Кільце множин

Непорожня система множин ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ називається кільцем множин, якщо вона є замкнута щодо операцій об'єднання та перетину множин.

Тобто ${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {R}}}$ виконується:

1. ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}}$

Дана алгебраїчна структура не є алгебраїчним кільцем, а є дистрибутивною ґраткою.

Вищенаведене визначення задовільняють системи із однієї множини — сінглетони. Щоб уникнути цього, в теорії міри, кільцем множин називають непорожню систему множин, що є замкнутою відносно двох операцій:

• операцій об'єднання та різниці множин:

1. ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$

• або операцій перетину та симетричної різниці множин (при даному визначенні кільце множин є алгебраїчним кільцем):

1. ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A\triangle B\in {\mathcal {R}}}$

Обидва визначення є строгішими ніж початкове, а також еквівалентними оскільки виражаються:

• перше через друге:
  • ${\displaystyle A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B)}$
  • ${\displaystyle A\backslash B=A\triangle (A\cap B)}$
• друге через перше:
  • ${\displaystyle \ A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$
  • ${\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$