加

基本加法，又叫做日常加法（Usual Addition），係日常用到嘅加法。一般應用係數物件同算術。加法一般習慣用「${\displaystyle +}$ 」，即係「加號（Plus Sign）」嚟表示。呢個符號一般會放喺兩個數字之間^[2]，用作將呢兩樣嘢加埋嘅意思，呢個表達方法叫做中綴表示法。例如：${\displaystyle 1+1=2}$ 。例外有前綴表示法同後綴表示法。而「${\displaystyle +}$ 」，等於（Equal Sign）就係將個結果表示出嚟。而個結果一般就會叫做「和」。

• ${\displaystyle 1+1=2}$ （一加一等於二）
• ${\displaystyle 2+2=4}$ （二加二等於四）
• ${\displaystyle 3+3=6}$ （三加三等於六）
• ${\displaystyle 1+2+3+4=10}$ （結合性）
• ${\displaystyle 2+2+2+2+2=10}$ （乘法）

好多時，熟習咗加法同乘法之後，有好多人會將${\displaystyle 3+3=6}$ 寫成${\displaystyle 3+3=9}$ ，咁樣就計錯數。

有好多人慣咗加法之後，就唔會寫加號嚟表示加法。

例如做直式加法嘅時候，好多人都懶得去寫個加號去表示佢做緊加法。好似右邊幅圖咁，將${\displaystyle 5}$ 同${\displaystyle 12}$ 並排好加好之後得出${\displaystyle 17}$ 。明顯，係做加法，但係都無見過加號嘅出現。

喺分數入面，帶分數就係一個偷懶嘅例子^[3]，例如：${\displaystyle 1{\frac {2}{3}}}$ ，就係指${\displaystyle 1}$ 加${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ 。有人話呢個表達方式好容易同乘法混淆^[4]。

喺高等數學入面，連續加埋同一舊嘢寫出嚟都幾麻煩，所以就有咗級數呢樣嘢。級數係可以表達一個有套路有規律嘅加法。例如：$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$$ (呢個又叫三角形數)。日常生活都有好多偷懶嘅例子，例如帳單、月結單。上面都係無加號，但係大家都知道係做緊加法。

將要處理加法嘅嘢就叫做項（Term），例如${\displaystyle 1+1=2}$ ，${\displaystyle 1}$ 就係項。喺級數入面${\displaystyle i}$ 就係項。英文項有幾個叫法「Terms」、「Addends」、「Summands」。有人叫第一個項做「Augend」。喺文藝復興時期，好多人都唔覺得第一個項係項。而到今時今日，都無咩人去分第一個項定係第二個項，總知大家都係項，冇再分得咁細。

「加」，根據粵語審音配詞字庫，讀「gaa1」或者「gaa3」。說文解字解釋，「加：語相增加也。從力從口。古牙切」原指講嘢假，加鹽加醋。之後演變到有增加嘅意思。喺兩漢之間，周髀算經已經有講解四則運算。

而英文嘅加法用字基本上都嚟自拉丁文。英文「Addition」係源自拉丁文動詞「Addere」，呢個字係「加去」同「比」嘅合字。而「Sum」就係源自「Summare」，係一個名詞指嘅係「最高，最勁」，因為兩個數相加，係一定大過之前嗰兩個數，但係呢個概念引用到古希臘同古羅馬人，但係到咗現代加法係可以加返轉頭，個數愈加愈細。

加號「${\displaystyle +}$ 」係拉丁文「et」嘅簡寫，意思係「add」。佢早喺1489年，已經出現喺當時嘅有關數學嘅文章入面。

加法係可溝通嘅，即係話進行加法嘅次序唔影響加法嘅結果。利用數學式表示就係：$${\displaystyle a+b=b+a}$$ 咁${\displaystyle a}$ 同${\displaystyle b}$ 都係一個數字。

呢個法則又叫做「加法嘅溝通法」。但係同時，有好多其他嘅二元運算唔係可溝通嘅，例如：減法，除法，矩陣乘法。

加法係可以結合嘅。當你要加兩個到三個，或者有限咁多個，${\displaystyle n}$ 咁多個數字嘅時候，做加法嘅次序唔會影響結果。如果有三個數字${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle b}$ 同${\displaystyle c}$ 要加嘅時候，用數學式嘅表達係${\displaystyle (a+b)+c}$ ，先做${\displaystyle a+b}$ ，得出結果後再做${\displaystyle +c}$ 。但係呢個出嚟嘅結果係會同先做${\displaystyle b+c}$ ，再做${\displaystyle a+}$ 係一樣。得出結論係：$${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$$ 舉個實例，${\displaystyle 2+(1+3)=2+4=6=3+3=(2+1)+3}$ 。

但係當你做四則運算嘅時候，加法嘅次序就會有所影響。加法多數都係最後會做嘅處理。

所謂嘅恆等元，就係一粒嘢，你令佢嚟同另一粒嘢做加法，出嚟個結果係不變。

如果根據呢個講法，好明顯${\displaystyle 0}$ 就係日常加法嘅恆等元。因為咩嘢加零，個數值都係唔變。利用數學式表示就係：$${\displaystyle a+0=0+a=a}$$ 而${\displaystyle a}$ 就係任何數字。例子：${\displaystyle 5+0=5}$ ，就好似右手面張圖咁，一個袋入面有${\displaystyle 5}$ 粒嘢，另一個袋入面無嘢，將兩個個袋入面嘅嘢加埋一齊，都係得${\displaystyle 5}$ 粒嘢。

呢個性質早喺公元前628年，由婆羅摩笈多發明。當時佢喺著作Brahmasphutasiddhanta呢本書入面將以上嘅性質用正數、負數同零用自己文字表達一次，而唔係用現代嘅代數表達方式講出嚟。去到830年左右，另一個印度數學家馬哈費亞（Mahavira）將個概念再寫多一次，佢話：「零加任何嘢都係加佢嗰嚿嘢。」換句話講即係${\displaystyle 0+a=a}$ 。到咗12世紀，印度數學家婆什迦羅二世又話：「如果用加法嚟睇，加零，減零，無論係正數加，負數加，都係一樣。」換句話講即係${\displaystyle a+0=a}$ 。

如果做日常加法，單位唔同係唔可以加埋一齊。舉個例子，${\displaystyle 3}$ 蚊同${\displaystyle 3}$ 毫大家都係錢，但係就唔可以將佢加埋做${\displaystyle 6}$ 蚊，${\displaystyle 6}$ 毫或者係${\displaystyle 6}$ 蚊毫。但係就可以加埋之後寫成${\displaystyle 3.3}$ （單位：元，讀三個三）。換一個例子：${\displaystyle 6}$ 個橙加${\displaystyle 8}$ 個橙就會得出${\displaystyle 14}$ 個橙；但係${\displaystyle 8}$ 個橙加${\displaystyle 9}$ 個蘋果就一定要寫成${\displaystyle 17}$ 個生果。

同樣，進行實質物品或者距離上嘅加法，物品或者個數字嘅單位係必須要一致。例如：${\displaystyle 1}$ 厘米同${\displaystyle 1}$ 厘米可以相加，但係同${\displaystyle 1}$ 毫米就唔可以。如果想將佢哋兩個相加，就必須要將兩個數嘅單位換成一樣，例如將${\displaystyle 1}$ 厘米換成${\displaystyle 10}$ 毫米，或者將${\displaystyle 1}$ 毫米換成${\displaystyle 0.1}$ 厘米。詳細可以參考物理嘅量度分析（Dimensional Analysis）。

喺1992年，美國心理學家Karen Wynn做咗一個基礎實驗，佢將一班BB仔帶到去螢幕前面，而呢班BB仔就用螢幕顯示嘅米奇老鼠公仔去進行加法實驗，而呢個實驗證明咗一個五個月大嘅BB仔個腦入面係期望住${\displaystyle 1+1}$ 係會等於${\displaystyle 2}$ 。最令人覺得出奇嘅係，喺呢個實驗入面，科學家係將個情況整到好似${\displaystyle 1+1}$ 係會等於${\displaystyle 1}$ 或者${\displaystyle 3}$ 。

另一個實驗，就用咗一班大啲嘅BB仔，約莫18到35個月大，佢哋用係箱抽乒乓球呢個實驗發現，呢班BB仔入面最細嗰個，可以做到簡單數字上嘅加法，而最大嗰班就可以做到${\displaystyle 5}$ 以下嘅加法。

唔係人類嘅生物都會識得做加法，最出名嘅例子就有靈長類動物。喺1995年就有一個模仿1992年嗰次實驗嘅實驗，佢哋用茄子代替公仔，有兩類猿可以做到同人類BB仔相似程度嘅加法。有人教咗一隻黑猩猩阿拉伯數目字嘅${\displaystyle 0}$ 到${\displaystyle 4}$ ，之後呢隻黑猩猩唔使人教，就自己識做兩個數字嘅加法。最近，有發現亞洲象都識做簡單加法。

基本上，BB仔多數都係識數嘢先。一般嚟講，佢哋被要求將兩樣或者三樣嘢合埋一齊嗰時，班BB會趨向用睇得到嘅方法或者物質上嘅方法去處理呢個問題，例如係話數手指，畫畫咁。當佢地開始適應用數數嗰時，佢哋會直接由嗰一個數開始，再用手指數，例如：直接就三數起：「三、四、五」。而呢個都係最自然嘅學習加法嘅技巧，因為呢個方法係好容易由同伴或者老師嗰度學返嚟。當啲BB仔熟習咗用加法之後，佢哋可以從記憶中嘅結果入面抽出嚟，再運用個結果做加法。例如：佢地熟悉左${\displaystyle 6+6=12}$ ，之後當佢哋要做${\displaystyle 6+7}$ 嗰時，佢哋會知到用${\displaystyle 6+6=12}$ 再加${\displaystyle 1}$ 上去就得出個答案${\displaystyle 13}$ 。呢類型嘅技巧運用，好多小學生都已經係根深柢固，好自然就做到加法。

唔同國家都會教BB仔加法，但係教加法嘅年紀都唔同，有啲國家幼稚園就已經教加法，有啲就係小學教。但係基本上，全世界嘅小朋友讀到小學一年級已經識得做加法。

BB仔一般都要用到加法表嚟學加法，利用加法表可以令佢哋容易啲記到${\displaystyle 1}$ 到${\displaystyle 10}$ 嘅加法。

第一步學十進制加法嘅係先學十位數加法，再到百位數（三位數）。當人習慣呢套加法嗰時，佢哋就會悟出下面呢套加法規則，令到自己更快做到加法：

• 可溝通性：${\displaystyle a+b=b+a}$ ，咁如果利用加法表學加法，原本要背${\displaystyle 100}$ 條加法式，而家就只需要背${\displaystyle 55}$ 條。
• 淨係加${\displaystyle 1}$ 同${\displaystyle 2}$ ：淨係加${\displaystyle 1}$ 或者${\displaystyle 2}$ 對人嚟講係好自然，基本上唔使背都會識得做。
• 零：因為${\displaystyle 10}$ 係恆等元，加咗佢即係無加過嘢，對好多人嚟講都係廢。
• 乘二：一個數自己相加，變相係乘二，如果學習埋乘法，多數人會直接跳用乘法，而唔用加法。
• 好似乘二：如果兩個數係好近，例如：${\displaystyle 6+7}$ 同${\displaystyle 6+5}$ ，一般會將個數乘二再減返個差，睇返個例子，就會將${\displaystyle 6\times 2+1=12+1=13}$ ，${\displaystyle 6\times 2-1=12-1=11}$ 。
• 利用${\displaystyle 10}$ ：例如：${\displaystyle 6+7}$ ，就可以將佢寫成${\displaystyle 10+3}$ ，咁就會計快啲。

當人愈大，處理加法嘅速度會係相應加快。

基本多位數嘅加法，會利用到直式嚟幫助。直式係會將兩個要相加嘅數，根據佢哋個位排好，由右到左，最右面係個位數，之後到十位數，再到百位數，如似類推。之後，逄十進一。個一就會帶落去下一個位。舉個例， ${\displaystyle 27+59}$ 就可以表達出進位呢個概念。

  ¹
  27
+ 59
————
  86

如果睇${\displaystyle 7+9=16}$ 呢個例子，個${\displaystyle 1}$ 就係進咗位後嘅數。除咗呢個基本加法方法之外，重有好多其他方法去做加法。例如：直接由左面加起，再估計出兩個數字相加大約係幾多。

小數點加法基本上同上面所介紹嘅加法係差唔多。利用直式，將兩個數字打直並排，但係今次注意係兩個數字要以小數點做中心對位。如果有需要可以「補零」去幫助做加法。之後就可以跟住上面方法加法。

舉個例，將${\displaystyle 45.1+4.34}$ ：

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

喺呢個例子入面，補咗一個零喺45.1後面，變成45.10，之後先至開始計加數。

利用指數記數法，又叫科學記數法，數字會寫到為最簡約嘅方式，將數字分開一半，一半係有效數字，另一半係以${\displaystyle 10}$ 為基數嘅次方表達。如果呢個次方表達係一樣嘅話兩個數就可以就咁加或者減。

例子：${\displaystyle 2.4\times 10^{5}}$ 同${\displaystyle 6.89\times 10^{5}}$ 就可以直接相加，變成${\displaystyle 9.29\times 10^{5}}$ 。

但係${\displaystyle 2.4\times 10^{5}}$ 同${\displaystyle 68.9\times 10^{4}}$ 就唔可以直接相加，要將${\displaystyle 68.9\times 10^{4}}$ 寫成${\displaystyle 6.89\times 10^{5}}$ ，先可以相加。

除咗十進制之外，重有二進制，八進制同埋十六進制。如果用呢幾個進制，都可以進行到加法，而且步驟同上面嘅差唔多，只不過係由逢十進一變逢二進一或逢八、逢十六。

如果學電腦科學嘅話，轉換二進制係一定要識，以下呢個表可以幫助轉十進制去二進制：

以上呢個表都可以幫助做二進制嘅加法。

二進制就逢二進一。

舉個例：

${\displaystyle 1_{2}+1_{2}=10_{2}}$ 

${\displaystyle 101010_{2}+110101_{2}=1011111_{2}}$ 

用加法之前，一定要證明呢個加法係完美定義（Well-define）好。因為喺數學嘅世界，加法未必一定係日常加法。加法最早係應用喺自然數（${\displaystyle \mathbb {N} }$ ）。喺集合論入面，加法係將個集整大嘅一個處理，例如用自然數整整數（${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ）、有理數（${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ）同實數（${\displaystyle \mathbb {R} }$ ）。喺數學教育同埋數學史入面，正分數係早出現過負數。

加法最早係應用喺自然數入面。有兩個定義自然數加法嘅方法。第一個係利用集嘅基數（基數即係個集入面有幾多嚿嘢）嚟做定義。另一個，比較接近日常加法。

如果自然數係用嚟做一個有限集嘅基數，即係話集${\displaystyle A}$ 嘅基數係${\displaystyle 1}$ ，${\displaystyle B}$ 嘅基數係${\displaystyle 2}$ 。佢哋兩個嘅加法可以咁定義：

「設${\displaystyle N(S)}$ 做集${\displaystyle S}$ 嘅基數。咁兩個唔相交集${\displaystyle A,B}$ ，${\displaystyle N(A)=a,N(B)=b}$ ，嘅聯合${\displaystyle a+b}$ ，就係${\displaystyle N(A\cup B)}$ 。」

${\displaystyle A\cup B}$ 就係兩個集${\displaystyle A}$ 同${\displaystyle B}$ 嘅聯合。另一個版本嘅定義，可以接受呢兩個集係有相交，咁個定義嘅處理手法就會先將兩個集相交嘅嘢整走先，再將兩個集聯合，咁就可以避免將相交嘅嘢重覆咁計。

最簡單嘅整數概念就係絕對值或者係自然數，再加多一個正負號（正號或者負號）。整數零係一個特別嘅存在，佢又唔係正數又唔係負數。係整數入面嘅加法就按照下面嘅定義：

「對應任何整數${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle |n|}$ 係佢嘅絕對值。同時，${\displaystyle a}$ 同${\displaystyle b}$ 係整數。如果${\displaystyle a}$ 或者${\displaystyle b}$ 係零，咁就當佢係恆等元（Identity）。如果${\displaystyle a}$ 同${\displaystyle b}$ 都係正數，咁定義${\displaystyle a+b=|a|+|b|}$ 。如果${\displaystyle a}$ 同${\displaystyle b}$ 都係負數，咁${\displaystyle a+b=-(|a|+|b|)}$ 。如果${\displaystyle a}$ 同${\displaystyle b}$ 係唔同正負，咁就要定義${\displaystyle a+b}$ 做${\displaystyle |a|}$ 同${\displaystyle |b|}$ 之差，之後邊一個絕對值大啲，咁佢嗰個正負號，就係答案嘅正負號。」

舉個例子，如果有${\displaystyle -2}$ 同${\displaystyle 5}$ ，咁${\displaystyle -2+5}$ 就係${\displaystyle |5|-|-2|=|5|-|2|=3}$ ，因為${\displaystyle |5|>|-2|}$ ，所以個答案係${\displaystyle 3}$ 。如果有${\displaystyle -10}$ 同${\displaystyle 5}$ ，咁${\displaystyle -10+5}$ 就係${\displaystyle |-10|-|5|=10-5=5}$ ，因為${\displaystyle |-10|>|5|}$ ，所以個答案係${\displaystyle -5}$ 。

用呢個方法定義加法對一啲簡單嘅方法係可以，但一去到複雜少少嘅問題，呢個定義有多可能性要考慮，就會令到成件事變得更加複雜。

比較常用或者方便嘅定義方法，就係利用高分迪群（Grothendieck Group）呢個結構去定義加法。呢個常用嘅定義，係用一個好基本法則，就係每一個整數都可以寫成兩個自然數之差，呢個寫法唔係獨有，即係${\displaystyle -1=2-3}$ 同時${\displaystyle -1=1-2}$ 。因此，整數可以定義為兩個自然數之差，加法又可以兼容埋減法：

「有兩個整數${\displaystyle a-b}$ 同${\displaystyle c-d}$ ，${\displaystyle a,b,c,d}$ 都係自然數。定義${\displaystyle (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)}$ 」

有理數，即係分數。兩個分數需要分母一樣先可以相加，如果分母唔相同，咁就唔可以直接相加。

例子：${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 同${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ 分母唔一樣，所以唔可以直接相加。

例子：${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$ 同${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ 分母一樣，可以直接相加，得出${\displaystyle {\frac {6}{6}}=1}$ 。

如果兩個分數分母唔相同，咁就需要通分母。通分母嘅意思係將兩個分數嘅分母變成一樣。因為將分子同分母同樣乘大同一個數字，佢嘅數值係冇變，一般通分母會利用最小公倍數去處理。以${\displaystyle {\frac {7}{9}}}$ 同${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 做例，${\displaystyle 9}$ 同${\displaystyle 2}$ 嘅最小公倍數係${\displaystyle 18}$ ，所以；

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {7}{9}}+{\frac {1}{2}}&={\frac {7\times 2}{9\times 2}}+{\frac {1\times 9}{2\times 9}}\\&={\frac {14}{18}}+{\frac {9}{18}}\\&={\frac {14+9}{18}}\\&={\frac {23}{18}}\end{aligned}}}$ 

將以下情況用代數表示，可以得出有理數加法嘅定義：

「${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$ 」

舉個例子：${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}={\frac {3\times 3+5\times 2}{3\times 5}}={\frac {9+10}{15}}={\frac {19}{15}}}$ 

虛數嘅加法係將實嘅部分相加，虛嘅部分相加，所以可以咁樣定義：

「${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}$ 」

其實虛數可以利用向量嚟做一個幾何上表達。將實部分當做橫軸（x-axis），虛部分當做縱軸（y-axis），就好似右面幅圖咁表達出任何兩個虛數相加。而喺幾何上面，右面呢個係一個平行四邊形。如果將藍、紅、紫嘅箭嘴嘅頭叫做${\displaystyle A,B,C}$ ，個尾叫做${\displaystyle O}$ ，咁${\displaystyle \bigtriangleup OAB}$ 係全等於${\displaystyle \bigtriangleup CBA}$ 。呢個都係其中一個虛數平面上面嘅性質。

有好多二元運算都可以當做實數加法嘅伸展，或者係類似實數嘅加法。喺抽象代數入面，代數場就係呢啲所謂嘅加法嘅伸展，同時佢哋都會喺集合論同埋表示論出現。

喺線性代數入面，一個向量空間係一種代數結構。喺呢個空間入面，兩支唔同嘅向量同埋有啲數字可以互相加埋一齊或者乘埋一齊嘅。同向量加法、乘法好似嘅重有實數坐禁加法，一個坐禁${\displaystyle (x,y)}$ 就係一支喺${\displaystyle (x,y)}$ 平面上面嘅向量，同時佢係呢個平面嘅中心。兩支向量嘅加可以咁樣定義：

「${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ 」

兩個矩陣要做到加法唯一嘅條件係需要有同一個「形狀」（Dimension），即係話，行同列嘅數量都要一樣。兩個${\displaystyle m\times n}$ 嘅矩陣${\displaystyle A}$ 同${\displaystyle B}$ 相加之後，會用${\displaystyle A+B}$ 表示，都係一個${\displaystyle m\times n}$ 矩陣，做法係將對應位置嘅數字相加：

「${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m2}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}}$ 」

舉個例：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&5\\7&9\end{bmatrix}}}$ 

喺商數學入面，將整數${\displaystyle {\text{mod }}12}$ 之後嗰個集就最多只有${\displaystyle 12}$ 嚿嘢，咁佢入面就會有一個加法，而對應喺音樂入面，五線譜嘅音符都有類似嘅加法。如果將整數${\displaystyle {\text{mod }}2}$ ，得出一個得兩嚿嘢嘅集，${\displaystyle \{0,1\}}$ ，咁佢入面嘅加法就同邏輯代數入面嘅Exclusive or一樣。喺幾何學入面，兩個角度相加，就係一定係實數入面${\displaystyle {\text{mod }}2\pi }$ 入面嘅嘢。

喺基本嘅抽象代數入面，一個集入面嘅加法多數都係可溝通性同結合性。例子有：阿標群。

加法可以將集合併，呢個都係加法入面最簡單嘅功能。

「當有兩個或以上咁多集要合併成一個，得出嗰一個集就會有之前咁多個集總和咁多樣剐。」

呢個句子好容易就可以用圖案嚟黎表示，就好似右手面張圖咁。兩個集，各自有${\displaystyle 3}$ 同${\displaystyle 2}$ 咁多嚿嘢，合併完之後個集就有${\displaystyle 5}$ 嚿嘢。但係用圖案表示有機會會出錯，所以去到高等數學，一個嚴謹定義加法嘅方法，可以推到好多好勁嘅數學結果出嚟，就好似上面嘅自然數定義。同時，有咗呢個定義，去推出分數或者負數嘅加法唔係一件容易嘅事。

另一個加法嘅功能就係伸長個距離：

「當一條嘢俾人加長，咁佢個總長度就係原本咁多再加伸長咗咁多。」

用代數嘅角度睇，${\displaystyle a+b}$ 嘅和，喺二元運算入面就係將${\displaystyle a}$ 同${\displaystyle b}$ 合併埋一齊。用另一個角度睇，${\displaystyle a+b}$ 可以理解做加${\displaystyle a}$ 咁多嘢落${\displaystyle b}$ 嗰到。

• 減
• 乘
• 除
• 四則運算
• 分數