Комплексифікація

Нижче подано два еквівалентні означення комплексифікації дійсних векторних просторів.

Нехай ${\displaystyle V}$  — векторний простір над полем дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Комплексифікацією простору ${\displaystyle V}$  називається пряма сума

${\displaystyle V_{\mathbb {C} }=V\oplus V=V\times V.}$ 

На ній операція додавання визначена покомпонентно

${\displaystyle (x,\,y)+(x',\,y')=(x+x',\,y+y')}$ 

і множення на скаляр ${\displaystyle \alpha +\beta i\in \mathbb {C} }$  визначено як

${\displaystyle (\alpha +\beta i)(x,\,y)=\left(\alpha x-\beta y,\,\beta x+\alpha y\right)}$ .

Множина ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$  разом із вказаними операціями є векторним простором над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Елемент ${\displaystyle (x,y)\in V_{\mathbb {C} }}$  як правило записують у виді ${\displaystyle x+yi}$ .

Комплексифікацією дійсного векторного простору ${\displaystyle V}$  називається тензорний добуток:

${\displaystyle V_{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ .

Множення на скаляр ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$  визначено так: для елемента ${\displaystyle x\otimes b\in V_{\mathbb {C} }}$  де ${\displaystyle x\in V}$  і ${\displaystyle b\in \mathbb {C} }$ 

${\displaystyle a(x\otimes b)=x\otimes (ab)}$ .

• Комплексифікацією евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  є комплексний простір ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ .
• Комплексифікацією векторного простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m\times n}}$  матриць розмірності ${\displaystyle m\times n}$  з дійсними елементами є простір ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}}$  матриць тої ж розмірності з комплексними елементами.

• Дійсний векторний простір ${\displaystyle V}$  допускає вкладення ${\displaystyle x\mapsto x+0i}$  як дійсний підпростір простору ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$ . Елемент ${\displaystyle x+yi\in V_{\mathbb {C} }}$  належить ${\displaystyle V}$  (при ідентифікації за вкладенням), якщо ${\displaystyle y=0}$ .
• На просторі${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$  природно можна ввести інволюцію ${\displaystyle {\overline {x+yi}}=x-yi}$ , що є аналогом комплексного спряження. Елемент ${\displaystyle z\in V_{\mathbb {C} }}$  належить ${\displaystyle V}$ , якщо ${\displaystyle {\overline {z}}=z}$ .
• Якщо${\displaystyle (x_{j})}$  є базисом простору ${\displaystyle V}$ , то ${\displaystyle (x_{j}+i0)}$  є базисом ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -векторного простору ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$ . Тобто дійсна розмірність простору ${\displaystyle V}$  є рівною комплексні розмірності простору ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$ .
• ${\displaystyle (V^{*})_{\mathbb {C} }\cong (V_{\mathbb {C} })^{*},}$  де ${\displaystyle (V^{*})}$  — двоїстий простір.
• Комплексифікація комутує з тензорним добутком:

${\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)_{\mathbb {C} }\cong V_{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W_{\mathbb {C} }.}$ 

• Комплексифікація комутує з зовнішнім добутком:

${\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)_{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V_{\mathbb {C} }).}$ 

Комплексифікацією ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -лінійного відображення ${\displaystyle f\colon V\rightarrow W}$  називається ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -лінійне відображення ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow W_{\mathbb {C} }}$  що за означенням рівне

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(x+yi)=f(x)+f(y)i.}$ 

В тензорному записі комплексифікації просторів означення можна записати як

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$ 

Для комплексифікації ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow W_{\mathbb {C} }}$  справедливими є рівності:

• ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }({\overline {z}})={\overline {f_{\mathbb {C} }(z)}}}$  для всіх ${\displaystyle z\in V_{\mathbb {C} }}$ 
• ${\displaystyle (\operatorname {Id} _{V})_{\mathbb {C} }=\operatorname {Id} _{(V_{\mathbb {C} })}}$ 
• ${\displaystyle (f\circ g)_{\mathbb {C} }=f_{\mathbb {C} }\circ g_{\mathbb {C} }}$ 
• Матриця лінійного відображення ${\displaystyle f}$  в базисі ${\displaystyle (x_{j})}$  є також матрицею відображення ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }}$  у базисі ${\displaystyle (x_{j}+0i)}$ .

Відповідно якщо ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow V_{\mathbb {C} }}$  є ендоморфізмом то:

• ${\displaystyle f}$  і ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }}$  мають однаковий характеристичний поліном.
• ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }}$  має ті ж власні значення, слід, визначник, що і f.

Комплексифікацією білінійної форми ${\displaystyle \Phi \colon V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$  називається півторалінійна форма ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\times V_{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbb {C} }$ , яка визначена як

${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }(x+yi,x'+y'i)=\Phi (x,x')+\Phi (y,y')+i(\Phi (y,x')-\Phi (x,y')).}$ 

Обмеження форми ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }}$  на підмножину ${\displaystyle V\times V}$  рівне ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} |V\times V}=\Phi }$ .

• Якщо форма ${\displaystyle \Phi }$  є дійсним скалярним добутком то ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }}$  є комплексним скалярним добутком.

• Якщо ${\displaystyle V}$  є евклідовим простором із скалярним добутком ${\displaystyle \Phi }$  і ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$  унітарним простором із добутком ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }}$  то ${\displaystyle (f^{*})_{\mathbb {C} }=(f_{\mathbb {C} })^{*}}$ , де * позначає транспонування матриці у дійсному випадку і ермітове спряження у комплексному. Матриця перетворення ${\displaystyle f\colon V\rightarrow V}$  і її комплексифікація ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow V_{\mathbb {C} }}$  одночасно задовольняють чи не задовольняють такі умови:
  • нормальність${\displaystyle (ff^{*}=f^{*}f)}$ 
  • самоспряженість ${\displaystyle (f=f^{*})}$ 
  • косоермітовість${\displaystyle (f=-f^{*})}$ 
  • унітарність ${\displaystyle (ff^{*}=\operatorname {Id} )}$ 

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  — алгебра Лі над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Комплексифікацією ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$  називається алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ , що аналогічно до випадку векторних просторів рівна

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ .

Елементи алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$  можна ідентифікувати як пари ${\displaystyle (u,v)}$  де ${\displaystyle u,v\in {\mathfrak {g}}}$ . В такому записі операції на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$  визначені як

${\displaystyle {\begin{aligned}&(u_{1},v_{1})+(u_{2},v_{2}):=(u_{1}+u_{2},v_{1}+v_{2})\\&(\alpha +i\beta )(u_{1},v_{1}):=(\alpha u_{1}-\beta v_{1},\alpha v_{1}+\beta u_{1})\quad \\&\left[(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2})\right]:=(\left[u_{1},u_{2}\right]-\left[v_{1},v_{2}\right],\left[v_{1},u_{2}\right]+\left[u_{1},v_{2}\right]),\end{aligned}}}$ 

де ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$  і ${\displaystyle u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in {\mathfrak {g}}}$ .

• Комплексифікацією алгебри Лі ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} ):\mathrm {Tr} (A)=0\right\}}$  є ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Tr} (A)=0\right\}}$ .

В термінології теорії категорій комплексифікація є функтором з категорії векторних просторів над полем дійсних чисел в категорію векторних просторів над поле комплексних чисел. Морфізмами в цих категоріях є ${\displaystyle \mathbb {K} }$ -лінійні відображення, де ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$  або ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ . Правим спряженим функтором до нього є функтор, з категорії комплексних векторних просторів у категорію дійсних векторних просторів, що кожному комплексному простору присвоює той же простір, що розглядається над полем дійсних чисел «забуваючи» його комплексну структуру.

• Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Birkhäuser Verlag, 2004, ISBN 3-7643-7144-7.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.