Совершенное число

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число ${\displaystyle \ 2^{p-1}(2^{p}-1)}$  является совершенным, если число ${\displaystyle \ 2^{p}-1}$  является простым (т. н. простые числа Мерсенна).^[1] Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплот�� до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.

На апрель 2010 года известно 47 чётных совершенных чисел, поиском новых таких чисел занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.

• Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: (${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots }$ ).
• Все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть могут быть представлены в виде n(2n−1).
• Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его самого), равна 2.
• Все чётные совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.
• Все совершенные числа в двоичной записи содержат сначала - n единиц, и после - (n-1)нулей.

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

• Избыточные числа
• Недостаточные числа
• Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
• Слегка недостаточные числа
• Дружественные числа
• Полусовершенные числа
• Открытые математические проблемы
• Магические числа (физика)

• Депман И. Совершенные числа // Квант. — 1991. — № 5. — С. 13-17.