Matris normal dağılım

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları içinde matris normal dağılımı tek değişebilirli normal dağılımının çok değişkenli olarak genelleştirilmesidir.^[1]

Matris normal dağılım gösteren çoklu rassal değişkenler matrisi, (rassal matris) X (n × p) için olasılık yoğunluk fonksiyonu matris terimleriyle şu şekli almaktadır:

${\displaystyle p(\mathbf {X} |\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }})=(2\pi )^{-np/2}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-n/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-p/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\right]\right).}$

Burada M matrisi n × p, Ω matris p × p ve Σ matrisi n × n.

İki kovaryans matrisini tanımlamak için çeşitli alternatifler bulunmaktadır. Bir alternatif şöyle ifade edilir:

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}=E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]\;,\;\;\;\;{\boldsymbol {\Omega }}=E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )]/c,}$

Burada c bir sabit olup Σ matrisine bağımlıdır ve uygun bir güç normalleştirme işleminin yapılmasını sağlamak için kullanılmaktadır.

Matris normal dağılımın şu şekilde çokdeğişirli normal dağılım ile bağlantısı bulunmaktadır: Eğer mutlaka

${\displaystyle \mathrm {vec} \;\mathbf {X} \sim N_{np}(\mathrm {vec} \;\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }}\otimes {\boldsymbol {\Sigma }}),}$

ifadesi geçerli ise

${\displaystyle \mathbf {X} \sim MN_{n\times p}(\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$

olur. Burada ${\displaystyle \otimes }$ Kronecker çarpımıdır ve ${\displaystyle \mathrm {vec} \;\mathbf {M} }$ de ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ifadesinin vektörleştirilmesini gösterir.