Стала Каталана

Стала Каталана є частковим випадком бета-функції Діріхле^[ru]:

${\displaystyle G=\beta (2)\;.}$ 

Вона також відповідає частковому значенню функції Клаузена, пов'язаної з уявною частиною дилогарифму

${\displaystyle G=\mathrm {Cl} _{2}(\pi /2)\;=\mathrm {Im} \left(\mathrm {Li} _{2}(e^{\mathrm {i} \pi /2})\right)=\mathrm {Im} \left(\mathrm {Li} _{2}({\mathrm {i} })\right)\;.}$ 

Крім цього, вона пов'язана зі значеннями тригама-функції) дробових аргументів

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,}$ 

${\displaystyle \psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,}$ 

так що

${\displaystyle G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right]\;.}$ 

Симон Плуфф відшукав нескінченну множину тотожностей між тригама-функцією ${\displaystyle \psi _{1}}$ , ${\displaystyle \pi ^{2}}$  і сталою Каталана G.

Сталу Каталана також можна виразити через часткові значення G-функції Барнса^[ru] і гамма-функції:

${\displaystyle G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8}})G({\tfrac {7}{8}})}{G({\tfrac {1}{8}})G({\tfrac {5}{8}})}}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{8}})}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\,(2-{\sqrt {2}})}}\right).}$ 

Нижче наведено деякі інтегральні подання сталої Каталана G через інтеграли від елементарних функцій:

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\;,}$ 

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\;,}$ 

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\;,}$ 

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx\;,}$ 

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx\;.}$ 

Вона також може бути подана через інтеграл від повного еліптичного інтеграла першого роду K(x),

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx\;.}$ 

Наведені формули містять швидко збіжні ряди, і їх зручно використовувати для чисельних розрахунків:

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}$ 

і

Теоретичне обґрунтування використання рядів такого типу дали Срініваса Рамануджан для першої формули^[3] і Девід Бродгерст (David J. Broadhurst) для другої формули^[4]. Алгоритми швидкого обчислення сталої Каталана побудувала К. А. Карацуба^[5][6].

Ланцюговий дріб сталої Каталана (послідовність A014538 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) має такий вигляд:

${\displaystyle G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=}$ 

${\displaystyle =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots }}}}}}}}\;}$ 

Відомі такі узагальнені ланцюгові дроби для сталої Каталана:

${\displaystyle 2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2}}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 

${\displaystyle 2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ ^[7]

Число відомих значущих цифр сталої Каталана G значно зросло за останні десятиліття, завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів^[8].

• Дзета-функція Рімана
• Бета-функція Діріхле

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant
• Victor Adamchik. A certain series associated with Catalan's constant : [англ.] // Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) : journal. — 2002. — Vol. 21, № 3. — С. 1—10.
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi², (1999)
• Weisstein, Eric W. Catalan's Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996)
• David M. Bradley. A class of series acceleration formulae for Catalan's constant : [англ.] // The Ramanujan Journal^[en] : journal. — 1999. — Vol. 3, № 2. — С. 159—173. — DOI:10.1023/A:1006945407723.
• David M. Bradley (2007). A class of series acceleration formulae for Catalan's constant. arXiv:0706.0356.