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Gleichung

[21] Gleichung, die mathematische Bezeichnung f�r die Aussage, da� zwei Gr��en, etwa A und B, einander gleich sind, da� also jede von ihnen die andre ersetzen kann, in Zeichen: A = B. Man nennt A und B die beiden Seiten der G., und wenn A und B aus andern Gr��en durch Addition und Subtraktion[21] zusammengesetzt sind, so hei�en diese Glieder der G. Eine G., die immer richtig bleibt, welche Werte man auch den darin vorkommenden Gr��en erteilt, hei�t identisch, wie z. B. (a-b)² = a²-2ab+b²; man ersetzt hier zuweilen das Zeichen = durch ≡, gelesen: identisch gleich. Jede nicht identische G. stellt eine Bedingung dar, der die in ihr vorkommenden Gr��en gen�gen m�ssen, wenn die G. richtig sein soll; sie ist, wie man sagt, eine Bedingungs- oder Bestimmungsgleichung f�r die in ihr enthaltenen Gr��en. Die einfachste Form einer solchen Bedingung ist die, da� eine der Gr��en gleich sein soll einem aus den �brigen gebildeten Ausdruck, wie z. B. c = a²-b², wo man a und b beliebig w�hlen und dann den zugeh�rigen Wert von c berechnen kann. Man mu� daher bei jeder G. versuchen, sie auf diese Form zu bringen, d.h. eine der in ihr vorkommenden Gr��en durch die �brigen auszudr�cken. Die Gr��e, die man so ausdr�cken will, sieht man als unbekannt an und bezeichnet sie meist mit x, die �brigen Gr��en sind entweder gegeben, oder man betrachtet sie als willk�rlich w�hlbar. Gelingt es, die Gr��e x durch die �brigen auszudr�cken, so sagt man: die G. ist nach der Unbekannten x aufgel�st. Gew�hnlich ist von vornherein bestimmt, welche der vorkommenden Gr��en als unbekannt angesehen werden soll; man redet dann von einer G. mit einer Unbekannten. Hat man mehrere Gleichungen, so mu�, da im allgemeinen jede G. zur Bestimmung einer Unbekannten ausreicht, die Zahl n der Unbekannten mindestens ebenso gro� sein, wie die Zahl m der Gleichungen, ist n gr��er als m, so kann man n-m von den Unbekannten als willk�rlich ansehen und die �brigen m verm�ge der m-Gleichungen durch sie ausdr�cken.

Um eine G., die nicht schon in aufgel�ster Form vorliegt, nach der Unbekannten aufzul�sen, mu� man sie umgestalten. Man darf zu diesem Zweck auf beiden Seiten dieselbe Gr��e addieren oder subtrahieren und kann daher jedes Glied auf die andre Seite bringen, wenn man ihm das entgegengesetzte Vorzeichen gibt; f�r A = B kann man so schreiben: A+C = B+C, wo C ganz beliebig ist, also insbes.: A-B = B-B = 0. Ferner darf man jede Seite der G. mit einem Faktor multiplizieren oder dividieren, vorausgesetzt, da� diese beiden Faktoren einander gleich, aber nicht gleich Null sind. Z.B. darf man bei 2x = 10 mit 2 dividieren und erh�lt: x = 5; bei 2/x = 1 darf man beide Seiten mit x multiplizieren, da der Wert x = 0 offenbar ausgeschlossen ist, und erh�lt: x = 2; bei √(x-1) = 2 darf man links mit √(x-1) und rechts mit 2 multiplizieren oder k�rzer, man darf beide Seiten der G. ins Quadrat erheben: x-1 = 4, d.h. x = 5.

Jede G., die aus einer oder mehreren Unbekannten x, y, z ... und aus bekannten Gr��en, z. B. aus bestimmten Zahlen oder aus sogen. unbestimmten Gr��en a, b, c ... durch die elementaren Rechnungsarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gebildet ist, hei�t algebraisch, und die Lehre von den Umgestaltungen, die man mit solchen Gleichungen vornehmen kann, und von den Hilfsmitteln, die man zu ihrer Aufl�sung hat, ist der Gegenstand der Algebra oder Gleichungstheorie. Eine algebraische G. mit einer Unbekannten kann immer durch die erw�hnten Rechnungsarten auf die Form a₀+a₁x+a₂x² + ...+ a_n-1x^n-1+a_nxⁿ = 0 gebracht werden, wo a₀, a₁ ... a_n, die Koeffizienten der G. bekannte Gr��en oder Zahlen sind. Ist n die h�chste in der G. auftretende Potenz (s. d.) von x, ist also a_n nicht gleich 0, so hei�t die positive ganze Zahl n der Grad oder die Ordnung der G., und die linke Seite der G. hei�t eine ganze rationale Funktion n-ten Grades von x; man kann dann �brigens die G. stets mit a., dividieren oder, was auf dasselbe hinauskommt, man kann den Koeffizienten der h�chsten Potenz von x gleich 1 annehmen. Kommt in einer algebraischen G. die Unbekannte x unter einem oder mehreren Wurzelzeichen vor, so sagt man, die G. liege in irrationaler Form vor; man mu� sie dann erst rational machen, d.h. auf die vorhin angegebene Form bringen. Hat mon z. B. die G. 3x+√(2+x²) = 1, so schafft man erst 3x auf die rechte Seite, um links die Wurzel allein zu haben, und erhebt dann ins Quadrat: 2+x² = 1–6x+9x², so bekommt man die G. 8x²-6x – 1 = 0. Jede nicht algebraische G., wie z. B. 3^x = 81, hei�t transzendent. Jeder Wert der Unbekannten x, durch dessen Einsetzung die G. die Form: 0 = 0 annimmt, also zu einer identischen G. wird, hei�t eine Wurzel der G., und man sagt, da� er der G. gen�gt, sie befriedigt. So ist x = 4 eine Wurzel der G. 3^x = 81; x = 1, 2, 5 sind die Wurzeln der G. dritten Grades: x³-8x²+17x = 10. Die Wurzeln einer algebraischen G., deren Koeffizienten positive oder negative ganze Zahlen sind, hei�en algebraische Zahlen; jede Zahl, die keiner algebraischen G. dieser Art gen�gt, hei�t transzendent.

Die algebraischen Gleichungen der drei ersten Grade. Die allgemeine Form einer G. ersten Grades ist a.x = b, wo a nicht gleich Null sein darf, ihre Aufl�sung ist daher gleichbedeutend mit der Aufgabe der Division (s. d.), und man findet als einzige Wurzel: x = b/a. Eine G. zweiten Grades (auch quadratische G. genannt) hat die Form: ax²+bx = c. Ist b = 0, so hei�t die quadratische G. rein, und man findet zun�chst x² = c/b, woraus folgt, da� x entweder = +√(b/c) oder = -√(b/c) ist (s. Wurzel). Verschwindet b nicht, su hei�t die G. unrein oder gemischt quadratisch. Man multipliziert dann die G. mit a und f�gt auf beiden Seiten die sogen. Erg�nzung zum Quadrat, n�mlich die Gr��e ¹/₄b² hinzu und erh�lt: a²x²+abx+¹/₄ b² = c+¹/₄b² oder: (ax+¹/₂b)² = c+¹/₄b², womit man auf eine reine quadratische G. mit der Unbekannten ax+¹/₂b gef�hrt ist. Nunmehr wird: ax+¹/₂b = � √(c+¹/₄b²), also: x = -^b/_2a � ¹/_2a√(c+¹/₄b²), wo entweder das obere oder das untere Vorzeichen zu w�hlen ist. Der Ausdruck c+¹/₄b² ist die Diskriminante (s. d.) der quadratischen G.: ist er positiv, so hat die G. zwei reelle (positive oder negative) Wurzeln, ist er negativ, so hat sie zwei imagin�re Wurzeln, ist er Null, so hat sie zwei gleiche Wurzeln. Eine G. dritten Grades (kubische G.) kann in der Form: x³+ax²+bx+c = 0 angenommen werden. Setzt man x = y-¹/₃.a, wo y eine neue Unbekannte ist, so erh�lt sie die Form: y³+py+q = 0, wo p und q in einfacher Weise aus a, b, c gebildet sind. Am schnellsten f�hrt nun das Verfahren von Hudde (17. Jahrh.) zum Ziel. Man setzt y = u+v, schreibt die G. so: u³+v³+q+(u+v). (3uv+p) = 0 und unterwirft u und v der Bedingung: u³+v³+q = 0. Die G. ist dann sicher erf�llt, wenn noch 3uv+p = 0 gesetzt wird. Hieraus erh�lt man zur Bestimmung von u³ und v³ die quadratische G. u³-(p³/27u³)+q =0 oder: u⁶+qu³-¹/₂₇p³ = 0, woraus sich ergibt:[22]

und f�r y selbst die Cardanische Formel:

(s. Cardano). In �hnlicher Weise kann man auch die Wurzeln einer G. 4. Grades durch die Koeffizienten ausdr�cken und hat dabei, wie bei den Gleichungen 2. und 3. Grades, nur Additionen, Multiplikationen und Divisionen auszuf�hren und au�erdem gewisse Quadrat- und Kubikwurzeln auszuziehen. Aber alle Versuche, die Gleichungen 5. Grades auf demselben Weg, also durch Additionen, Multiplikationen, Divisionen und durch Ausziehen von Wurzeln (man sagt daf�r kurz: durch Wurzelzeichen), zu l�sen, schlugen fehl, bis Abel (s. d.) 1824 bewies, da� das unm�glich ist, und da� eine allgemeine G., deren Grad 4 �bersteigt, �berhaupt nicht durch Wurzelzeichen l�sbar ist. Abel selbst fand aber eine gro�e Klasse von Gleichungen beliebig hohen Grades (die Abelschen Gleichungen), die durch Wurzelzeichen l�sbar sind, und bald darauf gab Galois (s. d.) allgemeine Regeln daf�r, wie man erkennen kann, ob eine vorgelegte G. durch Wurzelzeichen l�sbar ist, und daf�r, auf welche Gleichungen von niedrigerm Grad eine vorgelegte G. zur�ckgef�hrt werden kann.

Mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten bilden ein Gleichungensystem. Wir betrachten nur den Fall der sogen. linearen Gleichungen, wo jede G. des Systems in bezug auf jede der Unbekannten vom 1. Grade (linear) ist. Man. bezeichnet die Unbekannten der Reihe nach mit x, y, z, ... oder mit x₁, x₂, x₃ ..., sieht dann zun�chst eine von ihnen, etwa x, als einzige Unbekannte an und dr�ckt sie verm�ge jeder G. des Systems durch y, z ... aus; setzt man dann die verschiedenen so erhaltenen Ausdr�cke f�r x einander gleich, so bekommt man ein System von Gleichungen zwischen y, z ... allein, man hat x eliminiert; das neue System enth�lt eine Unbekannte und eine G. weniger als das urspr�ngliche, und durch Wiederholung dieses Verfahrens gelangt man schlie�lich zu einer G. mit einer Unbekannten. Z.B.:

I. x+y = 5, 2x+3y = 13.

II. x = 5-y = ¹³/₂-³/₂y

III. ¹/₂y = ³/₂, y = 3, x = 2.

In der Praxis kann man die Elimination meistens bequemer ausf�hren. Die Aufgabe, ein System von n-linearen Gleichungen mit n-Unbekannten aufzul�sen, hat zur Entwickelung der Lehre von den Determinanten (s. d.) Anla� gegeben.

Auch jedes System von algebraischen Gleichungen, das nicht in bezug auf jede Unbekannte vom ersten Grad ist, kann durch Elimination auf eine oder mehrere algebraische Gleichungen mit je einer Unbekannten zur�ckgef�hrt werden.

Numerische Gleichungen nennt man solche, deren Koeffizienten zifferm��ig gegebene Zahlen sind; auf Gleichungen dieser Art f�hren viele Aufgaben der angewandten Mathematik. Es handelt sich dann darum, die Zahlenwerte der reellen (positiven oder negativen) Wurzeln der G. mit der Genauigkeit zu berechnen, welche die jeweilige Aufgabe erfordert. Man berechnet zu diesem Zwecke versuchsweise die Werte, die die ganze Funktion a₀+a₁x+ ... +a_n xⁿ = f(x) f�r verschiedene Werte von x annimmt; findet man dann zwei solche Werte b und c von x, da� f(b) = a₀+a₁b+ ... +a_nbⁿ und f(c) verschiedene Vorzeichen haben, so ist man sicher, da� zwischen b und c mindestens eine Wurzel der G. f(x) = 0 liegt, und jede der beiden Zahlen b, c stellt zugleich einen N�herungswert f�r eine solche Wurzel dar. Zur genauern Berechnung der Wurzel wendet man jetzt ein N�herungsverfahren an; man sucht zwei zwischen b und c liegende Zahlen b� und c� derart, da� f(b�) und f(c�) wieder verschiedene Vorzeichen bekommen und f�hrt so fort, bis man die gesuchte Wurzel in immer engere Grenzen eingeschlossen hat. Von gro�em Nutzen ist dabei der Sturmsche Satz (Sturm, franz. Mathematiker, 1803–55), der zu bestimmen erlaubt, wie viele reelle Wurzeln der G. f(x) = 0 zwischen zwei gegebenen Zahlen b und c liegen. Genaueres bei Runge, Praxis der Gleichungen (Leipz. 1900).

Unter Ansatz oder Synthesis der Gleichungen versteht man die �bersetzung einer in Worte eingekleideten Aufgabe in die Sprache der Algebra, also die Ersetzung der Aufgabe durch eine oder mehrere Gleichungen. Es kommt dabei besonders auf die geschickte Wahl der Unbekannten an und auf richtige Erfassung der einfachsten Beziehungen, die zwischen ihnen bestehen. Deshalb hat man diese eingekleideten Aufgaben von jeher als ein besonders geeignetes Mittel zur �bung des Scharfsinns betrachtet und sie in den Aufgabensammlungen zur Algebra (Meyer, Hirsch, Heis, Bardey) immer mehr bevorzugt. Dadurch, da� man sich gew�hnt hat, jede solche Aufgabe auf Gleichungen zur�ckzuf�hren, sind alle die in fr�heren Jahrhunderten aufgestellten besondern Rechnungsarten und -Regeln, wie Regeldetri, Kettenregel, Gesellschafts-, Mischungs- und Zinsrechnung, entbehrlich geworden.

Geschichte der Lehre von den Gleichungen (Algebra). Die Griechen, bei denen die Zeichensprache der Algebra noch sehr wenig ausgebildet war, l�sten Aufgaben, die wir heute durch Gleichungen 2. Grades ausdr�cken, durch geometrische Konstruktion. Die allgemeine Aufl�sung der G. 2. Grades findet sich zuerst bei Diophantos (s. d.). Die Araber, die von den Griechen die Geometrie und von den Indern die Kunst des Zahlenrechnens �bernahmen, bildeten die Zeichensprache weiter aus; auch das Wort Algebra stammt aus dem Arabischen, aus dem Lehrbuche des Mohammed ben Musa Alkaresmi (s. Algorithmus), es bedeutet »Wiederherstellung« und bezieht sich auf die bei den Arabern �bliche Umformung der Gleichungen, bei der schlie�lich zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens lauter zu addierende Gr��en standen. Als mit dem Wiedererwachen der Wissenschaften in Europa die Arithmetik (s. d.) sich allm�hlich entwickelte, machte auch die Algebra gro�e Fortschritte. Ende des 15. Jahrh. erschien in Venedig die »Summa« des Luca Pacioli, das erste gedruckte Buch �ber Algebra; sie hei�t darin, wie schon vor 1400 die regula della cosa, da cosa (Ding) die Unbekannte bezeichnete. Deshalb nannte man nachher in Deutschland die Algebra lange Zeit »Regel Co�«. Die Aufl�sung der G. 3. Grades gelang um 1515 dem Scipione dal Ferro, ver�ffentlicht hat sie jedoch erst Cardano (s. d.) zugleich mit der von seinem Sch�ler Ferrari gefundenen Aufl�sung der G. 4. Grades. Im 17. und 18. Jahrh. wurde die Theorie der Gleichungen besonders durch Descartes, Newton, Euler und Lagrange gef�rdert, aber erst 1799 gab Gau� in seiner Dissertation einen wirklichen Beweis daf�r, da� jede algebraische G. eine Wurzel hat (Fundamentalsatz der Algebra). Ins 19. Jahrh. fallen die vorhin erw�hnten Untersuchungen von Abel und Galois,[23] die namentlich Kronecker weiter ausgebildet hat. Zur Einf�hrung in die Algebra ist immer noch Eulers »Vollst�ndige Anleitung zur Algebra« (1770) zu empfehlen, die in Reclams Universal-Bibliothek aufgenommen ist. Von neuern Werken sind zu nennen: H. Weber, Lehrbuch der Algebra (2. Aufl., Braunschweig 1895–99, 2 Bde.); Netto: Elementare Algebra (Leipz. 1904), Vorlesungen �ber Algebra (das. 1896–99, 2 Bde.) und Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra (das. 1882).