Теория функций вещественной переменной

Теория функций вещественной переменной (ТФВП, или теория функций действительного переменного, ТФДП) — раздел математического анализа, изучающий вопросы представления и приближения функций, их локальные и глобальные свойства. При этом, в отличие от классического дифференциального и интегрального исчисления, ТФВП опирается на теорию множеств и теорию меры, широко использует их понятия и методы, что позволило значительно обобщить классические результаты, дать им строгое обоснование и получить новые результаты^[1].

Классический анализ XVII—XIX веков в основном ограничивался исследованием гладких или кусочно-гладких функций. Во второй половине XIX века выяснилось, что практический интерес представляют и более общие классы функций; выяснилось также, что казавшиеся интуитивно очевидными такие понятия, как непрерывность, длина кривой или площадь поверхности, требуют более строгого определения^[2]. Проблема была решена с появлением меры Лебега и теоретико-множественного подхода к понятию функции как бинарному отношению^[1]. Новый фундамент анализа позволил сохранить все накопленные ранее знания (хотя часть формулировок пришлось уточнить) и доказать ряд новых глубоких теорем, таких как лемма Гейне — Бореля, теорема Асколи — Арцела, теорема Вейерштрасса — Стоуна, лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости и многие другие.

ТФВП тесно связана с такими разделами математики, как геометрия, линейная алгебра, функциональный анализ, топология и др.^[3]

В состав ТФВП входят различные подразделы, среди которых как основные можно выделить три^[4][5]:

1. Дескриптивная теория функций. В ней изучаются общие свойства классов функций, полученных в результате предельных переходов. В этом подразделе, в частности, были открыты классы функций Бэра, тесно связанные с классификацией борелевских множеств.
2. Метрическая теория функций. Она изучает свойства функций на основе понятия лебеговой меры множества (введённой Анри Лебегом в 1902 году) и теории интеграла Лебега. Кроме функций, здесь изучаются свойства производных, интегралов, функциональных рядов, строится общая теорию суммирования рядов и последовательностей. Место гладких функций заняли гораздо более широкие классы измеримых, суммируемых и обобщённых функций.
3. Теория приближения функций (например, многочленами)^[6].

• Теория функций комплексной переменной
• Функциональный анализ

• Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
• Теория функций действительного переменного // Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах), глава XV. — М.: АН СССР, 1956. — Т. 3. — 336 с.
• Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1961. — 172 с.
• Функций действительного переменного теория // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.

• Погребной В. Д. Теория функций действительной переменной. Конспект лекций (PDF)  (неопр.). (недоступная ссылка)
• Теория функций : [арх. 24 октября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Функций теория  (неопр.). Энциклопедия Кругосвет. Дата обращения: 21 декабря 2020.