Normala

Normala je najopćenitije pravac ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivulju, normala na površinu i sl.)

Ako imamo dvije normalne prave ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ i uglove koje one čine α₁; α₂; α₃ i α₄,. U simetriji s_b preslikavaugao α₁ na α₄, ugao α₂; na α₃. Iz ovog zaključujemo da je α₁ = α₄ i α₂ = α₃.

Definicija 1

Svaki od uglova koje čine normalne prave je pravi ugao.

Teorema 1

Dvije različite prave u jednoj ravni normalne na treću pravu u toj ravni su paralelne prave.

Definicija 2

Tačka X₀, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a. Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.

Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ dvije mimosmjerna prave. Odaberimo jednu tačku ${\displaystyle A}$ na pravoj ${\displaystyle p}$. Kroz tu tačku prolazi tačno jedan prava paralelna s pravcom ${\displaystyle q}$ (prema Petom Euklidovom aksiomu). Označimo tu pravu sa ${\displaystyle q_{1}}$. Kažemo da su pravci ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ su norrmalne ako su prave ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q_{1}}$ normalne.Pišemo ${\displaystyle p\perp q}$.

Kažemo da je prava ${\displaystyle p}$ normalna na ravan ${\displaystyle \alpha }$ ako je normalna na svaku pravu te ravni.

Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju

Definicija

Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku ${\displaystyle T}$ i datu ravan ${\displaystyle \pi }$ postoji jedinstvens prava kroz ${\displaystyle T}$ koja je normalna na ravan ${\displaystyle \pi }$

Definicija

Ortogonalna projekcija tačke ${\displaystyle T}$ na ravan ${\displaystyle \pi }$ je probodište ravni ${\displaystyle \pi }$ i prave ${\displaystyle q}$ koja prolazi kroz ${\displaystyle T}$ i normalna je na ${\displaystyle \pi }$.

Ako je ortogonalna projekcija ${\displaystyle p'}$ prave ${\displaystyle p}$ na ravan ${\displaystyle \pi }$ normalna na neku pravu ${\displaystyle q}$ te ravni, onda je i prava ${\displaystyle p}$ normalna na ${\displaystyle q}$.

Vrijedi i obratno

Ako je prava ${\displaystyle p}$ normalna na ${\displaystyle q}$, onda je ${\displaystyle p'}$ normalna na ${\displaystyle q}$.

Normalom na krivulju ${\displaystyle y=f(x)}$ u točki ${\displaystyle x_{0}}$ nazivamo pravac koji prolazi kroz točku ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ i okomit je na tangentu krivulje u toj točki. Budući da je interpretacija prve derivacije funkcije koeficijent smjera pravca - tangente, to je jednadžba normale

${\displaystyle y-f(x_{0})=-{\frac {1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0}),}$

uz pretpostavku da prva derivacija ne iščezaje u točki ${\displaystyle x_{0}}$, tj. ${\displaystyle (f'(x_{0})\neq 0).}$

Ukoliko je ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$, tada je jednadžba normale ${\displaystyle x=x_{0}}$, tj. normala je očito paralelna s ${\displaystyle y}$-osi.

Vektor normale je vektor koji leži na prethodno definiranom pravcu - normali. Pod pojmom normala, dakle, nekad razumijevamo prethodno definirani pravac, a nekad vektor koji leži na tom pravcu. Vektor normale po dogovoru najčešće uvijek gleda "van" krivulje.

Vektor normale na površinu u točki ${\displaystyle T}$ je vektor okomit na tangencijalnu ravninu površine u točki ${\displaystyle T}$. U slučaju ravne površine, očito je to vektor okomit na samu tu ravninu, i dan je vektorskim produktom bilo kojih dvaju vektora koja leže u ravnini. Ravnina, dakle, može imati normalu u dva smjera.

Normala na opću površinu, parametriziranu sustavom krivolinijskih koordinata ${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)}$, gdje su ${\displaystyle s}$ i ${\displaystyle t}$ realne varijable, dana je vektorskim umnoškom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}.}$

Normala na opću površinu, zadanu implicitno jednadžbom

${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$

u točki ${\displaystyle T=(x,y,z)}$ dana je gradijentom:

${\displaystyle \nabla f(x,y,z).}$

Ako određena površina u nekoj točki nema definiranu tangencijalnu ravninu, onda tu nema definiranu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definiranu normalu na spoju plašta i dna, stožac nema normale u vrhu; u dvije dimenzije, funkcija ${\displaystyle f(x)=|x|}$ nema definiranu normalu u ishodištu.

Već smo kod normale na krivulju mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer - vektor normale na pravac već ima dva moguća smjera. Za orjentiranu površinu, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, "gleda prema van".

• Tangenta i normala
• Java applet za traženje normale Arhivirano 2008-05-16 na Wayback Machine-u