เลขคณิตมอดุลาร์

เราจะกล่าวว่าจำนวนเต็ม ${\displaystyle a}$  และ ${\displaystyle b}$  สมภาคกัน ภายใต้มอดุโล ${\displaystyle m}$  ได้เมื่อผลต่างของสองจำนวนนั้นสามารถหารลงตัวได้ด้วย ${\displaystyle m}$  หรืออาจจะกล่าวได้อีกอย่างคือ จำนวนเต็ม ${\displaystyle a}$  กับ ${\displaystyle b}$  เมื่อหารด้วย ${\displaystyle m}$  จะเหลือเศษเท่ากัน การสมภาคกันของ ${\displaystyle a}$  และ ${\displaystyle b}$  สามารถเขียนได้ในรูป

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ 

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 26\equiv 14{\pmod {12}}}$ 

ความสัมพันธ์ของการสมภาคกันเป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) และชั้นสมมูล (equivalence class) ของจำนวนเต็ม a สามารถเขียนได้ในรูป [a]_n ซึ่งความสัมพันธ์สมมูลตัวนี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกหลายอย่าง ยกตัวอย่างเช่น: ถ้า

${\displaystyle a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {m}}}$ 

และ

${\displaystyle a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {m}}}$ 

แล้ว

${\displaystyle a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {m}}}$ 

และ

${\displaystyle a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {m}}}$ 

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เป็นผู้นำเสนอเลขคณิตมอดุลาร์ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ในปีค.ศ. 1801 (พ.ศ. 2344)

ถ้า a ≡ b (mod n) แล้ว และ b ≡ c (mod n), ดังนั้น a ≡ c (mod n)

• สมบัติการสลับที่ :

• กรุปการคูณของจำนวนเต็มมอดุโล n
• ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน

• ในบทความ modular art^{[ลิงก์เสีย]} แสดงการประยุกต์ใช้เลขคณิตมอดุลาร์ในดนตรี