Порядок величины

Порядок величины — класс эквивалентности ${\mathcal {C}}_{n}$ величин (или шкал) ${\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace$ , выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение $r={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}$ к соответствующим величинам предыдущего класса.

Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности ${\mathcal {C}}_{n}$ а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса $n$ при условии, что некоторый класс ${\mathcal {C}}_{0}$ был задан или подразумевается).

Порядок числа

При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию $b$ , чаще всего принимают $r=b$ и $1\in {\mathcal {C}}_{1}$ , $b\in {\mathcal {C}}_{2}$ . При этом $n$ совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

${\mathcal {C}}_{1}\supset \lbrace {}1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$
${\mathcal {C}}_{2}\supset \lbrace {}10,20,30,40,50,60,70,80,90\rbrace$
${\mathcal {C}}_{3}\supset \lbrace {}100,200,300,400,500,600,700,800,900\rbrace$

Аналогичным образом можно определить порядки чисел и для других оснований системы счисления. Чаще других рассматривают

порядки чисел по основанию $b=10$ ,
порядки чисел по основанию $b=2$
порядки чисел по основанию $b=e$ .

Порядок чисел в естественном языке

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в $10^{n}$ раз больше, где $n$ — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше». Также последнее время стало распространённым ошибочное использование выражения «порядка N», где N — некоторое число. При этом исходя из контекста понятно, что подразумевается «примерно N», что, конечно, не соответствует определению термина «порядок числа».

Порядок чисел и логарифмическая функция

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам ${\mathcal {C}}_{n},{\mathcal {C}}_{n+1},{\mathcal {C}}_{n+2},\ldots ,{\mathcal {C}}_{n+d}$ могут быть записаны как $x,rx,r^{2}x,\ldots ,r^{d}x$ , где $x\in {\mathcal {C}}_{n}$ — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.

В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то $\left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1$ .

Доказательство

Действительно, пусть числа $m\in {\mathcal {C}}_{n}$ и $M\in {\mathcal {C}}_{n}$ являются минимальным и максимальным числом, принадлежащим порядку ${\mathcal {C}}_{n}$ . Если число $x\in {\mathcal {C}}_{n}$ так же принадлежит порядку ${\mathcal {C}}_{n}$ , то его значение должно удовлетворять условию $m\leq x\leq M$ . В то же время числа $rm$ и ${\frac {1}{r}}M$ принадлежат смежным с порядком ${\mathcal {C}}_{n}$ порядкам ${\mathcal {C}}_{n+1}$ и ${\mathcal {C}}_{n-1}$ соответственно. Из этого следует, что для любого числа $x$ в данном порядке выполняется соотношение ${\frac {1}{r}}M<m\leq x\leq M<rm$ .

Пусть два числа $x_{1}$ и $x_{2}$ принадлежат данному порядку ${\mathcal {C}}_{n}$ . Тогда $-1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{\frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1$ .

Разность порядков

Если два числа $x_{1}$ и $x_{2}$ принадлежат порядкам $x_{1}\in {\mathcal {C}}_{n_{1}}$ и $x_{2}\in {\mathcal {C}}_{n_{2}}$ в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение $d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}$ иногда называют разностью порядков этих чисел.

Для двух чисел $x_{1}$ и $x_{2}$ разность их порядков может быть найдена как $d=\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor$ при $x_{2}\geq x_{1}$ .

Доказательство

Выберем число $x_{2}^{\mathord {*}}\in {\mathcal {C}}_{n_{1}}$ принадлежащее порядку ${\mathcal {C}}_{n_{1}}$ и соответствующее числу $x_{2}$ из порядка ${\mathcal {C}}_{n_{2}}$ . По определению порядка существует такое целое $d$ , что $x_{2}^{\mathord {*}}=r^{-d}x_{2}$ . Получаем, что $\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}$ .

Числа $x_{1}$ и $x_{2}^{\mathord {*}}$ принадлежат одному порядку и потому $\log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}<1$ . В то же время число $d$ является целым, а значит $d=\left\lfloor {}d\right\rfloor =\left\lfloor {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}\right\rfloor =\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor$ .

В случае $x_{2}\leq x_{1}$ разность порядков иногда берут с отрицательным знаком $d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})$ .

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение $d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$ .

В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа $x_{1}$ и $x_{2}$ различаются не более чем на полпорядка», то есть $\left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}$ или ${\frac {1}{\sqrt {r}}}x_{1}\leq x_{2}\leq {\sqrt {r}}x_{1}$ .

См. также

Ссылки

Brians, Paus Orders of Magnitude (неопр.). Дата обращения: 9 мая 2013. Архивировано 22 апреля 2017 года.
Order of Magnitude (неопр.). Wolfram MathWorld. Дата обращения: 3 января 2017. Архивировано 6 января 2017 года.