Diện tích

Một cách tiếp cận để xác định ý nghĩa của "diện tích" là thông qua các tiên đề. "Diện tích" có thể được định nghĩa là một hàm a từ tập hợp M gồm các hình phẳng đặc biệt (gọi là tập hợp có thể đo được) đến tập các số thực, thỏa mãn các tính chất sau:

• Với mọi S thuộc M thì a (S) ≥ 0.
• Nếu S và T nằm trong M thì S ∪ T và S ∩ T, và a (S ∪ T) = a (S) + a (T) - a (S ∩ T).
• Nếu S và T nằm trong M với S ⊆ T thì T - S thuộc M và a (T - S) = a (T) - a (S).
• Nếu một tập hợp S thuộc M và S đồng nhất với T thì T cũng thuộc M và a (S) = a (T.
• Mọi hình chữ nhật R đều nằm trong M. Nếu hình chữ nhật có chiều dài h và chiều rộng k thì a (R) = hk.
• Gọi Q là một tập hợp nằm giữa hai vùng bước S và T. Vùng bước được hình thành từ sự kết hợp hữu hạn của các hình chữ nhật liền kề nằm trên một cơ sở chung, tức là S ⊆ Q ⊆ T. Nếu tồn tại một số duy nhất c sao cho a (S) ≤ c ≤ a (T) đối với tất cả các vùng bước S và T như vậy, thì a (Q) = c.

Có thể chứng minh rằng một hàm diện tích như vậy thực sự tồn tại.^[10]

Mọi đơn vị độ dài đều có một đơn vị diện tích tương ứng là diện tích hình vuông có độ dài cạnh bằng đơn vị độ dài đã cho. Do đó diện tích có thể được đo bằng mét vuông (m^2), vuông cm (cm^2), milimét vuông (mm^2), kilômét vuông (km²),feet vuông (ft ^2), yard vuông (yd ^2), dặm vuông (mi²), v.v.^[11] Về mặt đại số, các đơn vị này có thể được coi là bình phương của các đơn vị độ dài tương ứng.

Đơn vị diện tích SI là mét vuông, được coi là một đơn vị dẫn xuất SI.^[3]

Tính diện tích của một hình vuông có chiều dài và chiều rộng là 1 mét sẽ là:

1 mét × 1 mét = 1 m²

và do đó, một hình chữ nhật có các cạnh khác nhau (giả sử chiều dài 3 mét và chiều rộng 2 mét) sẽ có diện tích tính bằng đơn vị hình vuông có thể được tính như sau:

3 mét × 2 mét = 6 m². Điều này tương đương với 6 triệu mm vuông. Các chuyển đổi hữu ích khác là:

• 1 km vuông = 1.000.000 mét vuông
• 1 mét vuông = 10.000 cm vuông = 1.000.000 mm vuông
• 1 cm vuông = 100 mm vuông.

Trong đơn vị không thuộc hệ mét, việc chuyển đổi giữa hai đơn vị vuông là bình phương của việc chuyển đổi giữa các đơn vị chiều dài tương ứng.

1 foot = 12 inch,

mối quan hệ giữa feet vuông và inch vuông là

1 foot vuông = 144 inch vuông,

trong đó 144 = 12² = 12 × 12. Tương tự:

• 1 yard vuông = 9 feet vuông
• 1 dặm vuông = 3.097.600 yard vuông = 27.878.400 feet vuông

Ngoài ra, các yếu tố chuyển đổi bao gồm:

• 1 inch vuông = 6.4516 cm vuông
• 1 foot vuông = 0.09290304 mét vuông
• 1 yard vuông = 0.83612736 mét vuông
• 1 dặm vuông = 2.589988110336 km vuông

Có một số đơn vị phổ biến khác cho diện tích. A là đơn vị diện tích ban đầu trong hệ mét, với:

• 1 a = 100 mét vuông

Mặc dù đã không còn sử dụng, hecta vẫn thường được sử dụng để đo đất:^[12]

• 1 hecta = 100 a = 10.000 mét vuông = 0,01 ki lô mét vuông

Mẫu Anh cũng thường được sử dụng để đo diện tích đất

• 1 mẫu Anh = 4,840 yard vuông = 43,560 feet vuông.

Một mẫu Anh là khoảng 40% của một hecta.

Trên quy mô nguyên tử, diện tích được đo bằng đơn vị barn:^[13]

• 1 barn = 10 ⁻²⁸ mét vuông.

Barn được sử dụng phổ biến trong việc mô tả vùng tương tác mặt cắt ngang trong vật lý hạt nhân.^[14]

Ở Ấn Độ,

• 20 dhurki = 1 dhur
• 20 dhur = 1 khatha
• 20 khata = 1 bigha
• 32 khata = 1 mẫu Anh

Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, Hippocrates xứ Chios là người đầu tiên chỉ ra rằng diện tích của một cái đĩa (vùng được bao quanh bởi một vòng tròn) tỷ lệ với bình phương đường kính của nó, như một phần của việc cầu phương của ông,^[15] nhưng không xác định được hằng số tỷ lệ. Eudoxus của Cnidus, cũng vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, cũng phát hiện ra rằng diện tích của một cái đĩa tròn tỷ lệ thuận với bình phương bán kính của nó.^[16]

Sau đó, Quyển I của Cơ sở của Euclid đề cập đến sự bằng nhau về diện tích giữa các hình hai chiều. Nhà toán học Archimedes sử dụng các công cụ của Euclid để chứng minh rằng diện tích bên trong một vòng tròn là tương đương với của một tam giác vuông có đáy là chiều dài của chu vi của vòng tròn và có chiều cao tương đương với bán kính của vòng tròn, trong cuốn sách của ông Đo một hình tròn. (Chu vi là 2 πr, và diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao, mang lại diện tích πr ² cho hình tròn.) Archimedes đã tính gần đúng giá trị của π (và do đó là diện tích của một hình tròn bán kính đơn vị) bằng phương pháp nhân đôi của mình, trong đó ông nội tiếp một tam giác đều trong một vòng tròn và ghi nhận diện tích của nó, sau đó nhân đôi số cạnh để tạo ra một hình lục giác đều., sau đó liên tục nhân đôi số cạnh khi diện tích của đa giác ngày càng gần với diện tích của hình tròn (và thực hiện tương tự với đa giác ngoại tiếp).

Nhà khoa học người Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert năm 1761 đã chứng minh rằng π, tỷ số giữa diện tích hình tròn với bán kính bình phương của nó, là số vô tỉ, nghĩa là nó không bằng thương số của hai số nguyên bất kỳ.^[17] Năm 1794, nhà toán học người Pháp Adrien-Marie Legendre đã chứng minh rằng π² là vô tỉ; điều này cũng chứng tỏ rằng π là vô tỉ.^[18] Năm 1882, nhà toán học người Đức Ferdinand von Lindemann đã chứng minh rằng π là số siêu việt (không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào với hệ số hữu tỉ), chứng minh này xác nhận một phỏng đoán của cả Legendre và Euler.^{[17] :p. 196}

Heron (hay Hero) của Alexandria đã tìm ra cái được gọi là công thức Heron cho diện tích tam giác tính theo các cạnh của nó, và một phép chứng minh có trong cuốn sách của ông, Metrica, được viết vào khoảng năm 60 CN. Có ý kiến cho rằng Archimedes đã biết công thức hơn hai thế kỷ trước đó,^[19] và vì Metrica là tập hợp các kiến thức toán học có sẵn trong thế giới cổ đại, nên có thể công thức có trước tham chiếu được đưa ra trong công trình đó.^[20]

Năm 499, Aryabhata, một nhà toán học - thiên văn học vĩ đại của thời đại cổ điển của toán học Ấn Độ và thiên văn học Ấn Độ, đã biểu thị diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao trong Aryabhatiya (phần 2.6).

Một công thức tương đương với Heron đã được người Trung Quốc tìm ra độc lập với người Hy Lạp. Nó được xuất bản vào năm 1247 trong Shushu Jiuzhang ("Cửu chương toán thuật"), tác phẩm của Qin Jiushao.

Trong thế kỷ thứ 7, Brahmagupta đã phát triển một công thức, bây giờ được gọi là công thức Brahmagupta, cho diện tích của một tứ giác nội tiếp (một tứ giác có các đỉnh nằm trên một vòng tròn) theo các cạnh của nó. Năm 1842, các nhà toán học người Đức Carl Anton Bretschneider và Karl Georg Christian von Staudt đã độc lập với nhau, cùng tìm ra một công thức, được gọi là công thức Bretschneider, cho diện tích của bất kỳ hình tứ giác nào.

Sự phát triển của tọa độ Descartes do René Descartes xây dựng vào thế kỷ 17 cho phép phát triển công thức cho diện tích của bất kỳ đa giác nào có vị trí đỉnh đã biết của Gauss vào thế kỷ 19.

Sự phát triển của phép tính tích phân vào cuối thế kỷ 17 đã cung cấp các công cụ sau đó có thể được sử dụng để tính toán các diện tích phức tạp hơn, chẳng hạn như diện tích hình elip và diện tích bề mặt của các vật thể ba chiều cong khác nhau.

Đối với một đa giác không tự cắt (đa giác đơn), tọa độ Descartes${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$  (i = 0, 1,..., n -1) của n đỉnh đã biết, diện tích được cho bởi công thức của người đóng móng:^[21]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})|}$ 

trong đó khi i = n -1, thì i +1 được biểu thị dưới dạng môđun n và do đó quy về 0.

Công thức diện tích cơ bản nhất là công thức diện tích hình chữ nhật. Cho một hình chữ nhật có chiều dài l và chiều rộng w, công thức của diện tích là:^[2][22]

A = lw.

Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật bằng chiều dài nhân với chiều rộng. Trong trường hợp đặc biệt, vì l = w trong trường hợp hình vuông, diện tích của hình vuông có độ dài cạnh s được cho bởi công thức:^[1][2][23]

A = s²

Công thức cho diện tích hình chữ nhật trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản của diện tích, và đôi khi được coi là một định nghĩa hoặc tiên đề. Mặt khác, nếu hình học được phát triển trước số học, công thức này có thể được sử dụng để định nghĩa phép nhân các số thực.

Hầu hết các công thức đơn giản khác cho diện tích đều tuân theo phương pháp tách hình. Điều này bao gồm việc cắt một hình thành từng hình nhỏ, và việc tính diện tích hình đó sẽ là việc dùng phép cộng các diện tích các hình con.

Ví dụ, bất kỳ hình bình hành nào cũng có thể được chia nhỏ thành hình thang và tam giác vuông, như thể hiện trong hình bên trái. Nếu tam giác được di chuyển sang phía bên kia của hình thang, thì hình thu được là một hình chữ nhật. Theo đó diện tích của hình bình hành bằng diện tích của hình chữ nhật đó:^[2]

A = bh  (hình bình hành).

Tuy nhiên, cùng một hình bình hành cũng có thể được cắt theo một đường chéo thành hai tam giác tương đẳng, như trong hình bên phải. Như vậy diện tích của mỗi tam giác bằng một nửa diện tích của hình bình hành:^[2]

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$  (Tam giác).

Các phép chứng minh tương tự có thể được sử dụng để tìm công thức diện tích cho hình thang ^[24] cũng như các đa giác phức tạp hơn.^[25]

Công thức tính diện tích hình tròn (được gọi đúng hơn là diện tích được bao bởi hình tròn hay diện tích đĩa) dựa trên một phương pháp tương tự. Cho một vòng tròn bán kính r nó có thể phân vùng các vòng tròn vào các lĩnh vực, như thể hiện trong hình bên phải. Mỗi cung có dạng hình tam giác gần đúng và các cung có thể được sắp xếp lại để tạo thành một hình bình hành gần đúng. Chiều cao của hình bình hành này là r, và chiều rộng bằng nửa chu vi của hình tròn, hay πr. Như vậy, tổng diện tích của hình tròn là πr²:^[2]

A = πr²  (hình tròn).

Mặc dù việc phân tách hình tròn được sử dụng trong công thức này chỉ là gần đúng, nhưng sai số ngày càng nhỏ hơn khi vòng tròn được phân chia thành ngày càng nhiều cung. Giới hạn diện tích của các hình bình hành gần đúng là πr², là diện tích của hình tròn.^[26]

Lập luận này thực sự là một ứng dụng đơn giản của các ý tưởng của phép tính vi tích phân. Trong thời cổ đại, phương pháp cạn kiệt được sử dụng một cách tương tự để tìm diện tích hình tròn, và phương pháp này ngày nay được công nhận là tiền thân của phép tính tích phân. Sử dụng các phương pháp hiện đại, diện tích hình tròn có thể được tính bằng cách sử dụng một tích phân xác định:

${\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}$ 

Công thức cho diện tích được bao bởi một hình elip có liên quan đến công thức của một hình tròn; đối với một hình elip với các bán trục chính và bán trục phụ x và y, với công thức là:^[2]

${\displaystyle A=\pi xy.}$ 

Hầu hết các công thức cơ bản cho diện tích bề mặt có thể thu được bằng cách cắt các bề mặt và làm phẳng chúng. Ví dụ, nếu bề mặt bên của một hình trụ (hoặc bất kỳ hình lăng trụ nào) được cắt theo chiều dọc, bề mặt đó có thể được làm phẳng thành hình chữ nhật. Tương tự, nếu một vết cắt được thực hiện dọc theo mặt bên của hình nón, bề mặt bên có thể được làm phẳng thành một phần của hình tròn và diện tích kết quả có thể được tính ra.

Công thức cho diện tích bề mặt của một hình cầu khó tìm hơn: bởi vì một hình cầu có độ cong Gauss khác 0, nó không thể bị cán dẹt ra. Công thức về diện tích bề mặt của một hình cầu lần đầu tiên được Archimedes thu được trong tác phẩm Về hình cầu và hình trụ. Công thức là:^[6]

• A = 4πr²  (hình cầu), với r là bán kính của hình cầu. Cũng giống như công thức về diện tích hình tròn, bất kỳ suy luận nào của công thức này đều sử dụng các phương pháp tương tự như tích phân.

• Hình tam giác:${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}$  (trong đó B là cạnh bất kỳ và h là khoảng cách từ đường thẳng mà B nằm đến đỉnh còn lại của tam giác). Có thể sử dụng công thức này nếu biết chiều cao h. Nếu biết độ dài của ba cạnh thì có thể sử dụng công thức Heron:${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$  trong đó a, b, c là các cạnh của tam giác và ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$  là một nửa chu vi của nó.^[2] Nếu cho một góc và hai cạnh bên của nó, diện tích là${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)}$  trong đó C là góc đã cho và a và b là các cạnh của nó.^[2] Nếu tam giác được vẽ đồ thị trên một mặt phẳng tọa độ, một ma trận có thể được sử dụng và được đơn giản hóa thành giá trị tuyệt đối của${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$ . Công thức này còn được gọi là công thức dây giày và là một cách dễ dàng để giải diện tích của một tam giác tọa độ bằng cách thay thế 3 điểm (x ₁, y ₁), (x ₂, y ₂) và (x ₃, y ₃). Công thức dây giày cũng có thể được sử dụng để tìm diện tích của các đa giác khác khi các đỉnh của chúng đã biết. Một cách tiếp cận khác cho tam giác tọa độ là sử dụng phép tính để tìm diện tích.
• Một đa giác đơn được xây dựng trên một lưới các điểm có khoảng cách bằng nhau (tức là các điểm có tọa độ nguyên) sao cho tất cả các đỉnh của đa giác là các điểm lưới:${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$ , với i là số điểm lưới bên trong đa giác và b là số điểm biên. Kết quả này được gọi là định lý Pick.^[27]

• Diện tích giữa đường cong có giá trị dương và trục hoành, được đo giữa hai giá trị a và b (b được định nghĩa là lớn hơn trong hai giá trị) trên trục hoành, được cho bởi tích phân từ a đến b của hàm đại diện cho đường cong:^[1]
  • ${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$ 
• Diện tích giữa đồ thị của hai hàm số bằng tích phân của một hàm số, f (x), trừ đi tích phân của hàm số kia, g (x):
  • ${\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}$ 
• Diện tích bị giới hạn bởi một hàm r = r (θ) được biểu thị bằng tọa độ cực là:^[1]
  • ${\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}$ 
• Khu vực được bao quanh bởi một đường cong tham số${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$  với các điểm cuối${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$  được cho bởi tích phân đường:
  • ${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$ 
• (xem định lý Green) hoặc thành phần z của
  • ${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}$ 

• Độ dài
• Thể tích