Вписане коло

• Інцентр є першим центром, чудовою точкою трикутника х(1), у Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга.
• Інцентр лежить на однаковій відстані від усіх сторін трикутника.
• Інцентр ділить бісектрису кута ${\displaystyle A}$  у відношенні ${\displaystyle {\frac {b+c}{a}}}$ , де ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$  — сторони трикутника.
• Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці ${\displaystyle W}$ , то справедлива рівність: ${\displaystyle WB=WC=WI=WO}$ , де ${\displaystyle O}$  — центр зовнішнього вписаного кола, що дотикається до сторони ${\displaystyle BC}$ .
• Формула Ейлера. Квадрат відстані між інцентром ${\displaystyle I}$  і центром описаного кола ${\displaystyle O}$  дорівнює ${\displaystyle OI^{2}=R^{2}-2Rr}$ , де ${\displaystyle R}$  і ${\displaystyle r}$  — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.

• У кожен трикутник можна вписати коло, притому тільки одне.

В багатокутник можна вписати коло лише у випадку, коли всі бісектриси його внутрішніх кутів перетинаються в одній точці.

• Центр I вписаного кола називається інцентром, він рівновіддалений від усіх сторін і є точкою перетину бісектрис внутрішніх кутів багатокутника.
• Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}$ 

де S — площа трикутника, а p — півпериметр.

• Якщо AB — основа рівнобедреного ${\displaystyle \triangle ABC}$ , то коло, дотичне до сторін кута ${\displaystyle \angle ACB}$  в точках A і B, проходить через інцентр трикутника ABC.
• Якщо пряма, що проходить через точку I паралельно стороні AB, перетинає сторони BC і CA в точках A₁ і B₁, то ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}}$ .
• Точки дотику вписаного в трикутник T кола з'єднані відрізками утворюють трикутник T₁.
  • Бісектриси T є серединними перпендикулярами T₁.
  • Нехай T₂ — ортоцентричний трикутник T₁. Тоді його сторони паралельні сторонам вихідного трикутника T.
  • Нехай T₃ — серединний трикутник T₁. Тоді бісектриси T є висотами T₃.
  • Нехай T₄ — ортотрикутник T₃, тоді бісектриси T є бісектрисами T₄.
• Радіус вписаного в прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c кола дорівнює ${\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}}$ .
• Відстань від вершини С трикутника до точки, в якій вписане коло дотикається сторони, дорівнює ${\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}$ .
• Відстань від вершини C до центра вписаного кола дорівнює ${\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}}$ , де r — радіус вписаного кола, а γ — кут вершини C.
• Відстань від вершини C до центра вписаного кола може також бути знайдено за формулами ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}}$  і ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}$ 
• Лема Верр'єра^[1]: нехай коло ${\displaystyle V}$  дотичне до сторін ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle AC}$  і дуги ${\displaystyle BC}$  описаного кола трикутника ${\displaystyle ABC}$ . Тоді точки дотику кола ${\displaystyle V}$  зі сторонами і центр вписаного кола трикутника ${\displaystyle ABC}$  лежать на одній прямій.

• Трикутник
• Коло
• Описане коло
• Зовнівписане коло
• Описаний багатокутник
• Теорема про рівні вписані кола