Паралелограм

• Ромбоид — четвороугао чије су наспрамне странице паралелне, суседне странице неједнаке и чији углови нису прави.^[1]
• Правоугаоник — паралелограм са четири угла једнаке величине.
• Ромб — паралелограм са четири страница једнаке дужине.
• Квадрат — паралелограм са четири страница једнаке дужине и углова једнаке величине (прави углови).

Паралелограм је једноставан (не-самосекући) четвороугао ако и само ако је једна од следећих изјава тачна:^[2][3]

• два пара наспрамних страница су једнаке по дужини;
• два пара наспрамних углова су једнаки по мери;
• дијагонале се узајамно полове;
• један пар наспрамних страница је паралелан и једнак по дужини;
• суседни углови су суплементни;
• свака дијагонала дели четвороугао на два подударна троугла;
• збир квадрата страница једнак је збиру квадрата дијагонала (Ово је паралелограмски закон.);
• има ротациону симетрију реда 2;
• збир удаљености од било које унутрашње тачке до страница је независна од локације тачке.^[4] (Ово је проширење Вивианијеве теореме.)
• Постоји тачка X у равни четвороугла са својством да свака права линија кроз X дели четвороугао на два подручја једнаке површине.

Стога, сви паралелограми имају сва горенаведена својства, и обрнуто; ако је само једна од ових изјава тачна у једноставном четвороуглу, онда је то паралелограм.

Све формуле површина за опште конвексне четвороуглове важе за паралелограме. Даље формуле су специфичне за паралелограме:

Паралелограм са основом b и висином h може се поделити на четвороугао и правоугаони троугао и преуредити у правоугаоник, као што је приказано на слици лево. То значи да је површина паралелограма иста као и површина правоугаоника са истом основом и висином:

${\displaystyle K=bh.}$ 

Формула за површину облика основе × висина се такође може извести помоћу слике са десне стране. Површина K паралелограма десно (плава област) је укупна површина правоугаоника умањена за површину два наранџаста троугла. Површина правоугаоника је

${\displaystyle K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}$ 

а површина појединачно наранџастог троугла је

${\displaystyle K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,}$ 

Дакле, површина паралелограма је

${\displaystyle K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.}$ 

Друга формула површине, за две странице B и C и угао θ, је

${\displaystyle K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,}$ 

Површина паралелограма са страницама B и C (B ≠ C) и углом ${\displaystyle \gamma }$  на пресеку дијагонала је дата са^[5]

${\displaystyle K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$ 

Када се паралелограм одреди из дужина B и C две суседне странице заједно са дужином D₁ било које дијагонале, тада се површина може наћи из Херонове формуле. Специфично то је

${\displaystyle K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}}$ 

где је ${\displaystyle S=(B+C+D_{1})/2}$  и водећи фактор 2 долази из чињенице да изабрана дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла.

Нека вектори ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}}$  и нека ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$  означавају матрицу са елементима a и b. Тада је површина паралелограма коју генеришу a и bједнака ${\displaystyle |\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,}$ .

Нека су вектори ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$  и нека је ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}}$ . Тада је површина паралелограма коју генерише a и b једнака ${\displaystyle {\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}$ .

Нека су тачке ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}}$ . Тада је површина паралелограма са врховима на a, b и c еквивалентна апсолутној вредности детерминанте матрице изграђене коришћењем a, b и c као редова са последњом колоном допуњеном јединицама на следећи начин:

${\displaystyle K=\left|\,\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.}$ 

Да би се доказало да дијагонале паралелограма деле једна на другу напола, могу се користити подударни троуглови:

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$  (наизменични унутрашњи углови су једнаки по мери)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$  (наизменични унутрашњи углови су једнаки по мери).

(пошто су то углови које тра��сверзала прави са паралелним правима AB и DC).

Такође, страница AB је по дужини једнака страни DC, пошто су супротне стране паралелограма једнаке по дужини.

Дакле, троуглови ABE и CDE су подударни (ASA постулат, два одговарајућа угла и укључена страница).

Стога,

${\displaystyle AE=CE}$ 

${\displaystyle BE=DE.}$ 

Пошто дијагонале AC и BD деле једна другу на сегменте једнаке дужине, дијагонале се преполовљавају. Осим тога, пошто се дијагонале AC и BD преполовљавају у тачки E, тачка E је средиште сваке дијагонале.

Паралелограми могу поплочати раван транслацијом. Ако су ивице једнаке или су углови прави, симетрија решетке је већа. Они представљају четири Бравеове решетке у 2 димензије.

• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Weisstein, Eric W. „Parallelogram”. MathWorld. 
• Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
• Area of Parallelogram at cut-the-knot
• Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
• Definition and properties of a parallelogram with animated applet
• Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet