Hiperboloid

Nu confundați cu Paraboloid hiperbolic.

Hiperboloid cu o pânză	Suprafață conică	Hiperboloid cu două pânze

În matematică, printr-un hiperboloid se înțelege o cuadrică, un anumit fel de suprafață tridimensională, descrisă de ecuația:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1

(Hiperboloid cu o pânză),

respectiv

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1

(Hiperboloid cu două pânze).

Ambele aceste suprafețe sunt asimptotice la aceeași suprafață conică, pe măsură ce x ori y cresc,

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0

Astfel de suprafețe se numesc hiperboloizi eliptici. Dacă și numai dacă a = b, atunci un hiperboloid eliptic devine un hiperboloid de revoluție.

Coordonate carteziene

Animație prezentând un hiperboloid de revoluție

Coordonatele carteziene pentru hiperboloizi pot fi definite similar coordonatelor sferice, menținând azimutul unghiului $\theta \in [0,2\pi )$ , dar schimbând elevația v în funcțiile hiperbolice.

Hiperboloidul cu o suprafață, $v\in (-\infty ,\infty )$ devine:

x=a\cosh v\cos \theta

y=b\cosh v\sin \theta

z=c\sinh v

Iar hiperboloidul a două suprafețe, $v\in [0,\infty )$ devine:

x=a\sinh v\cos \theta

y=b\sinh v\sin \theta

z=\pm c\cosh v

Ecuații generalizate

Generalizat, un hiperboloid arbitrar, centrat în v, este definit de ecuația:

(\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x-v} )=1,

în care A este o matrice, iar x și v sunt vectori euclidieni.

Structuri hiperboloidale

Shukhov Hyperboloid tower (1898) în Vyksa

Bibliografie

de Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie,Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
en David A. Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray (1999) Geometry, pages 39–41 Cambridge University Press.
en H.S.M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, page 130, John Wiley & Sons.

Vezi și

Legături externe

Materiale media legate de Hiperboloid la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Hyperboloid la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Elliptic Hyperboloid la MathWorld.