Просмотр кода страницы Волновая функция

{{Квантовая механика}}
[[Файл:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|мини| Сравнение [[Гармонические колебания|концепций классического]] и [[Квантовый гармонический осциллятор|квантового гармонического осциллятора]] для одиночной бесспиновой частицы. Эти два процесса сильно различаются. Классический процесс (A — B) представлен как движение частицы по траектории. В квантовом процессе (C — H) такой траектории нет. Движение квантового осциллятора похоже на волновое; здесь вертикальная ось показывает действительную часть (синий цвет) и мнимую часть (красный цвет) волновой функции. Панели (C — F) показывают четыре различных решения [[Уравнение Шрёдингера|уравнения Шрëдингера]] для стоячей волны. На панелях (G — H) показаны две разные волновые функции, которые являются решениями уравнения Шрёдингера, но не являются стоячими волнами]]
'''Волнова́я фу́нкция''', или '''пси-фу́нкция''' <math>\psi</math> — [[комплекснозначная функция]], используемая в [[квантовая механика|квантовой механике]] для математического описания чистого [[Квантовое состояние|квантового состояния]] изолированной квантовомеханической системы. Наиболее распространённые символы для волновой функции — греческие буквы {{Math|''ψ''}} и {{Math|Ψ}} (строчные и заглавные [[Пси (буква греческого алфавита)|пси]] соответственно). Является коэффициентом разложения [[Квантовое состояние|вектора состояния]] по базису (координатному, импульсному и пр.). Например, при разложении по координатному базису:

<math>\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\right\rangle dx,</math>

где <math>\left|x\right\rangle = \left|x_1, x_2, \ldots , x_n\right\rangle </math> — координатный базисный вектор, а
<math>\Psi(x,t)= \langle x\left|\psi(t)\right\rangle</math> — волновая функция в координатном представлении.

Размерность волновой функции определяется её представлением; в самом популярном координатном представлении размерность м<sup>-3/2</sup>, в импульсном — кг<sup> -3/2</sup>м<sup>-3/2</sup>c<sup>3/2</sup>. 

Согласно [[копенгагенская интерпретация|копенгагенской интерпретации]] квантовой механики [[плотность вероятности]] нахождения частицы в данной точке [[Конфигурационное пространство|конфигурационного пространства]] в данный момент времени считается равной [[квадрат (алгебра)|квадрату]] [[абсолютная величина|абсолютного значения]] волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Волновая функция — это [[Функция (математика)|функция]] [[Степени свободы (механика)|степеней свободы]], соответствующая некоторому максимальному набору [[Каноническое коммутационное соотношение|коммутирующих]] [[Квантовая наблюдаемая|наблюдаемых]]. Как только такое [[Представление (квантовая механика)|представление]] выбрано, волновая функция может быть получена из квантового состояния.

Для данной системы выбор коммутирующих степеней свободы не является уникальным, и, соответственно, [[Область определения функции|область определения]] волновой функции также не уникальна. Например, её можно рассматривать как функцию всех координат положения частиц в координатном пространстве или импульсов всех частиц в [[Импульсное пространство|пространстве импульсов]]; эти два описания связаны [[Преобразование Фурье|преобразованием Фурье]]. Некоторые частицы, такие как [[электрон]]ы и [[фотон]]ы, имеют ненулевой [[спин]], и волновая функция таких частиц включает спин как внутреннюю дискретную степень свободы; также для различных систем могут быть рассмотрены другие дискретные переменные, такие как [[Изотопический спин|изоспин]]. Когда система имеет внутренние степени свободы, волновая функция в каждой точке непрерывных степеней свободы (например, точка в координатном пространстве) присваивает комплексное число для ''каждого'' возможного значения дискретных степеней свободы (например, z-компонента спина) — эти значения часто отображаются в виде вектора-столбца (например, {{Math|2 × 1}} для нерелятивистского электрона со спином.

Согласно [[Принцип суперпозиции|принципу суперпозиции]] в квантовой механике, волновые функции можно складывать и умножать на комплексные числа, чтобы построить новые волновые функции и задать [[гильбертово пространство]]. [[Внутреннее произведение]] в гильбертовом пространстве между двумя волновыми функциями является мерой перекрытия между соответствующими физическими состояниями и используется в фундаментальной вероятностной интерпретации квантовой механики, [[Правило Борна|правиле Борна]], связывающем вероятности переходов со скалярным произведением состояний. [[Уравнение Шрёдингера]] определяет, как волновые функции эволюционируют с течением времени, а волновая функция качественно ведёт себя как другие [[Волна|волны]], такие как [[Ветровые волны|волны на воде]] или волны в струне, потому что уравнение Шрёдингера математически является разновидностью [[Волновое уравнение|волнового уравнения]]. Это объясняет название «волновая функция» и приводит к [[Корпускулярно-волновой дуализм|дуальности волна-частица]]. Однако волновая функция в квантовой механике описывает своего рода физическое явление, все ещё открытое для различных [[Интерпретация квантовой механики|интерпретаций]], которое принципиально отличается от такового для классических механических волн{{Sfn|Born|1927|pp=354–357}}{{Sfn|Heisenberg|1958|p=143}}<ref>[[Гейзенберг, Вернер|Heisenberg, W.]] (1927/1985/2009). Heisenberg is translated by {{Harvard citation no brackets|Camilleri|2009}}, (from {{Harvard citation no brackets|Bohr|1985}}).</ref>{{Sfn|Murdoch|1987|p=43}}{{Sfn|de Broglie|1960|p=48}}{{Sfn|Landau|Lifshitz|p=6|1977}}{{Sfn|Newton|2002|pp=19–21}}.

В статистической интерпретации [[Борн, Макс|Борна]] в нерелятивистской квантовой механике<ref name="Born_1926_A">{{Harvard citation no brackets|Born|1926a}}, translated in {{Harvard citation no brackets|Wheeler|Zurek|1983}} at pages 52-55.</ref><ref name="Born_1926_B">{{Harvard citation no brackets|Born|1926b}}, translated in {{Harvard citation no brackets|Ludwig|1968}}. Also [http://www.ymambrini.com/My_World/History_files/Born_1.pdf here] {{Wayback|url=http://www.ymambrini.com/My_World/History_files/Born_1.pdf |date=20201201173255 }}.</ref><ref>[[Max Born|Born, M.]] (1954).</ref>, квадрат [[Абсолютная величина|модуля]] волновой функции — это [[вещественное число]], интерпретируемое как [[плотность вероятности]] [[Измерение (квантовая механика)|измерения]] частицы как находящейся в заданном месте или имеющей заданный импульс в заданное время и, возможно, имеющей определённые значения для дискретных степеней свободы. Интеграл этой величины по всем степеням свободы системы должен быть равен 1 в соответствии с вероятностной интерпретацией. Это общее требование, которому должна удовлетворять волновая функция, называется ''условием нормировки''. Поскольку волновая функция имеет комплексные значения, можно измерить только её относительную фазу и относительную величину — её значение, по отдельности, ничего не говорит о величинах или направлениях измеряемых наблюдаемых; необходимо применить [[Оператор (физика)|квантовые операторы]], собственные значения которых соответствуют наборам возможных результатов измерений, к волновой функции {{Math|''ψ''}} и вычислить статистические распределения для измеримых величин.

== История ==
В 1905 году [[Эйнштейн, Альберт|Альберт Эйнштейн]] постулировал пропорциональность между частотой <math>f</math> фотона и его энергией {{Nobr|<math>E</math>,}} {{Nobr|<math>E = hf</math>}}<ref>{{Harvard citation no brackets|Einstein|1905}} (in German), {{Harvard citation no brackets|Arons|Peppard|1965}} (in English)</ref>, и в 1916 г. — соотношение между [[Импульс|импульсом фотона]] <math>p</math> и [[Длина волны|длиной волны]] {{Nobr|<math>\lambda</math>,}} {{Nobr|<math>\lambda = h/p</math>}}<ref>{{Harvard citation no brackets|Einstein|1916}}, and a nearly identical version {{Harvard citation no brackets|Einstein|1917}} translated in {{Harvard citation no brackets|ter Haar|1967}}.</ref>, где <math>h</math> — [[постоянная Планка]]. В 1923 году Де Бройль первым предположил, что соотношение {{Nobr|<math>\lambda = h/p</math>,}} теперь называемое [[Волна де Бройля|соотношением Де Бройля]], справедливо для ''массивных'' (= обладающих [[Масса|массой]]) частиц, главным ключом к пониманию которого является [[Лоренц-ковариантность|лоренц-инвариантность]]{{Sfn|de Broglie|1923|pp=507–510,548,630}}, и это можно рассматривать как отправную точку для современного развития квантовой механики. Уравнения описывают [[Корпускулярно-волновой дуализм|дуальность волна-частица]] как для безмассовых, так и для массивных частиц.

В 1920-х и 1930-х годах квантовая механика развивалась с использованием [[Математический анализ|математического анализа]] и [[Линейная алгебра|линейной алгебры]]. Анализ в своих работах использовали [[Де Бройль, Луи|Луи де Бройль]], [[Шрёдингер, Эрвин|Эрвин Шредингер]] и другие, разработавшие «[[Волна|волновую механику]]». Среди тех, кто применял методы линейной алгебры, были [[Гейзенберг, Вернер|Вернер Гейзенберг]], [[Борн, Макс|Макс Борн]] и другие, разработавшие «матричную механику». Впоследствии Шрёдингер показал, что эти два подхода эквивалентны{{Sfn|Hanle|1977|pp=606–609}}.

В 1926 году Шрёдингер опубликовал волновое уравнение, теперь названное [[Уравнение Шрёдингера|уравнением Шрёдингера]]. Это уравнение было основано на [[Классическая физика|классическом]] [[Закон сохранения энергии|законе сохранении энергии]], но записано с использованием [[Оператор (физика)|квантовых операторов]] и соотношений де Бройля, а его решения представлялись волновыми функциями квантовой системы{{Sfn|Schrödinger|1926|pp=1049–1070}}. Однако никто не знал, как это ''интерпретировать''{{Sfn|Tipler|Mosca|Freeman|2008}}. Сначала Шрёдингер и другие думали, что волновые функции представляют собой частицы, которые распределены по пространству, причём большая часть частицы находится там, где волновая функция велика{{Sfn|Weinberg|2013}}. Было показано, что это несовместимо с упругим рассеянием волнового пакета (представляющего собой частицу) от рассеивателя, потому что он распространяется во всех направлениях<ref name="Born_1926_A" />. Хотя рассеянная частица может рассеяться в любом направлении, она не разбивается на части и не улетает во всех направлениях. В 1926 году Борн представил свою интерпретацию [[Статистическая интерпретация волновой функции|амплитуды вероятности]]<ref name="Born_1926_B" />{{Sfn|Young|Freedman|p=1333|2008}}. Она связывает вычисления квантовой механики непосредственно с вероятностями наблюдаемыми в эксперименте. Сейчас эта картина принята как часть [[Копенгагенская интерпретация|копенгагенской интерпретации]] квантовой механики. Существует много других [[Интерпретация квантовой механики|интерпретаций квантовой механики]]. В 1927 году [[Хартри, Дуглас Рейнер|Хартри]] и [[Фок, Владимир Александрович|Фок]] сделали первый шаг в попытке описать волновую функцию для ''N-частиц'' и ''разработали самосогласованную процедуру'': [[итерация|итерационный]] [[алгоритм]] для аппроксимации решения многочастичной квантовомеханической задачи. Сейчас этот метод известен как [[метод Хартри — Фока]]{{Sfn|Atkins|1974}}. [[Слэтеровский детерминант|Определитель]] и [[перманент]] Слейтера ([[Матрица (математика)|матрицы]]) были частью метода, предложенного [[Слейтер, Джон Кларк|Джоном К. Слейтером]].

Шрёдингер действительно работал с уравнением для волновой функции, к��торое удовлетворяло [[Теория относительности|релятивистскому]] закону сохранения энергии, ''прежде чем'' он опубликовал нерелятивистскую версию, но отбросил его, поскольку оно предсказывало отрицательные [[Вероятность|вероятности]] и отрицательные [[Энергия|энергии]]. В 1927 году [[Клейн, Оскар|Клейн]], [[Гордон, Вальтер|Гордон]] и Фок также нашли его, но учли [[Электромагнетизм|электромагнитное]] [[взаимодействие]] и доказали, что оно [[Лоренц-ковариантность|лоренц-инвариантно]]. Де Бройль также пришёл к тому же уравнению в 1928 году. Это релятивистское волновое уравнение сейчас наиболее широко известно как [[уравнение Клейна — Гордона]]{{Sfn|Martin|Shaw|2008}}.

В 1927 году [[Паули, Вольфганг|Паули]] феноменологически нашёл нерелятивистское уравнение для описания частиц со спином 1/2 в электромагнитных полях, которое теперь называется [[Уравнение Паули|уравнением Паули]]{{Sfn|Pauli|1927|pp=601–623.}}. Паули обнаружил, что волновая функция не описывалась одной комплексной функцией пространства и времени, а требовалось два комплексных числа, которые соответствуют состояниям фермиона со спином +1/2 и −1/2. Вскоре после этого, в 1928 году, [[Дирак, Поль Адриен Морис|Дирак]] нашёл уравнение из первого успешного объединения [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]] и квантовой механики в применении к [[электрон]]у, которое теперь называется [[Уравнение Дирака|уравнением Дирака]]. В этом случае волновая функция представляет собой ''[[Спинор Дирака|спинор]],'' представленный четырьмя комплексными компонентами{{Sfn|Atkins|1974}}: двумя для электрона и двумя для [[античастицы]] электрона — [[позитрон]]а. В нерелятивистском пределе волновая функция Дирака напоминает волновую функцию Паули для электрона. Позже были найдены [[Релятивистские волновые уравнения|другие релятивистские волновые уравнения]].

=== Волновые функции и волновые уравнения в современных теориях ===
Все эти волновые уравнения имеют непреходящее значение. Уравнение Шрёдингера и уравнение Паули во многих случаях являются превосходными приближениями для релятивистских задач. Эти уравнения значительно легче решить в практических задачах, чем их релятивистские аналоги.

Уравнения [[Уравнение Клейна — Гордона|Клейна — Гордона]] и [[Уравнение Дирака|Дирака]], будучи релятивистскими, не полностью примиряют квантовую механику и специальную теорию относительности. Раздел квантовой механики, где эти уравнения изучаются так же, как уравнение Шрёдингера, часто называемый [[Релятивистская квантовая механика|релятивистской квантовой механикой]], хотя и очень успешен, имеет свои ограничения (см., например, [[Лэмбовский сдвиг]]) и концептуальные проблемы (см., например, [[море Дирака]]).

Относительность делает неизбежным то, что количество частиц в системе непостоянно. Для полного согласования нужна [[квантовая теория поля]]<ref>{{Harvtxt|Weinberg|2002}} takes the standpoint that quantum field theory appears the way it does because it is the ''only'' way to reconcile quantum mechanics with special relativity.</ref>. В этой теории волновые уравнения и волновые функции также используются, но в несколько ином виде. Основными объектами интереса являются не волновые функции, а скорее операторы, так называемые ''операторы поля'' (или просто ''поля'', под которыми понимаются «операторы») в гильбертовом пространстве состояний. Оказывается, исходные релятивистские волновые уравнения и их решения всё ещё необходимы для построения гильбертова пространства. Более того, ''операторы свободных полей'', то есть для невзаимодействующих частиц, во многих случаях формально удовлетворяют тому же уравнению, что и поля (волновые функции).

Таким образом, уравнение Клейна — Гордона (спин {{Math|0}}) и уравнение Дирака (спин {{Math|{{frac|1|2}}}}) в таком виде остаются в теории. Аналоги высших спинов включают [[Уравнения Прока|уравнение Прока]] (спин {{Math|1}}), [[уравнение Рариты — Швингера]] (спин {{Math|{{frac|3|2}}}}) и, в более общем смысле, [[уравнения Баргмана — Вигнера]]. Для ''безмассовых'' свободных полей примерами являются [[уравнения Максвелла]] свободного поля (спин {{Math|1}}) и [[Уравнения Эйнштейна|уравнение Эйнштейна]] свободного поля (спин {{Math|2}}) для операторов поля<ref>{{Harvtxt|Weinberg|2002}} See especially chapter 5, where some of these results are derived.</ref>. Все они по сути являются прямым следствием требования [[Лоренц-ковариантность|лоренц-инвариантности]]. Их решения должны преобразовываться при преобразовании Лоренца заданным образом, то есть в соответствии с определённым [[Теория представлений группы Лоренца|представлением группы Лоренца]], и этого (вместе с некоторыми другими разумными требованиями, например ''принципом кластерной декомпозиции''<ref>{{Harvard citation no brackets|Weinberg|2002}} Chapter 4.</ref>) с учётом [[Причинность|причинности]] достаточно для модификации уравнения.

Это относится к уравнениям свободного поля, когда взаимодействия не включены. Если доступна плотность [[лагранжиан]]а (включая взаимодействия), то лагранжев формализм даст уравнение движения на классическом уровне. Это уравнение может быть очень сложным и не поддающимся решению. Любое решение будет относиться к ''фиксированному'' числу частиц и не будет учитывать термин «взаимодействие», как понимается в этих теориях, который включает в себя создание и уничтожение частиц, а не внешние потенциалы, как в обычной квантовой теории (''первичного квантования'').

В [[Теория струн|теории струн]] ситуация остаётся аналогичной. Например, волновая функция в импульсном пространстве играет роль коэффициента разложения Фурье в общем состоянии частицы (струны) с импульсом, который чётко не определён{{Sfn|Zwiebach|2009}}.

== Физический смысл ==
В координатном представлении волновая функция <math>\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)</math> зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл волновой функции состоит в том, что квадрат её модуля <math>\left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)\right|^2</math>является [[Плотность вероятности|плотностью вероятности]] <math>\omega</math> (для дискретных спектров — просто [[вероятность]]ю) обнаружения системы в точке <math>x_1=x_{01}, x_2=x_{02}, \ldots , x_n=x_{0n}</math> в момент времени <math>t</math>:
:: <math>\omega = \frac{dP}{dv} = \left|\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)\right|^2  = \Psi^\ast\Psi</math>.

В заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией <math>\Psi(x_1, x_2, \ldots , x_n,t)</math>, вероятность <math>P</math> того, что частица будет обнаружена в области <math>V</math> конечного объёма [[Конфигурационное пространство|конфигурационного пространства]], равна
:: <math>P={\int{dP}}={\int\limits_{V} {\omega}dv}={\int\limits_{V}{\Psi^\ast\Psi}dv}</math>.

Возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в [[Эффект Ааронова — Бома|опыте Ааронова — Бома]].

== Нормированность волновой функции ==
Поскольку суммарная вероятность обнаружения частицы во всём пространстве равна единице, её волновая функция <math>\Psi</math> должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:
:: <math> {\int\limits_{V}{\Psi^\ast\Psi}dv}=1</math>.

В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых волновая функция явно зависит в данном представлении (кроме времени).

== Принцип суперпозиции квантовых состояний ==
{{main|Квантовая суперпозиция}}
Для волновых функций справедлив [[принцип суперпозиции]]<!-- так, тематическая ссылка стоит выше, так что эту пока оставляем --Incnis Mrsi -->, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями <math>\Psi_1</math> и <math>\Psi_2</math>, то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией
:: <math>\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2</math>,
где <math>c_1</math> и <math>c_2</math> — любые комплексные коэффициенты, но такие, что <math>|c_1|^2+| c_2|^2 = 1</math>. Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией
:: <math>\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + {c}_N{\Psi}_N=\sum_{n=1}^{N} {c}_n{\Psi}_n</math>.

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента <math>{c}_n</math> определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией <math>{\Psi}_n</math>.

Для нормированных волновых функций <math>\sum_{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^2=1</math>.

== Условия регулярности волновой функции ==
Вероятностный смысл волновой функции накладывает определённые ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют '''''условиями регулярности волновой функции.'''''
# ''Условие конечности волновой функции.'' Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл <math>\int|\Psi|^2dv</math> станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией, то есть принадлежала [[Гильбертово пространство|гильбертовому пространству]] <math>L^2</math>. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
# ''Условие однозначности волновой функции.'' Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат усл��вие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
# ''Условие непрерывности волновой функции.'' В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции <math>\frac{\partial \Psi}{\partial x}</math>, <math>\frac{\partial \Psi}{\partial y}</math>, <math>\frac{\partial \Psi}{\partial z}</math>. Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает [[разрыв второго рода]].

== Волновая функция в различных представлениях ==
Набор координат, которые выступают в роли [[аргумент функции|аргументов функции]], представляет собой [[Полная система коммутирующих наблюдаемых|полную систему коммутирующих наблюдаемых]]. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов наблюдаемых, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет ''представление волновой функции''. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]] используется [[вторичное квантование]] и [[представление чисел заполнения]], или [[представление Фока]], и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в [[Координатное представление|координатном представлении]], то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в [[Импульсное представление|импульсном представлении]], то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной [[импульс]].

== Матричная и векторная формулировки ==
<!-- удалённый бред откомментирован на странице обсуждения статьи --Incnis Mrsi -->
Волновая функция одного и того же [[Состояние (квантовая механика)|состояния]] в различных представлениях будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями также будут иметь аналоги на языке векторов.
В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система '''непрерывных''' коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система '''дискретных''' коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки, очевидно, математически эквивалентны.

== Описание смешанных квантовых состояний ==
Волновая функция представляет собой метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния (в [[квантовая статистика|квантовой статистике]]) следует описывать при помощи [[матрица плотности|матрицы плотности]].

== Координатное и импульсное представления ==
Волновая функция, представленная в виде функции от координат <math>\psi = \psi(\vec{r})</math>, называется волновой функцией в '''координатном представлении'''<ref>''[[Ландау, Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лившиц Е. М.]]''
Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 29</ref>.

Всякая волновая функция в координатном представлении может быть разложена по [[собственная функция|собственным функциям]] [[оператор импульса|оператора её импульса]]:

: <math>\psi_{\vec{p}}  = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}}e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\vec{r}}</math>
 
В результате получаем обратное [[преобразование Фурье]]:

: <math>\psi(\vec{r}) = \int a(\vec{p}) \psi_{\vec{p}}(\vec{r})d^{3}p = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int a(\vec{p}) e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\vec{r}}d^{3}p</math>,

где <math>d^{3}p = dp_{x} dp_{y} dp_{z}</math>

Коэффициенты разложения <math>a(\vec{p})</math> равны преобразованию Фурье

: <math>a(\vec{p}) = \int \psi(\vec{r}) \psi^{*}_{\vec{p}}(\vec{r})  dV = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \psi(\vec{r}) e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\vec{r}}d^{3}V</math>

Функция <math>a(\vec{p})</math> называется волновой функцией частицы в '''импульсном представлении''', так как <math>|a(\vec{p})|^{2}d^{3}p</math> есть вероятность импульсу частицы иметь значения в интервале <math>d^{3}p</math><ref>''[[Ландау, Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лившиц Е. М.]]'' Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 49</ref>.

== Волновые функции и функциональные пространства ==
Концепция [[пространство функций|функциональных пространств]] естественным образом используется в дискуссии о волновых функциях. Функциональное пространство — это набор функций, обычно с некоторыми определяющими требованиями к функциям (в данном случае они являются {{iw|функция с интегрируемым квадратом|квадратично интегрируемыми|en|Square-integrable function}}), иногда с заданной [[Алгебраическая структура|алгебраической структурой]] на множестве (в данном случае структура [[Векторное пространство|векторного пространства]] со [[Предгильбертово пространство|скалярным произведением]]) вместе с [[Топологическое пространство|топологией]] на множестве. Последнее будет использоваться здесь редко, оно необходимо только для получения точного определения того, что означает [[Замкнутое множество|замкнутое]] подмножества функционального пространства. Ниже будет сделан вывод, что функциональное пространство волновых функций является [[Гильбертово пространство|гильбертовым пространством]]. Это наблюдение является основой преобладающей математической формулировкой квантовой механики.

=== Структура векторного пространства ===
Волновая функция, как элемент функционального пространства, частично характеризуется следующими конкретными и абстрактными описаниями.

* Уравнение Шрёдингера линейно. Это означает, что его решения, волновые функции, можно складывать и умножать на скаляры, чтобы получить новое решение. Множество решений уравнения Шрёдингера представляет собой векторное пространство.
* Принцип суперпозиции квантовой механики. Если {{Math|Ψ}} и {{Math|Φ}} — два состояния в абстрактном пространстве '''состояний''' квантовой механической системы, а {{Math|''a''}} и {{Math|''b''}} — любые два комплексных числа, то {{Math|''a''Ψ + ''b''Φ}} является допустимым состоянием. Считается ли [[Изотропный вектор|нулевой вектор]] допустимым состоянием («система отсутствует») — вопрос определения. Нулевой вектор ''ни'' в коем случае не описывает [[состояние вакуума]] в квантовой теории поля. Множество допустимых состояний — векторное пространство.

Это сходство не случайно. Также следует помнить о различиях между пространствами.

=== Представления ===
Основные состояния характеризуются набором квантовых чисел. Это набор собственных значений '''максимального набора''' [[Каноническое коммутационное соотношение|коммутирующих]] [[Квантовая наблюдаемая|наблюдаемых]]. Физические наблюдаемые представлены линейными операторами, также называемыми наблюдаемыми, в пространстве векторов. Максимальность означает, что в такой набор нельзя добавить никакие другие алгебраически независимые наблюдаемые, которые коммутируют с уже имеющимися. Выбор такого множества можно назвать выбором '''представления'''.

* В квантовой механике постулируется, что физически наблюдаемая величина системы, такая как положение, импульс или спин, представлена линейным [[самосопряжённый оператор|эрмитовым оператором]] в пространстве состояний. Возможными результатами измерения этой величины являются [[Собственный вектор|собственные значения]] оператора{{Sfn|Weinberg|2013}}. На более глубоком уровне большинство наблюдаемых, а возможно, и все, возникают как генераторы [[Симметрия в квантовой механике|симметрий]]{{Sfn|Weinberg|2013}}{{Sfn|Weinberg|2002}}<ref group="nb">Чтобы это утверждение имело смысл, наблюдаемые должны быть элементами максимального коммутирующего множества. Например, оператор импульса i-й частицы в системе из n частиц «не» является генератором какой-либо симметрии по своей природе. С другой стороны, «полный» импульс является генератором симметрии по своей природе; трансляционной симметрии.</ref>.
* Физическая интерпретация состоит в том, что такой набор представляет то, что теоретически можно одновременно измерить с произвольной точностью. Соотношение [[Принцип неопределённости|неопределенностей Гейзенберга]] запрещает одновременные точные измерения двух некоммутирующих наблюдаемых.
* Набор неуникальный. Для одночастичной системы это может быть {{Math|''z''}} проекция {{Math|(''x'', ''S''<sub>''z''</sub>)}} {{Math|''y''}} проекция {{Math|(''p'', ''S''<sub>''y''</sub>)}}. В этом случае оператор, соответствующий положению ([[оператор умножения]] в координатном представлении), и оператор, соответствующий импульсу ([[дифференциальный оператор]] в координатном представлении), не коммутируют.
* После того, как представление выбрано, неоднозначность остаётся. Осталось выбрать систему координат. Это может, например, соответствовать выбору осей {{Math|''x'', ''y''}} и {{Math|''z''}} или выбору '''криволинейных координат,''' как показано на примере [[Сферическая система координат|сферических координат]], используемых для волновых функций атомов водорода. Этот окончательный выбор также фиксирует базис в абстрактном гильбертовом пространстве. Основные состояния помечены квантовыми числами, соответствующими максимальному ��абору коммутирующих наблюдаемых и соответствующей системе координат<ref group="nb">Результирующий базис может быть, а может и не быть в математическом смысле, базисом гильбертовых пространств. Например, состояния с определённым положением и определённым импульсом не интегрируемы с квадратом. Это можно преодолеть с помощью [[волновых пакетов]] или заключением системы в «коробку». См. Дальнейшие примечания ниже.</ref>.

Абстрактные состояния являются «абстрактными» только в том смысле, что не даётся ''произвольный выбор, необходимый для конкретного явного описания.'' Или другими словами, не было дано никакого выбора максимального набора коммутирующих наблюдаемых. Что аналогично векторному пространству без заданного базиса. Соответственно, волновые функции, соответствующие квантовому состоянию, не уникальны. Эта неоднозначность отражает неоднозначность в выборе максимального набора коммутирующих наблюдаемых. Для одной частицы со спином в одном измерении конкретному состоянию соответствуют две волновые функции {{Math|Ψ(''x'', ''S''<sub>''z''</sub>)}} и {{Math|Ψ(''p'', ''S''<sub>''y''</sub>)}}, они обе описывают ''одно и'' то же состояние.

* Для каждого выбора максимального набора коммутирующих наблюдаемых для абстрактного пространства состояний существует соответствующее представление, которое связано с функциональным пространством волновых функций.
* Между всеми этими различными функциональными пространствами и абстрактным пространством состояний существуют взаимно однозначные соответствия (здесь не учитываются нормализация и ненаблюдаемые фазовые факторы), причём общим знаменателем здесь является конкретное абстрактное состояние. Связь между импульсными и координатными волновыми функциями, например, описывающими одно и то же состояние, даёт [[преобразование Фурье]].

Каждый выбор представления следует рассматривать как определение уникального функционального пространства, в котором определены волновые функции, соответствующие этому выбору представления. Это различие лучше всего сохранить, даже если можно будет утверждать, что два таких функциональных пространства математически равны, например, являются набором квадратично интегрируемых функций. Тогда можно думать о функциональных пространствах как о двух различных копиях этого набора.

=== Внутреннее произведение ===
Имеется дополнительная алгебраическая структура векторных пространств волновых функций и абстрактного пространства состояний.

* Физически различные волновые функции интерпретируются как частично перекрывающиеся. Система в состоянии {{Math|Ψ}}, которая ''не'' перекрывается с состоянием {{Math|Φ}} не может быть найдена в состоянии {{Math|Φ}} при измерении. Но если {{Math|Φ<sub>1</sub>, Φ<sub>2</sub>, …}} перекрываются с {{Math|Ψ}} в ''некоторой'' степени, существует вероятность того, что измерение системы, описываемой {{Math|Ψ}} будет найдено в состояниях {{Math|Φ<sub>1</sub>, Φ<sub>2</sub>, …}} Также соблюдаются [[правила отбора]]. Обычно их формулируют в терминах сохранения некоторых квантовых чисел. Это означает, что определённые процессы, допустимые с некоторых точек зрения (например, сохранение энергии и импульса), не происходят, потому что начальная и конечная ''полные'' волновые функции не перекрываются.
* Математически оказывается, что решения уравнения Шрёдингера для конкретных потенциалов '''каким-то образом ортогональны''', это обычно описывается интегралом

:: <math>\int\Psi_m^*\Psi_n w\, dV = \delta_{nm},</math>
: где {{Math|''m'', ''n''}} — (наборы) индексов (квантовых чисел), обозначающих различные решения, строго положительная функция {{Mvar|w}} называется весовой функцией, а {{Math|''δ''<sub>''mn''</sub>}} — [[Символ Кронекера|символом Кронекера]]. Интегрирование осуществляется по всему соответствующему пространству.

Это мотивирует введение [[Предгильбертово пространство|внутреннего произведения]] на векторном пространстве абстрактных квантовых состояний, совместимого с математическими результатами приведёнными выше при переходе к представлению. Он обозначается {{Math|(Ψ, Φ)}}, или в обозначении [[бра и кет]] <math>\langle\Psi|\Phi\rangle</math>. Что даёт комплексное число. С внутренним произведением функциональное пространство является [[Предгильбертово пространство|предгильбертовым пространством]]. Явный вид внутреннего произведения (обычно интеграла или суммы интегралов) зависит от выбора представления, а комплексное число {{Math|(Ψ, Φ)}} — нет. Большая часть физической интерпретации квантовой механики проистекает из [[Правило Борна|правила Борна]]. В нём говорится, что вероятность {{Mvar|p}} обнаружения при измерении состояния {{Math|Φ}} при условии, что система находится в состоянии {{Math|Ψ}} равна

: <math>p = |(\Phi, \Psi)|^2,</math>

где {{Math|Φ}} и {{Math|Ψ}} предполагаются нормированными. Рассмотрим [[Теория рассеяния|эксперимент по рассеянию]]. В квантовой теории поля, если {{Math|Φ<sub>out</sub>}} описывает состояние в «далёком будущем» («исходящая волна») после прекращения взаимодействий между рассеивающими частицами, и {{Math|Ψ<sub>in</sub>}} падающая волна в «далёком прошлом», то величины {{Math|(Φ<sub>out</sub>, Ψ<sub>in</sub>)}}, где {{Math|Φ<sub>out</sub>}} и {{Math|Ψ<sub>in</sub>}} изменяются по полному набору падающих и исходящих волн соответственно, называется [[Матрица рассеяния|S-матрицей]] или '''матрицей рассеяния'''. Знание этого, по сути, означает ''решение имеющейся'' задачи, по крайней мере, в том, что касается предсказаний. Измеримые величины, такие как [[Радиоактивный распад|скорость распада]] и [[Эффективное сечение|сечения рассеяния]], вычисляются с помощью S-матрицы{{Sfn|Weinberg|2002|loc=Chapter 3}}.

=== Гильбертово пространство ===
Приведённые выше результаты отражают сущность функциональных пространств, элементами которых являются волновые функции. Однако описание ещё не полное. Существует ещё одно техническое требование к функциональному пространству, а именно требование [[Полное метрическое пространство|полноты]], которое позволяет брать пределы последовательностей в функциональном пространстве и гарантировать, что, если предел существует, то он является элементом функционального пространства. Полное предгильбертовое пространство называется [[Гильбертово пространство|гильбертовым пространством]]. Свойство полноты имеет решающее значение для передовых подходов и приложений квантовой механики. Например, существование [[Проектор (математика)|проекционных операторов]] или зависит от полноты пространства{{Sfn|Conway|1990}}. Эти проекционные операторы, в свою очередь, необходимы для формулировки и доказательства многих полезных теорем, например, [[Спектральная теорема|спектральной теоремы]]. Это не очень важно для вводной части квантовой механики, а технические детали и ссылки можно найти в сносках, подобных следующей<ref group="nb">Технически это формулируется следующим образом. Внутреннее произведение задаёт [[Нормированное векторное пространство|нормц]]. Эта норма, в свою очередь, индуцирует [[Метрическое пространство|метрику]]. Если эта метрика [[Полная метрика|полна]], то вышеупомянутые пределы будут даны в функциональном пространстве. Тогда предгильбертово пространство называется полным. Полное внутреннее произведение — это [[гильбертово пространство]]. Абстрактное пространство состояний всегда рассматривается как гильбертово пространство. Требование согласуемости для функциональных пространств является естественным. Свойство гильбертова пространства абстрактного пространства состояний было первоначально определено из наблюдения, что функциональные пространства, образующие нормируемые решения уравнения Шредингера, являются гильбертовыми пространствами.</ref>. Пространство {{Math|''L''<sup>2</sup>}} — это гильбертово пространство, скалярное произведение которого будет представлено ниже. Функциональное пространство в примере на рисунке является подпространством {{Math|''L''<sup>2</sup>}}. Подпространство гильбертова пространства называется гильбертовым пространством, если оно замкнуто.

Таким образом, набор всех возможных нормированных волновых функций для системы с определённым выбором базиса вместе с нулевым вектором составляют гильбертово пространство.

Не все интересующие функции являются элементами некоторого гильбертова пространства, скажем, {{Math|''L''<sup>2</sup>}}. Самый яркий пример — набор функций {{Math|''e''<sup>{{frac|2''πi'''''p''' · '''x'''|h}}</sup>}} . Эти плоские волны — решения уравнения Шрёдингера для свободной частицы, но они не нормируемые, следовательно, не принадлежат {{Math|''L''<sup>2</sup>}}. Но, тем не менее, они являются основополагающими для описания квантовой механики. С их помощью можно выразить функции, которые ''можно'' нормализовать с помощью [[Волновой пакет|волновых пакетов]]. В каком-то смысле они являются базисом (но не базисом гильбертова пространства и не базисом [[Базис|Гамеля]]), в котором могут быть выражены интересующие волновые функции. Существует также другое описание: «нормализация на дельта-функцию», которое часто используется для удобства записи, см. ниже. Сами дельта-функции также не интегрируемы в квадрате.

Приведённое выше описание функционального пространства, содержащего волновые функции, в основном имеют математическую мотивацию. Функциональные пространства из-за полноты в определённом смысле ''очень велики.'' Не все функции являются реалистичным описанием какой-либо физической системы. Например, в функциональном пространстве {{Math|''L''<sup>2</sup>}} можно найти функцию, которая принимает значение {{Math|0}} для всех рациональных чисел и {{Math|-''i''}} для иррациональных {{Math|[0, 1]}}. ''Это'' функция интегрируема с квадратом<ref group="nb">Как поясняется в следующей сноске, интеграл следует рассматривать как [[интеграл Лебега]], поскольку [[интеграл Римана]] недостаточно.</ref>, но вряд ли может представлять собой физическое состояние.

=== Общие гильбертовые пространства ===
Хотя пространство решений в целом является гильбертовым пространством, существует множество других гильбертовых пространств.

* Квадратно интегрируемые комплекснозначные функции на интервале {{Math|[0, 2''π'']}}. Множество {{Math|{''e''<sup>''int''</sup>/2''π'', ''n'' ∈ ℤ}}} является базисом гильбертова пространства, т.о есть максимальным ортонормированным множеством.
* Преобразование [[Преобразование Фурье|Фурье]] переводит функции из указанного выше пространства в элементы {{Math|''l''<sup>2</sup>(ℤ)}}, пространства ''суммируемых с квадратом'' функций {{Math|ℤ → ℂ}}. Последнее пространство является гильбертовым пространством, а преобразование Фурье задаёт изоморфизмом гильбертовых пространств<ref group="nb">{{Harvard citation no brackets|Conway|1990}}. Это означает, что скалярные произведения, а следовательно, и нормы, сохраняются и, что отображение является ограниченным, а значит, непрерывной линейной биекцией. Сохраняется и свойство полноты. Таким образом, это соответствует правильному понятию изоморфизма в [[Теория категорий|категории]] гильбертовых пространств.</ref>. Его базис — {{Math|<nowiki>{</nowiki>''e''<sub>''i''</sub>, ''i'' ∈ ℤ<nowiki>}</nowiki>}} где {{Math|''e''<sub>''i''</sub>(''j'') {{=}} ''δ''<sub>''ij''</sub>, ''i'', ''j'' ∈ ℤ}} .
* Самый простой пример ограниченных многочленов — это пространство квадратично интегрируемых функций на интервале {{Math|[–1, 1]}} для которого [[многочлены Лежандра]] являются базисом гильбертова пространства (полным ортонормированным множеством).
* Квадратные интегрируемые функции на [[единичная сфера|единичной сфере]] {{Math|''S''<sup>2</sup>}} образуют гильбертово пространство. Базисными функциями в этом случае являются [[Сферические функции|сферические гармоники]]. Полиномы Лежандра входят в состав сферических гармоник. Большинство задач с вращательной симметрией будут иметь «то же самое» (известное) решение относительно этой симметрии, поэтому исходная задача сводится к задаче меньшей размерности.
* Соответствующие [[Многочлены Лагерра|полиномы Лагерра]] появляются в задаче о водородных волновых функций после выделения сферических гармоник. Они покрывают гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на полубесконечном интервале {{Math|[0, ∞)}} .

В более общем случае можно рассмотреть все полиномиальные решения уравнений [[Задача Штурма — Лиувилля|Штурма — Лиувилля]] второго порядка в контексте гильбертова пространства. К ним относятся многочлены Лежандра и Лагерра, а также [[Многочлены Чебышёва|многочлены Чебышёва, многочлены]] [[Многочлены Якоби|Якоби и многочлены]] [[Многочлены Эрмита|Эрмита]]. Они на самом деле возникают в физических задачах, последние — в [[Квантовый гармонический осциллятор|гармоническом осцилляторе]], и то, что в противном случае представляет собой запутанный лабиринт свойств [[Специальные функции|специальных функций]], представляется органичной картиной. Для этого см. {{Harvtxt|Byron|Fuller|1992|loc=Chapter 5}} .

Встречаются также конечномерные гильбертовы пространства. Пространство {{Math|ℂ<sup>''n''</sup>}} является гильбертовым пространством размерности {{Mvar|n}}. Внутреннее произведение является стандартным внутреннии произведением для этих пространств. В нём находится «спиновая часть» волновой функции одной частицы.

* При нерелятивистском описании электрона {{Math|''n'' {{=}} 2}}, а полная волновая функция является решением [[Уравнение Паули|уравнения Паули]].
* В соответствующей релятивистской трактовке {{Math|''n'' {{=}} 4}} и волновая функция является решением [[уравнение Дирака]].

С большим количеством частиц ситуация более сложная. Необходимо использовать [[Тензорное произведение|тензорные произведения]] и теорию представлений задействованных групп симметрии ([[Ортогональная группа|группы вращения и группы]] [[Группа Лоренца|Лоренца соответственно)]]. Дальнейшие трудности возникают в релятивистском случае, если частицы не являются свободными{{Sfn|Greiner|Reinhardt|2008}}. См. [[Уравнение Бете — Солпитера]]. Соответствующие замечания относятся к понятию [[Изотопический спин|изоспина]], для которого группа симметрии — это [[Специальная унитарная группа|SU (2)]]. В моделях ядерных сил шестидесятых годов (которые всё ещё используются сегодня, см. [[Ядерная сила|ядерные силы]]) использовалась группа симметрии [[Специальная унитарная группа|SU (3)]]. В этом случае также часть волновых функций, соответствующая внутренним симметриям, находится в некоторых {{Math|ℂ<sup>''n''</sup>}} или подпространствах тензорных произведений таких пространств.

* В квантовой теории поля основным гильбертовым пространством является [[пространство Фока]]. Оно построено из свободных одночастичных состояний, то есть волновых функций, выбранного представления, и может вместить любое конечное, не обязательно постоянное во времени количество частиц. Интересная динамика скрыта не в волновых функциях, а в [[Полевой оператор|полевых операторах]], действующих на пространстве Фока. Таким образом, [[Представление Гейзенберга|картина Гейзенберга]] оказывается более удобной (постоянные состояния, изменяющиеся во времени операторы).

Из-за бесконечномерного характера системы соответствующие математические инструменты являются объектами изучения [[Функциональный анализ|функционального анализа]].

== Онтология ==
Существует ли волновая функция на самом деле и что она представляет, — вот главные вопросы [[Интерпретация квантовой механики|интерпретации квантовой механики]]. Многие известные физики предыдущего поколения ломали голову над этой проблемой, например, [[Шрёдингер, Эрвин|Шрёдингер]], [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейн]] и [[Бор, Нильс|Бор]]. Некоторые выступают за формулировки или варианты [[Копенгагенская интерпретация|копенгагенской интерпретации]] (например, Бор, [[Вигнер, Юджин|Вигнер]] и [[Нейман, Джон фон|фон Нейман]]), в то время как другие, такие как [[Уилер, Джон Арчибальд|Уиллер]] или [[Джейнс, Эдвин Томпсон|Джейнс]], придерживаются более классического подхода{{Sfn|Jaynes|2003}} и рассматривают волновую функцию как представление информации в сознании наблюдателя, то есть меры нашего познания реальности. Некоторые, включая Шрёдингера, [[Бом, Дэвид|Бома,]] [[Эверетт, Хью|Эверетта]] и других, утверждали, что волновая функция должна иметь объективное физическое существование. Эйнштейн считал, что полное описание физической реальности должно относиться непосредственно к физическому пространству и времени, в отличие от волновой функции, которая относится к абстрактному математическому пространству{{Sfn|Einstein|1998|p=682}}.

== См. также ==
{{кол}}
* [[Собственное состояние]]
* [[Оператор (физика)]]
* [[Уравнение Шрёдингера]]
* [[Принцип неопределённости Гейзенберга]]
* [[Блоховская волна]]
* [[Редукция волновой функции]]
* [[Функция Вигнера]]
{{кол|конец}}

== Примечания ==
'''Комментарии'''
<references group="nb"/>
'''Источники'''
{{Примечания}}

== Литература ==
{{refbegin|30em}}
* {{cite journal | title = Einstein's proposal of the photon concept: A translation of the ''Annalen der Physik'' paper of 1905
 | last1 = Arons | first1 = A. B.
 | last2 = Peppard | first2 = M. B.
 | journal = [[American Journal of Physics]]
 | year = 1965 | volume = 33 | issue = 5 | page = 367
 | url = http://astro1.panet.utoledo.edu/~ljc/PE_eng.pdf
 | bibcode = 1965AmJPh..33..367A | doi = 10.1119/1.1971542
 | ref=AronsPeppard
}}
* {{cite book| title = Quanta: A Handbook of Concepts
 | url = https://archive.org/details/quantahandbookof0000atki
 | last = Atkins | first = P. W. | year = 1974
 | isbn = 978-0-19-855494-3
}}
* {{cite book| title = Niels Bohr - Collected Works: Foundations of Quantum Physics I (1926 - 1932)
 | last = Bohr | first = N. | year = 1985
 | author-link = Niels Bohr
 | editor1-last = Kalckar | editor1-first = J.
 | publisher = North Holland | location = Amsterdam
 | volume = Volume 6
 | isbn = 978-044453289-3
}}
* {{cite journal | title = Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange
 | last = Born | first = M.
 | journal = Z. Phys.
 | year = 1926 | volume = 37 | issue = 12 | pages = 863–867
 | bibcode = 1926ZPhy...37..863B | doi = 10.1007/bf01397477
 | ref=Born1926a
}}
* {{cite journal | title = Quantenmechanik der Stoßvorgange
 | last = Born | first = M.
 | journal = Z. Phys.
 | year = 1926 | volume = 38 | issue = 11–12 | pages = 803–827
 | bibcode = 1926ZPhy...38..803B | doi = 10.1007/bf01397184
 | ref=Born1926b
}}
* {{cite journal | title = Physical aspects of quantum mechanics
 | last = Born | first = M.
 | author-link = Max Born
 | journal = Nature
 | year = 1927 | volume = 119 | issue = 2992 | pages = 354–357
 | bibcode = 1927Natur.119..354B | doi = 10.1038/119354a0
 | doi-access = free
 | ref=Born1927
}}
* {{cite journal| title = The statistical interpretation of quantum mechanics
 | last = Born | first = M.
 | work = Nobel Lecture
 | publisher = [[Nobel Foundation]]
 | url = https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1954/born/lecture/
 | date = 11 December 1954
| volume = 122 | issue = 3172 | pages = 675–9 | doi = 10.1126/science.122.3172.675 | pmid = 17798674 }}
* {{cite journal | title = Radiations—Ondes et quanta
 | trans-title = Radiation—Waves and quanta
 | last = de Broglie | first = L.
 | journal = Comptes Rendus
 | year = 1923 | volume = 177 | pages = 507–510, 548, 630
 | language = fr
 | ref=de Broglie1923
}} [http://www.academie-sciences.fr/pdf/dossiers/Broglie/Broglie_pdf/CR1923_p507.pdf Online copy (French)] [http://www.davis-inc.com/physics/broglie/broglie.shtml Online copy (English)]
* {{cite book| title = Non-linear Wave Mechanics: a Causal Interpretation
 | last = de Broglie | first = L. | year = 1960
 | author-link = Louis de Broglie
 | publisher = Elsevier | location = Amsterdam
 | url = https://archive.org/details/nonlinearwavemec0000brog | url-access = registration | via = [[Internet Archive]]
}}
* {{cite book| title = Mathematics of Classical and Quantum Physics | edition = revised
 | last1 = Byron | first1 = F. W.
 | last2 = Fuller | first2 = R. W.
 | author2-link = Robert W. Fuller
 | year = 1992 | orig-year = First published 1969
 | publisher = [[Dover Publications]]
 | series = Dover Books on Physics
 | url = https://archive.org/details/mathematicsofcla00byro | via = [[Internet Archive]]
 | isbn = 978-0-486-67164-2
}}
* {{cite book| title = Heisenberg and the Interpretation of Quantum Mechanics: the Physicist as Philosopher
 | last = Camilleri | first = K. | year = 2009
 | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge UK
 | isbn = 978-0-521-88484-6
}}
* {{cite book| title = A Course in Functional Analysis
 | last = Conway | first = J. B. | year = 1990
 | author-link = John B. Conway
 | publisher = [[Springer Verlag]]
 | volume = Volume 96 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | isbn = 978-0-387-97245-9
}}
* {{cite journal | title = A new notation for quantum mechanics
 | last = Dirac | first = P. A. M.
 | journal = Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
 | year = 1939 | volume = 35 | issue = 3 | pages = 416–418
 | bibcode = 1939PCPS...35..416D | doi = 10.1017/S0305004100021162
}}
* {{cite book| title = The principles of quantum mechanics | url = https://archive.org/details/principlesofquan0000unse_i1n0 | edition = 4th
 | last = Dirac | first = P. A. M. | year = 1982
 | author-link = Paul Dirac
 | publisher = Oxford University Press
 | series = The international series on monographs on physics
 | isbn = 0-19-852011-5
}}
* {{cite journal | title = Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt
 | last = Einstein | first = A.
 | author-link = Albert Einstein
 | journal = [[Annalen der Physik]]
 | year = 1905 | volume = 17 | issue = 6 | pages = 132–148
 | language = de
 | bibcode = 1905AnP...322..132E | doi = 10.1002/andp.19053220607
 | doi-access = free
 | ref=Einstein1905
}}
* {{cite journal | title = Zur Quantentheorie der Strahlung
 | last = Einstein | first = A.
 | journal = Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich
 | year = 1916 | volume = 18 | pages = 47–62
 | ref=Einstein1916
}}
* {{cite journal | title = Zur Quantentheorie der Strahlung
 | last = Einstein | first = A.
 | journal = [[Physikalische Zeitschrift]]
 | year = 1917 | volume = 18 | pages = 121–128
 | language = de
 | bibcode = 1917PhyZ...18..121E
 | ref=Einstein1917
}}
* {{cite book| title = Albert Einstein: Philosopher-Scientist | edition = 3rd
 | last = Einstein | first = A. | year = 1998
 | editor1-last = Schlipp | editor1-first = P. A.
 | publisher = Open Court | location = La Salle Publishing Company, Illinois
 | volume = VII | series = The Library of Living Philosophers
 | isbn = 978-0-87548-133-3
}}
* {{cite book| title = Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles | edition = 2nd
 | last1 = Eisberg | first1 = R.
 | last2 = Resnick | first2 = R.
 | year = 1985
 | publisher = John Wiley & Sons
 | url = https://archive.org/details/quantumphysicsof00eisb | via = [[Internet Archive]]
 | isbn = 978-0-471-87373-0
}}
* {{cite book| title = Quantum Electrodynamics | edition = 4th
 | last1 = Greiner | first1 = W.
 | last2 = Reinhardt | first2 = J.
 | author1-link = Walter Greiner
 | year = 2008
 | publisher = springer
 | url = https://books.google.com/books?id=5Kd3dBL8a64C&q=walter+greiner+Quantum+electrodynamics
 | isbn = 978-354087560-4
 | ref=GreinerReinhardt
}}
* {{cite book| title = Introduction to Quantum Mechanics | edition = 2nd
 | last = Griffiths | first = D. J. | year = 2004
 | publisher = Pearson Education | location = Essex England
 | isbn = 978-013111892-8
}}
* {{cite book| title = Introduction to elementary particles
 | last = Griffiths | first = David | year = 2008
 | publisher = Wiley-VCH
 | url = https://books.google.com/books?id=w9Dz56myXm8C&pg=PA162
 | pages = 162ff
 | isbn = 978-3-527-40601-2
}}
* {{cite book| title = The Old Quantum Theory
 | last = ter Haar | first = D. | year = 1967
 | author-link = Dirk ter Haar
 | publisher = [[Pergamon Press]]
 | url = https://archive.org/details/oldquantumtheory0000haar | url-access = registration | via = [[Internet Archive]]
 | pages = [https://archive.org/details/oldquantumtheory0000haar/page/167 167–183]
 | lccn = 66029628
}}
* {{Citation| title = Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory
 | last = Hanle | first = P.A. | year = 1977
 | journal = Isis
 | volume = 68 | issue = 4 | pages = 606–609
 | doi = 10.1086/351880
}}
* {{cite book| title = Physics and Philosophy: the Revolution in Modern Science
 | last = Heisenberg | first = W. | year = 1958
 | author-link = Werner Heisenberg
 | publisher = Harper & Row | location = New York
 | url = https://archive.org/details/physicsphilosoph0000heis | url-access = registration | via = [[Internet Archive]]
}}
* {{cite book| title = Probability Theory: The Logic of Science
 | url = https://archive.org/details/probabilitytheor0000jayn
 | last = Jaynes | first = E. T. | year = 2003
 | editor1-last = Larry | editor1-first = G.
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | isbn = 978-0-521 59271-0
}}
* {{cite book| title = Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory | edition = 3rd
 | last1 = Landau | first1 = L.D.
 | last2 = Lifshitz | first2 = E. M.
 | author1-link = Lev Landau
 | author2-link = Evgeny Lifshitz
 | year = 1977
 | publisher = [[Pergamon Press]]
 | volume = Vol. 3
 | isbn = 978-0-08-020940-1
 | ref=LandauLifshitz
}} [https://archive.org/details/QuantumMechanics_104 Online copy]
* {{cite book| title = Encyclopaedia of Physics | edition = 2nd
 | last1 = Lerner | first1 = R.G. | author1-link = Rita G. Lerner
 | last2 = Trigg | first2 = G.L.
 | year = 1991
 | publisher = VHC Publishers
 | url = https://archive.org/details/encyclopediaofph00lern | via = [[Internet Archive]]
 | isbn = 978-0-89573-752-6
}}
* {{cite book| title = Wave Mechanics
 | last = Ludwig | first = G. | year = 1968
 | publisher = Pergamon Press | location = Oxford UK
 | url = https://archive.org/details/wavemechanics0000ludw | url-access = registration | via = [[Internet Archive]]
 | isbn = 978-0-08-203204-5 | lccn = 66-30631
}}
* {{cite book| title = Particle Physics | edition = 3rd
 | last1 = Martin | first1 = B.R.
 | last2 = Shaw | first2 = G.
 | year = 2008
 | publisher = John Wiley & Sons
 | series = Manchester Physics Series
 | isbn = 978-0-470-03294-7
 | ref=MartinShaw
}}
* {{cite book| title = Niels Bohr's Philosophy of Physics
 | last = Murdoch | first = D. | year = 1987
 | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge UK
 | url = https://archive.org/details/nielsbohrsphilos0000murd | url-access = registration | via = [[Internet Archive]]
 | isbn = 978-0-521-33320-7
}}
* {{cite book| title = Quantum Physics: a Text for Graduate Student
 | url = https://archive.org/details/quantumphysicste0000newt
 | last = Newton | first = R.G. | year = 2002
 | publisher = Springer | location = New York
 | isbn = 978-0-387-95473-8
}}
* {{cite journal | title = Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons
 | last = Pauli | first = Wolfgang
 | author-link = Wolfgang Pauli
 | journal = Zeitschrift für Physik
 | year = 1927 | volume = 43 | issue = 9–10 | pages = 601–623
 | language = de
 | bibcode = 1927ZPhy...43..601P | doi = 10.1007/bf01397326
 | ref=Pauli1927
}}
* {{cite book| title = Quantum mechanics | edition = 2nd
 | last1 = Peleg | first1 = Y.
 | last2 = Pnini | first2 = R.
 | last3 = Zaarur | first3 = E.
 | last4 = Hecht | first4 = E.
 | year = 2010
 | publisher = McGraw Hill
 | series = Schaum's outlines
 | isbn = 978-0-07-162358-2
}}
* {{cite book| title = Quantum Mechanics | edition = 5th
 | last = Rae | first = A.I.M. | year = 2008
 | publisher = Taylor & Francis Group
 | volume = Volume 2
 | url = https://books.google.com/books?id=YDhHAQAAIAAJ&q=quantum+mechanics+Alastair+Rae+5th+edition
 | isbn = 978-1-5848-89700
}}
* {{cite journal | title = An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules
 | last = Schrödinger | first = E.
 | author-link = Erwin Schrödinger
 | journal = [[Physical Review]]
 | year = 1926 | volume = 28 | issue = 6 | pages = 1049–1070
 | url = http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
 | archive-date = 2008-12-17
 | bibcode = 1926PhRv...28.1049S | doi = 10.1103/PhysRev.28.1049
 | ref=Schrödinger1926
}}
* {{cite book| title = Principles of Quantum Mechanics | url = https://archive.org/details/principlesofquan0000shan_x3c9 | edition = 2nd
 | last = Shankar | first = R. | year = 1994
 | isbn = 978-030644790-7
}}
* {{cite book| title = Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics | edition = 6th
 | last1 = Tipler | first1 = P. A.
 | last2 = Mosca | first2 = G.
 | last3 = Freeman
 | year = 2008
 | isbn = 978-0-7167-8964-2
 | ref=TiplerMoscaFreeman
}}
* {{citation| title = The Quantum Theory of Fields
 | last = Weinberg | first = S. | year = 2002
 | publisher = Cambridge University Press
 | volume = 1
 | url = https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev | via = [[Internet Archive]]
 | isbn = 978-0-521-55001-7
}}
* {{citation| title = Lectures in Quantum Mechanics
 | last = Weinberg | first = S. | year = 2013
 | author-link = Steven Weinberg
 | publisher = Cambridge University Press
 | isbn = 978-1-107-02872-2
}}
* {{cite book| title = Quantum Theory and Measurement
 | last1 = Wheeler | first1 = J.A.
 | last2 = Zurek | first2 = W.H.
 | author1-link = John Archibald Wheeler
 | author2-link = Wojciech H. Zurek
 | year = 1983
 | publisher = Princeton University Press | location = Princeton NJ
 | ref=WheelerZurek
}}
* {{cite book| title = Sears' and Zemansky's University Physics | url = https://archive.org/details/searszemanskysun0002youn | edition = 12th
 | last1 = Young | first1 = H. D.
 | last2 = Freedman | first2 = R. A.
 | year = 2008
 | editor = Pearson
 | publisher = Addison-Wesley
 | isbn = 978-0-321-50130-1
 | ref=YoungFreedman
}}
* {{cite book| title = Quantum Mechanics: Concepts and Applications | edition = 2nd
 | last = Zettili | first = N. | year = 2009
 | isbn = 978-0-470-02679-3
}}
* {{cite book| title = A First Course in String Theory
 | url = https://archive.org/details/firstcourseinstr0002edzwie
 | last = Zwiebach | first = Barton
 | publisher = Cambridge University Press
 | year = 2009
 | isbn = 978-0-521-88032-9
}}
* Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. Энциклопедия, 1984. — 944 с.
* {{статья |заглавие=Practical Atomic Physics |издание=National Institute of Standards and Technology |страницы=1 (55 pages) |ссылка=http://amods.kaeri.re.kr/mcdf/lectnote.pdf |accessdate=2010-08-17 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110722141558/http://amods.kaeri.re.kr/mcdf/lectnote.pdf |archivedate=2011-07-22 |язык=und |автор=Yong-Ki Kim |число=2 |месяц=9 |год=2000}}
* {{книга |заглавие=Quantum Theory, A Very Short Introduction |ссылка=https://archive.org/details/quantumtheoryver0000polk |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |год=2002 |isbn=978-0-19-280252-1 |язык=en |автор=[[John Polkinghorne|Polkinghorne, John]]}}
{{refend}}

== Ссылки ==
* {{Из БСЭ|заглавие=Квантовая механика}}
* [http://theorphys.mipt.ru/biblio/qu-mech/QM_Gershtein.pdf Физический энциклопедический словарь: Квантовая механика"]

{{ВС}}
{{Разделы механики}}

[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Квантовая химия]]