ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ ${\displaystyle {\mathsf {J}}}$ (อังกฤษ: four-current) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไป คือเวอร์ชันซึ่งเป็นลอเรนซ์โคแวเรียนต์ (Lorentz covariant) ของเวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density) ${\displaystyle \mathbf {j} }$

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิตินิยามเหมือนกันในทุกระบบ โดย

${\displaystyle {\mathsf {J}}:=\left(J^{\mu }\right)=\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$

โดยที่

${\displaystyle \left.c\right.}$ คืออัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light in vacuum)

${\displaystyle \left.\rho \right.}$ คือความหนาแน่นประจุ (charge density)

${\displaystyle \mathbf {j} }$ คือความหนาแน่นกระแสแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic current density)

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ คำกล่าวของกฎอนุรักษ์ประจุไฟฟ้า (electric charge conservation law) (เมื่อเขียนในรูปสมการจะเรียกว่าสมการความต่อเนื่อง (continuity equation)) คือว่า

"ไดเวอร์เจนซ์แบบโลเร็นตซ์อินวาเรียนท์ (Lorentz invariant divergence) ของ เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ ${\displaystyle {\mathsf {J}}}$ เป็นศูนย์"

${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\mathsf {J}}=\partial _{\mu }J^{\mu }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} =0}$

เมื่อ ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ เป็นตัวดำเนินการ (operator) ถูกเรียกว่าเกรเดียนท์สี่มิติ (four-gradient) และกำหนดโดย ${\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\boldsymbol {\nabla }}\right)}$ บางครั้งสมการความต่อเนื่องข้างบนถูกเขียนในรูป

${\displaystyle \left.J^{\mu }{}_{,\mu }=0\right.}$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สมการความต่อเนื่องดังกล่าวจะถูกเขียนในรูป

${\displaystyle \left.J^{\mu }{}_{;\mu }=0\right.}$

โดย semi-colon ${\displaystyle \left.;\right.}$ แทนอนุพันธ์โควาเรียนท์ (covariant derivative)