矩陣論(第3版)（簡體書）

前言

隨著科學技術的迅速發展，常常需要考慮事物的多變量影響因素，因而古典的高等數學和線性代數知識已不能滿足現代科技的需要，矩陣的理論和方法就成為現代科技領域必不可少的工具. 諸如數值分析、優化理論、微分方程、概率統計、控制論、力學、電子學、網絡等學科領域都與矩陣理論有著密切的聯繫，甚至在經濟管理、金融、保險、社會科學等領域，矩陣理論和方法也有著十分重要的應用. 可以毫不夸張地說，矩陣理論的發展極大地推動和豐富了其他眾多學科的發展. 工程中許多新的理論、方法和技術的誕生與發展就是矩陣理論的創造性應用與推廣的結果. 當今電子計算機及計算技術的迅速發展更為矩陣理論的應用開辟了更廣闊的前景. 因此，學習和掌握矩陣的基本理論和方法，對於工科研究生來說是必不可少的. 從20世紀80年代，全國的工科院校已普遍把“矩陣論”作為研究生的必修課. 為此，1989年我們根據國家教委制定的工科研究生學習“矩陣論”課程的基本要求編寫了教材講義，並於1993年和2004年分別由河海大學出版社和清華大學出版社先後正式出版，在部分高校講授過多年. 為使本書適應時代發展的要求，這次改版又對本書進行了充實更新，並對內容作了精心的處理.

本書內容分上、下兩篇，上篇為基礎篇，下篇為應用篇，共8章，比較全面、系統地介紹了矩陣的基本理論、方法及其應用. 我們認為，矩陣論源於古典的高等數學，它是線性代數與高等數學知識的推廣和深化. 眾所周知，初等數學運算的物件是常量，高等數學運算的物件是變量，如果將運算物件換成多維向量（矩陣），並定義相應運算規則後，這就構成了“矩陣論”. 所以，有人把矩陣論又說成是一門“多維高等數學”或是“升級版的高等數學”. 對於工科研究生來說，深刻理解和熟練掌握這門課對後面內容的學習乃至將來正確處理實際問題有很大的作用. 現以本書5.4節“矩陣微分方程”為例，在研究彈道控制系統時，考察多個變量x1(t),x2(t),…,xn(t)所滿足的常微分方程組（5.4.1）,如果采用古典高等數學傳統的解法，其過程相當複雜，解的表達式非常冗長. 直到20世紀80年代，有了矩陣工具以後，可以將式(5.4.1)改寫成如式(5.4.2)的矩陣微分方程：dx(t)〖〗dt=Ax(t),其解表達為x(t)=eAtx(0),這裡A為n階方陣. 如此“簡而不凡”的表達式，才真正體現了“數學之美”.

本書的第1章介紹矩陣的幾何理論. 矩陣理論源於古典的高等數學，例如，“線性空間”是平面上二維向量空間的推廣；“線性算子”是函數概念的推廣；“等積變換”是正交坐標系概念的推廣等. 建立這種“以高等數學概念為背景、並用公理化來定義多維空間相應的抽象概念”的理論，我們稱之為“矩陣的幾何理論”. 這部分內容既是古典的線性代數和高等數學知識的推廣和深化，又是矩陣論的基礎. 第2章~第4章主要介紹λ矩陣與若爾當標準形、矩陣的分解、賦範線性空間與矩陣範數. 這些內容是矩陣理論研究、矩陣計算及應用中不可缺少的工具和手段. 以上4章內容均為1991年國家教育委員會工科研究生數學課程教學指導小組對“矩陣論”課程所制定的基本要求，故本書把它們放入上篇作為基礎篇，約為2~3學分（講授36~54學時）. 考慮到矩陣理論的完整性、系統性，又能反映其應用性，同時也為滿足某些專業多學時教學的需要，本書的下篇為應用篇，安排有： 第5章介紹矩陣微積分及其應用；第6章介紹廣義逆矩陣及其應用； 第7章介紹幾類特殊矩陣與特殊積（諸如非負矩陣與正矩陣、素矩陣與循環矩陣、隨機矩陣和雙隨機矩陣、單調矩陣、M矩陣與H矩陣、T矩陣與漢克爾矩陣，矩陣的克羅內克積、阿達馬積與反積等）；第8章專門介紹了矩陣在其他方面的一些應用. 本書前7章每章均配有一定數量的習題，附錄中還給出了15套模擬自測試題. 所有習題和自測題（包括約1200道小題）的詳細解答，將由清華大學出版社出版.

目錄中帶*號的內容可用於選學或自學.

本書在編寫過程中，力求做到：

1. 理論嚴謹，重點突出，既重視幾何理論，又兼顧應用背景或具體應用；

2. 結構合理，既有系統性，適合全面閱讀（多學時），又具有可分性，便於選讀（少學時）；

3. 取材豐富，涵蓋多種矩陣理論與運算法則；

4. 深入淺出，文字流暢.

閱讀本書只需具備高等數學和線性代數的基本知識.

作者誠摯地感謝王能超教授，他仔細審閱了全部書稿，並提出了不少有益的建議.

本書可作為理工科大學各專業研究生的學位課程教材，也��作為理工科和師範類院校高年級本科生的選修課教材，並可供有關專業的教師和工程技術人員參考.

由於編著者水平有限，書中如有不妥乃至謬誤之處，期望讀者批評指正.

編著者[]2020年12月