Константа Миллса

Константа Миллса A — действительное число, одна из констант в теории чисел. Константа Миллса определяется как минимальное действительное число ${\displaystyle A>1}$ такое, что для всех целых положительных ${\displaystyle n}$ числа

${\displaystyle P_{n}=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor ,}$

являются простыми, где ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ обозначает целую часть (округление вниз).

Неизвестно, является ли A рациональным числом^[1].

Константа названа в честь Уильяма Миллса, доказавшего её существование в 1947 году^{[2] [3]}. Точное значение этой константы неизвестно, однако, если предположить, что гипотеза Римана верна, то значение можно найти: A = 1,3063778838630806904686144926….^[4]

Гипотеза Римана подразумевает через её следствие — гипотезу Линделёфа,^{[неоднозначно]} что существуют простые числа между кубами двух последовательных натуральных чисел.

Простые числа Миллса — это простые числа, найденные по указанной выше формуле при условии верности гипотезы Римана:^{[5][неоднозначно]}

• ${\displaystyle n=1\;\;\;P_{n}=2}$
• ${\displaystyle n=2\;\;\;P_{n}=11}$
• ${\displaystyle n=3\;\;\;P_{n}=1\,361}$
• ${\displaystyle n=4\;\;\;P_{n}=2\,521\,008\,887}$
• ${\displaystyle n=5\;\;\;P_{n}=16\,022\,236\,204\,009\,818\,131\,831\,320\,183}$
• ${\displaystyle n=6\;\;\;P_{n}=4\,113\,101\,149\,215\,104\,800\,030\,529\,537\,915\,953\,170\,486\,139\,623\,539\,759\,933\,135\,949\,994\,882\,770\,404\,074\,832\,568\,499}$
• ${\displaystyle \ldots }$.

Есть и другой факт относительно этих чисел: если ${\displaystyle P_{i}}$ — i-е число в этой последовательности, то ${\displaystyle P_{i}}$ может быть найдено как наименьшее простое число, следующее за ${\displaystyle P_{i-1}^{3}}$. Он может быть использован для получения оценочных неравенств на константу Миллса.

В 2005 году было высчитано более семи тысяч знаков A в предположении верности гипотезы Римана.^[6]

• Weisstein, Eric W. Mills' Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Who remembers the Mills number?, E. Kowalski.
• Awesome Prime Number Constant, Numberphile.