underline {1}}}$ 又或者叫identity，佢乘咩嘢都無變嘅。
• 可逆性質（Invertibility）：${\displaystyle \forall a\in G,\exists {\text{ }}a^{-1}{\text{ such that }}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e}$ 。意思係，嗰堆嘢入面，每一粒嘢，都會有對應嘅另一粒嘢，佢哋乘埋會變返做${\displaystyle e}$ 。

咁如果一個set，再畀多個運算佢，又咁啱符合嗮以上條件，咁個set加埋呢個運算呢就係一個group，寫成${\displaystyle (G,\cdot )}$ 。

以上並唔要求${\displaystyle \forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a}$ ，即係前後調位乘埋唔一定一樣。但如果呢條式都啱嘅話，咁呢個羣就叫做阿標羣（Abelian group）。

整數係第一個識得嘅羣。整數嘅集，係寫成${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ，佢入面裝住所有嘅整數，即係${\displaystyle \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\dots \}}$ 。因為羣需要一個運算，所以就畀咗個加法佢。咁就需要證明${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ 係一個羣。

1. Closure：（${\displaystyle \forall a,b\in G,a\cdot b\in G}$ ）假設${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 入面其中兩個元素，叫做a同b。由於${\displaystyle a+b}$ 得出嘅係整數，而${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 係包齊曬所有整數。所以${\displaystyle a+b\in \mathbb {Z} }$ 。
2. Associative：（${\displaystyle \forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ ）假設${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 入面揀任何三個元素，叫做a、b同埋c。做加法嗰時，做完${\displaystyle a+b}$ 先再加c，同做完${\displaystyle b+c}$ 之後再加a，兩個結果係一樣嘅。所以${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ 。
3. Identity：（${\displaystyle \exists {\text{ }}e\in G{\text{, such that }}\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a}$ ） 是旦搵一個元素，佢搞完（即係加）其他元素，佢都係無變嘅，咁呢個「其他元素」就係0。因為0加任何嘢，都等於無加過嘢。
4. Invertibility：（${\displaystyle \forall a\in G,\exists {\text{ }}a^{-1}{\text{ such that }}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e}$ ） 每一粒喺${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 入面嘅元素，都係有另一半，而佢同佢另一半加埋之後，會變做0。一個元素a，佢嘅另一半就係(-a)，佢哋加埋就會變做0。

譬如話，喺${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上有個圖形，對呢個圖形所進行嘅平移、旋轉等變換構成一個群。

注意，呢個群嘅元素唔係數，而係變換（即係映射）；運算唔係加減法，而係映射嘅複合。群只需定義一種運算，而且唔要求交換律成立，所以佢嘅應用廣泛過其他代數結構（例如域要定義加法、乘法兩種運算）。不過亦有交換群。

由定義入面可以睇到群嘅第一個性質就係：「如果一個群符合${\displaystyle \forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a}$ 要求，咁樣呢個群就係阿標群。」，但係群都有其他性質：

• 用域（Field）入面非零嘅噖，加一般既乘法整成嘅群，就會係一個一般乘法嘅阿標群。
• 用環（Ring）入面嘅野，加一般加法整成嘅群，就會係一個一般加法嘅阿標群。

其他有關群入面嘅嘢嘅性質。以下都假定${\displaystyle G}$ 係個群同埋${\displaystyle a,b,c\in G}$ 都係${\displaystyle G}$ 入面嘅嘢。

1. 如果${\displaystyle a\cdot b=a\cdot c}$ 係${\displaystyle G}$ 入面成立，咁${\displaystyle b=c}$ 。對應既係，如果${\displaystyle ba=ca}$ ，咁${\displaystyle b=c}$ 。
2. 每一個${\displaystyle G}$ 入面，只係得一粒${\displaystyle e}$ 。
3. 每一粒${\displaystyle a}$ ，佢嘅${\displaystyle a^{-1}}$ 都係得一粒。
4. ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$ 
5. ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$ 
6. 對應任何整數${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ，${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}}$ 同${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$ 都會成立。

基數（Order）係群嘅一個概念，佢同集嘅基數（Carnality）嘅意思一樣，都係指一個群入面嘅嘢嘅數量。不過群嘅基數亦可以應用喺群入面嘅嘢度。

假設${\displaystyle G}$ 係一個群。如果${\displaystyle G}$ 係有限群（Finite Group or Finite Order），即係話佢入面只係得有限嘅元素（嘢）。

${\displaystyle G}$ 入面嘅嘢嘅數量會叫做${\displaystyle G}$ 嘅基數（Order of G），一般會用${\displaystyle |G|}$ 嚟表示。

如果${\displaystyle G}$ 入面嘅嘢係無限咁多，會將${\displaystyle G}$ 叫做無限群（Infinite Order）。

如果有${\displaystyle G}$ 同${\displaystyle H}$ 兩個群。將${\displaystyle \circ }$ 定義為一個係${\displaystyle G\times H}$ 入面嘅運算，而呢個運算係咁嘅$${\displaystyle (g,h)\circ (g',h')=(g\cdot g',h\cdot h')}$$ 咁樣${\displaystyle G}$ 就係一個群。

如果${\displaystyle G}$ 同${\displaystyle H}$ 都係阿標群，咁${\displaystyle G\times H}$ 都係阿標群。

如果${\displaystyle G}$ 同${\displaystyle H}$ 都係有限群，咁${\displaystyle G\times H}$ 都係，而且${\displaystyle |G\times H|=|G||H|}$ 。

設${\displaystyle G}$ 係一個群，${\displaystyle g\in G}$ 係${\displaystyle G}$ 入面嘅一粒嘢。

如果${\displaystyle g}$ 係有基數（Finite Order），即係話，對應一啲嘅正整數${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ，${\displaystyle g^{k}=e}$ 。

一般，會將最細嘅正整數${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ，符合${\displaystyle g^{n}=e}$ ，叫做${\displaystyle g}$ 嘅基數（Order of the element ${\displaystyle g}$ ）。

一般會寫做，${\displaystyle |a|=n}$ ，${\displaystyle g}$ 嘅基數係${\displaystyle n}$ 。

如果${\displaystyle g}$ 係冇基數（Infinite Order），即係話，對應所有嘅正整數${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ，${\displaystyle g^{k}\neq e}$ 。

以下假設咗${\displaystyle G}$ 係一個群，而${\displaystyle g}$ 係${\displaystyle G}$ 入面嘅嘢。

1. 如果${\displaystyle g}$ 係冇基數，咁每一粒${\displaystyle g^{k}}$ 都係唔同嘅（唔相等嘅），${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 係正數。
2. 如果${\displaystyle g}$ 係有基數，而佢嘅基數係${\displaystyle n}$ ，咁${\displaystyle g^{k}=e\iff n|k}$ 同埋${\displaystyle g^{i}=g^{j}\iff i\equiv j\mod n}$ 。
3. 如果${\displaystyle g}$ 係有基數，而基數係${\displaystyle n=td}$ ，咁${\displaystyle g^{t}}$ 嘅基數係${\displaystyle d}$ 。
4. 如果${\displaystyle g^{i}=g^{j},i\neq j}$ ，咁${\displaystyle g}$ 就有基數。

證明

利用上面嘅概念同性質，可以證明出更多嘅定理。以下都假設${\displaystyle G}$ 係一個群，${\displaystyle g,a,b,c}$ 都係${\displaystyle G}$ 入面嘅剐。

1. 如果${\displaystyle g^{2}=g}$ ，咁${\displaystyle g=e}$ 。
2. 如果${\displaystyle ab=e}$ ，咁${\displaystyle ba=e}$ 。
3. 如果${\displaystyle G}$ 係阿標群，咁${\displaystyle (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}}$ 係一定成立。「${\displaystyle \iff }$ 」
4. 如果${\displaystyle G}$ 嘅基數係${\displaystyle 2}$ ，咁${\displaystyle G}$ 就係一個阿標群。「即係話，${\displaystyle |G|=2\iff g=g^{-1}}$ 」
5. 只會得一粒${\displaystyle g}$ 係符合${\displaystyle agb=c}$ 。
6. ${\displaystyle |g|=|g^{-1}|}$ 
7. 如果${\displaystyle |G|}$ 係雙數，咁${\displaystyle G}$ 入面就會有粒嘢嘅基數係${\displaystyle 2}$ 。

• 子群
• 積群
• 群轉換