Cebirsel topoloji

Topolojik uzaylara cebirsel değişmezler inşasında amaç şudur: her bir ${\displaystyle X}$  uzayı için ${\displaystyle G(X)}$  olarak gösterilecek bir cebirsel nesne kurulacak. Ayrıca ${\displaystyle X}$  uzayından ${\displaystyle Y}$  uzayına sürekli bir ${\displaystyle f}$  gönderimi, uzaylara karşılık gelen bu yeni cebirsel nesneler arasında cebirsel yapıları gözeten ve ${\displaystyle f_{*}}$  olarak gösterilecek gönderimler (morfizmalar) tarif edecek. Yani, topolojik kategoriden cebirsel kategorilere izleç(fonktör) inşa edilecek. Örneğin ${\displaystyle G(X)}$  bir grup/halka/cisim/modül olarak inşa edilmişse, ${\displaystyle f_{*}}$  gönderimi grup/halka/cisim/modül homomorfizması olacak. Üstelik, inşa gereği, bu cebirsel nesneler ve gönderimler şu özellikleri sağlayacak:

(1) ${\displaystyle f:X}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle Y}$  ve ${\displaystyle g:X}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle Z}$  için ${\displaystyle (g\circ f)_{*}=g_{*}\circ f_{*}:G(X)\rightarrow G(Z)}$  olacak.
(1') Ya da ${\displaystyle G}$ 'nin cinsine göre ${\displaystyle (g\circ f)_{*}=f_{*}\circ g_{*}:G(Z)\rightarrow G(X)}$  olacak.

(2) ${\displaystyle br_{X}:X}$ ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle X}$  birim gönderimine karşılık gelen ${\displaystyle br_{X*}:G(X)}$ ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle G(X)}$ , birim gönderim olacak.

Topolojik uzaylara karşılık gelen ve bu koşulları sağlayan bir ${\displaystyle G}$  cebirsel nesnesi icat edilmiş olsun. Eğer ${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle X}$ 'ten ${\displaystyle Y}$ 'ye bir topolojik eşyapıysa, ${\displaystyle f}$ 'nin tersi vardır (${\displaystyle g}$  diyelim) ve ${\displaystyle g}$  de bir eşyapıdır. Dolayısıyla topolojik eşyapının tanımı gereği ${\displaystyle f\circ g=br_{Y}}$  ve ${\displaystyle g\circ f=br_{X}}$  olur. Yukarıdaki (1) ve (2) koşullarından,
${\displaystyle f_{*}\circ g_{*}=br_{Y*}}$  ve ${\displaystyle g_{*}\circ f_{*}=br_{X*}}$ 
elde edilir. Birinci eşitlikten ${\displaystyle f_{*}}$  örten ikinciden ${\displaystyle f_{*}}$  birebir olmak zorunda kalır. Yani ${\displaystyle f_{*}}$  bir cebirsel eşyapı olur.

Şunu göstermiş olduk: (1) ve (2) sağlandığı sürece eşyapısal topolojik uzayların cebirsel nesneleri (grup, halka vs.) de birbirlerine eşyapısal olacak.

Burada birkaç cebirsel topolojik değişmez inşası özetlenecek.

Topolojik uzaylara karşılık gelen en basit cebirsel değişmezdir. Bir ${\displaystyle X}$  uzayı ve içinde bir ${\displaystyle x_{0}}$  noktasına karşılık, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  olarak gösterilen bir gruptur.

Öncelikle, ${\displaystyle X}$  uzayında sürekli bir eğri, [0,1] kapalı aralığından ${\displaystyle X}$ 'e giden sürekli bir gönderimdir. ${\displaystyle a}$  ve ${\displaystyle b}$  iki eğri olsun. ${\displaystyle a}$  ile ${\displaystyle b}$ 'nin ucuca eklenmesiyle oluşan eğriyi ${\displaystyle a\cdot b}$  olarak gösterelim. ${\displaystyle x_{0}}$  noktasından başlayan ve aynı noktada biten tüm eğrilerin kümesiniyse ${\displaystyle E}$  ile gösterelim. Eğer herhangi iki eğriyi anlatan gönderimler birbirlerine homotopikse bu iki eğriye denk eğriler diyeceğiz. Gösterilebilir ki bu ilişki ${\displaystyle E}$  üzerinde gerçekten bir denklik bağıntısıdır. Böylece oluşturulan denklik sınıflarının kümesi üzerinde ucuca ekleme işlemi hala iyi tanımlıdır; yani eğer ${\displaystyle a}$  eğrisi ${\displaystyle c}$ 'ye ${\displaystyle b}$  eğrisi de ${\displaystyle d}$ 'ye homotopikse, ${\displaystyle a\cdot b}$  ile ${\displaystyle c\cdot d}$  eğrileri de birbirine homotopiktir. Bu denklik sınıflarını eleman olarak ve ucuca eklemeyi de işlem olarak kabul eden cebirsel nesne, gösterilebilir ki bir gruptur. ${\displaystyle X}$  ve ${\displaystyle x_{0}}$  verildiğinde böylece inşa edilen gruba ${\displaystyle X}$ 'in ${\displaystyle x_{0}}$ 'daki temel grubu denir ve ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  olarak gösterilir.

Örneğin gerçel sayı doğrusunun (${\displaystyle R}$ ) herhangi bir noktasındaki temel grubu tırışka (aşikar) gruptur; yani tek elemanlı gruptur. Oysa çemberin (${\displaystyle S^{1}}$ ) herhangi bir noktasındaki temel grubu ${\displaystyle (Z,+)}$  grubuna izomorfiktir. Dolayısıyla, ${\displaystyle R}$  ile ${\displaystyle S^{1}}$  birbirlerine topolojik eşyapısal olamazlar. Bunu daha önceden de biliyorduk; çünkü ${\displaystyle R}$  kompakt değildir ama ${\displaystyle S^{1}}$  kompakttır.

Yukarıdaki örneklerin aksine, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  genelde değişmeli bir grup değildir. Daha genel olarak, verilen her grup icin temel grubu o grup olan bir uzay inşa etmek mümkündür.

Homoloji grupları ${\displaystyle H_{k}(X)}$  ile gösterilen gruplardır. Temel grubun aksine homoloji gruplarının inşaları zor, hesaplanabilirlikleri kolaydır. Her ${\displaystyle X}$  uzayına, ${\displaystyle C(X)}$  ile gösterilen bir zincir kompleksi denk gelir. Zincir kompleksi, tanım gereği, bir değişmeli grup dizisinden ibarettir. ${\displaystyle C(X)}$  in elemanları ${\displaystyle C_{j}(X)}$  ile gösterilir. Bu zincir kompleksinin ardıl koordinatları, ${\displaystyle \scriptstyle \partial }$  ile gösterilen sınır morfizmazları ile bağlanmıştır. Başka bir ifadeyle,

${\displaystyle \dotsb {\overset {\scriptstyle \partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\scriptstyle \partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\scriptstyle \partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\scriptstyle \partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\scriptstyle \partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\scriptstyle \partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$ 

ifadesi ${\displaystyle C(X)}$  i göstermektedir. Bu ${\displaystyle \scriptstyle \partial }$  gönderimlerinin temel özelliği ${\displaystyle \scriptstyle \partial \scriptstyle \partial =0}$  olmasıdır. Yani, sınır morfiması art arda iki kere uygulandığında 0 morfizmasını verir. Bu özelliğin bir sonucu olarak, bir morfizmanın imaj kümesi bir sonraki mozfizmanın 0 kümesinin, yani çekirdeğinin, içindedir. İmaj gruplarını ${\displaystyle B_{k}(X)}$  ve çekirdekleri ${\displaystyle Z_{k}(X)}$  ile gösterirsek, ${\displaystyle H_{k}(X)}$  grubu ${\displaystyle Z_{k}(X)}$  in ${\displaystyle B_{k}(X)}$  e bölümü ile bulunur.

Yukarıda tanımlanan ${\displaystyle H_{k}(X)}$  grupları, ${\displaystyle C(X)}$ ˙gruplarının fonksiyonları olduklarından, ${\displaystyle C(X)}$  değiştirildiğinde farklı ${\displaystyle H_{k}(X)}$  grupları elde edilir. ${\displaystyle C(X)}$  in inşasına göre, ${\displaystyle H_{k}(X)}$  lere değişik isimler verilir. ${\displaystyle C(X)}$  grubu, ${\displaystyle X}$  uzayının tekil fonksiyonları kullanılarak tanımlanmış ise, elde edilen homoloji teorisine tekil homoloji teori denir. Benzer şekilde basit homoloji, demet homolojisı gibi farklı homoloji teoreleri elde etmek mümkündür. Bu teorilerin birçoğu ${\displaystyle CW}$  kategorisinde aynı sonucu verir. Bazı özel homoloji teorileri, mesela Borel-Moore homoloji teorisi, lokal tıkız uzaylar için dizayn edilmiştir.

Genel olarak, topolojik kategori üzerindeki homoloji teorisi, o topolojik kategori ile değişmeli bir kategori arasında bir izleç tir. ${\displaystyle T}$  ile objeleri ${\displaystyle (X,A)}$  olan ve okları sürekli gönderimler olan topolojik kategoriyi gösterelim. ${\displaystyle H}$  izleci her ${\displaystyle (X,A)}$  ikilisine bir basamaklı değişmeli grup ${\displaystyle (H_{k}(X,A))}$  ve her sürekli gönderim ${\displaystyle f:(X,A)}$ ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle (Y,B)}$  ye de bir morfizma ${\displaystyle f_{*}:H_{k}(X,A)}$ ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle H_{k}(Y,B)}$  atar. Ayrıca, ${\displaystyle H_{k}(X,A)}$  ile ${\displaystyle H_{k}(A)}$  arasında ${\displaystyle \scriptstyle \partial _{*}:H_{k}(X,A)}$ ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle H_{k-1}(A)}$  doğal geçiş izleçleri vardır. ${\displaystyle H}$  nin bir homoloji teorisi olması için, aşağıda listelenen beş koşulun sağlanması gerekir. Bu koşul listesine Eilenberg-Steenrod-Milnor koşulları denir.

(1) Homotopy Koşulu: ${\displaystyle f,g:(X,A)}$ ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle (Y,B)}$  haritaları homotopik iseler, bunlara denk gelen morfizmalar aynı olmalıdırlar.

(2) Tamlık Koşulu: ${\displaystyle \iota \colon A}$ ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle X}$  ve ${\displaystyle j\colon X}$ ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle (X,A)}$ , doğal alt uzaylık haritaları ise,

${\displaystyle \dotsb {\overset {\scriptstyle \partial _{*}}{\longrightarrow \,}}H_{k}(A){\overset {\iota }{\longrightarrow \,}}H_{k}(X){\overset {j_{*}}{\longrightarrow \,}}H_{k}(X,A){\overset {\scriptstyle \partial }{\longrightarrow \,}}H_{k-1}(A){\overset {\iota }{\longrightarrow \,}}\dotsb }$ 

tamdır.

(3) Kesme Koşulu: ${\displaystyle U\subset X}$  açık kümesinin kapanışı ${\displaystyle A}$  nın içinde ise, dahil olma haritası ${\displaystyle k\colon (X-U,A-U)\rightarrow (X,A)}$  ya denk gelen ${\displaystyle k_{*}\colon H_{*}(X-U,A-U)\rightarrow H_{*}(X,A)}$  morfizma birerbir ve örten olmalıdır.

(4) Boyut Koşulu: Sadece bir noktası olan uzayın bütün homoloji grupları 0 olmalıdır.

(5) Toplamsal Koşul: Uzayların topolojik toplamlarının homolojisi, homolojilerinin dik toplamı olmalıdır.

Bazı homoloji teorileri yukarıda verilen bütün koşulları sağlamayabilir. Tekil homoloji bu koşulların hepsini sağlar ve homoloji gruplarının hesaplanabilirliği Kesme Koşulunun bir sonucudur. Tekil homolojinin, kesme koşulunu sağladığı gösterilirken altbölüm tekniği kullanılır.

Yukarıda anlatılan temel grup kısmında ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$  tanımlandı. Burada, ${\displaystyle x\in X}$  noktası sabitlenmişti ve başlangıç bitiş noktaları ${\displaystyle x}$  olan eğrilerin homotopi sınıfları kullanılmıştı. Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan eğrilere döngü denir. Bu eğriler ${\displaystyle \gamma \colon \scriptstyle \mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}$  tipinde sürekli fonksiyonlardır. Homotopi kavramı, ${\displaystyle X}$  in ${\displaystyle x}$  teki döngülerinin sürekli değişimini izah etmek icin dizayn edilmiştir. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} ^{1}}$  yerine çok boyutlu ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} ^{k}}$  kürelerini kullanırsak, "döngü" ler "çok boyutlu döngüler" e dönüşürler. Örnek olarak, çember (yani ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} ^{1}}$ ) ve küre (yani ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} ^{2}}$ ) yi düşününüz. Çemberin bir noktasından başlayan döngüler çemberin kendisidir veya tam katlarıdır. Kürenin bir noktasından başlayan döngüler çember şeklindedirler fakat küre nin yüzeyi üzeyinde ki her noktadan bir küre daha, yani çok boyutlu döngü, başlamaktadır. Benzer şekilde 3-boyutlu küre üzerindeki her nokta için 1-boyutlu döngülerin, 2-boyutlu kürelerin ve 3-boyutlu kürelerin homotopik değişimleri incelenebilir.

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$  grubu 1-boyutlu döngülerin sürekli değişim(homotopi) sınıflarının grubu iken ${\displaystyle \pi _{k}(X,x)}$  grubu ${\displaystyle k-}$ boyutlu kürelerin sürekli değişim grubudur. k sayısı biren büyük ise ${\displaystyle \pi _{k}(X,x)}$  değişmelidir. Örnek olarak, ${\displaystyle \pi _{3}(\scriptstyle \mathbb {S} ^{2})=\scriptstyle \mathbb {Z} }$ , ${\displaystyle \pi _{k+1}(\scriptstyle \mathbb {S} ^{k})=\scriptstyle \mathbb {Z} _{2}}$ , ${\displaystyle \pi _{k+2}(\scriptstyle \mathbb {S} ^{k})=\scriptstyle \mathbb {Z} _{2}}$  ve ${\displaystyle k\geq 5}$  için ${\displaystyle \pi _{k+3}(\scriptstyle \mathbb {S} ^{k})=\scriptstyle \mathbb {Z} _{24}}$  verilebilir.

Bu cebirsel gruplar arasındaki en temel ilişki, lifli fonksiyonlara (fibrasyon) tayin edilen tam-uzun homotopi zinciridir. ${\displaystyle p\colon X\rightarrow B}$  lifi verilsin. Doku kümesini ${\displaystyle F}$  ile gösterelim. Bu durumda, homotopi grupları arasında şöyle bir münasepet vardır:

${\displaystyle \dotsb {\overset {}{\longrightarrow \,}}\pi _{k}(F){\overset {\iota _{\sharp }}{\longrightarrow \,}}\pi _{k}(X){\overset {p_{\sharp }}{\longrightarrow \,}}\pi _{k}(B){\overset {\scriptstyle \partial _{\sharp }}{\longrightarrow \,}}\pi _{k-1}(F){\overset {}{\longrightarrow \,}}\dotsb \dotsb {\overset {}{\longrightarrow \,}}\pi _{1}(X){\overset {}{\longrightarrow \,}}\pi _{1}(B){\overset {}{\longrightarrow \,}}\pi _{0}(F){\overset {}{\longrightarrow \,}}\pi _{0}(X){\overset {}{\longrightarrow \,}}\pi _{0}(B)}$ 

Bu tam-uzun zincirde kullanılan ${\displaystyle p_{\sharp }}$  morfizması ${\displaystyle p\colon X\rightarrow B}$  tarafından belirlenir. ${\displaystyle \iota _{\sharp }}$  morfizması ${\displaystyle F}$  doku kümesini ${\displaystyle X}$  uzayına gömen ${\displaystyle \iota \colon F\subset X}$  tarafından belirlenir. ${\displaystyle \scriptstyle \partial _{\sharp }}$  ise bağlantı morfizmasıdır. ${\displaystyle k\geq 1}$  için ${\displaystyle \pi _{k}(X)}$  bir gruptur fakat ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$  bir grup değildir. Bundan dolayı, yukarıda verilen zincirin 0-ıncı basamağındaki "tam" lığı sadece tanım ve değer kümelerinin örtüşmesine denk gelir. Yandaki şekilde bir fibrasyon örneği izah edilmiştir. Resimde ${\displaystyle X}$  uzayı ${\displaystyle E}$  olarak alınmıştır. ${\displaystyle F}$  uzayı, dörtgensel uzayın, yani ${\displaystyle E}$  nin, içine çizilmiş siyah bölgedir.

Bu kısımda ${\displaystyle (X,x_{0})}$  ikilisinin verildiğini kabul ediyoruz. ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  ı hesaplamak için kullanılan en temel teorem, Seifert- Van Kampen teoremidir. Bu teoremin kullanılabilmesi için, ${\displaystyle X}$  uzayının kesişimleri boş olmayan iki açık kümenin birleşimi şeklinde yazılabiliyor olması gerekmektedir. Ayrıca, bu altuzayların ve kesişimlerinin temel gruplarının bilinmesi gereklidir.

Teorem : (Seifert-Van Kampen) ${\displaystyle X=U\cup V}$ , ${\displaystyle x_{0}\in U\cap V}$  ve ${\displaystyle U,V}$  kümeleri ${\displaystyle X}$  içerisinde açık olsunlar. Ayrıca, ${\displaystyle U,V}$  ve ${\displaystyle U\cup V}$  kümeleri yol bağlantılı olsunlar. Bu durumda, ${\displaystyle \pi _{1}(U,x_{0})\star _{\pi _{1}(U\cap V)}\pi _{1}(V,x_{0})}$  ilaveli çarpım grubuyla ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  grubu izomorfturlar.

Bu teoremin homoloji versiyonu Mayer-Vietoris teoremidir.

Teorem : (Mayer-Vietoris) ${\displaystyle X}$  uzayı ${\displaystyle U,V}$  gibi iki altuzayın içlerinin birleşimi olsun. ${\displaystyle \iota ^{U}\colon U\cap V\rightarrow U}$ , ${\displaystyle \iota ^{V}\colon U\cap V\rightarrow V}$  ve ${\displaystyle j^{V}\rightarrow U\cup V}$  gömmeleri ${\displaystyle 0{\overset {0}{\longrightarrow \,}}C_{k}(U\cap V){\overset {\iota ^{U}+\iota ^{V}}{\longrightarrow \,}}C_{k}(U)+C_{k}(V){\overset {j^{U}-j^{V}}{\longrightarrow \,}}C_{k}(U\cup V){\overset {0}{\longrightarrow \,}}0}$  tam zincirini üretir. Bu tam zincir ise aşağıdaki tam-uzun homoloji zincirini üretir:

${\displaystyle \dotsb {\overset {}{\longrightarrow \,}}H_{k}(U\cap V){\overset {(\iota ^{U}+\iota ^{V})_{\ast }}{\longrightarrow \,}}H_{k}(U)+H_{k}(V){\overset {(j^{U}-j^{V})_{\ast }}{\longrightarrow \,}}H_{k}(U\cup V){\overset {}{\longrightarrow \,}}H_{k-1}(U\cap V){\overset {}{\longrightarrow \,}}\dotsb }$ 

${\displaystyle U,V}$  ve ${\displaystyle U\cap V}$  uzaylarının homoloji modülleri biliniyorsa, Mayer-Vietoris zincirinin tamlık özelliği kullanılarak ${\displaystyle X}$  uzayının homoloji modülleri elde edilebilir.

Homotopi ve homoloji grupları arasındaki münasepet Hurewicz teoremi olarak bilinmektedir:

Teorem : (Hurewicz Teoremi) ${\displaystyle x_{0}\in X}$  olsun. ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  ile ${\displaystyle H_{1}(X)}$  eşyapılıdırlar. Bu izomorfizm ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  ile ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})/[\pi _{1}(X,x_{0}),\pi _{1}(X,x_{0})]}$  doğal izomorfizma ile aynıdır.

Bu teoremin en aşikar örneği, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  değişmeli olduğunda ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=H_{1}(X)}$  olmasıdır.

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. 
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second Edition). Prentice Hall. s. 537.