Просмотр кода страницы Эллиптическое уравнение

[[Файл:Laplace's equation on an annulus.svg|thumb|[[Гармоническая функция]] на кольце — решение [[уравнение Лапласа|уравнения Лапласа]]]]
'''Эллиптические уравнения''' — класс [[дифференциальные уравнения в частных производных|дифференциальных уравнений в частных производных]], описывающих стационарные процессы.

== Определение ==
Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции <math> u : R^n \rightarrow R </math>:
: <math> \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}  \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>
При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть <math> a_{ij} = a_{ji} </math>. Тогда эквивалентное уравнение в виде [[квадратичная форма|квадратичной формы]]:
: <math>\left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>,
где <math>A = A^T</math>. <br />
Матрица <math>A</math> называется '''матрицей главных коэффициентов'''. <br />
Если все собственные значения матрицы <math>A</math> имеют одинаковый знак, то уравнение относят к '''эллиптическому типу'''<ref name="Sum">{{книга |автор={{nobr|Тихонов А.Н}}, {{nobr|Самарский А.А.}} |заглавие=Уравнения математической физики|место=Москва |издательство=Наука |год=1977| издание       = 5-е изд}}</ref>. <br />
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:
: <math> Lu = f(x_1,\ldots , x_{n}) </math>,
где <math>L</math> — [[эллиптический оператор]].

Эллиптические уравнения противопоставляются [[параболические уравнения|параболическим]] и [[гиперболические уравнения|гиперболическим]], хотя данная классификация не является исчерпывающей.

== Решение эллиптических уравнений ==

Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных [[граничные условия|граничных условиях]]
применяют [[метод разделения переменных|метод разделения переменных Фурье]], [[Функция Грина|метод функции Грина]] и [[Теория потенциала|метод потенциалов]].

== Примеры эллиптических уравнений ==
В [[математическая физика|математической физике]] эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к [[пространство|пространственным]] координатам: от [[время (физика)|времени]] либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.
* [[Уравнение Лапласа]] и [[уравнение Пуассона]] описывают различные стационарные физические поля.
* Стационарный аналог [[уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]], когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
* Уравнения, получаемые из [[уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]]. В этом случае эллиптические уравнения получаются из предположения, что [[электромагнитное поле]] либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях, является [[уравнение Гельмгольца]].
* Уравнение Стокса — стационарный аналог [[уравнения Навье-Стокса|системы уравнений Навье-Стокса]] для устоявшегося течения,
а также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.

== См. также ==
* [[Задача Дирихле]]
* [[Условия Коши — Римана]]
* [[Параболическое уравнение]]
* [[Гиперболическое уравнение]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Математическая физика}}
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]