Geometrie hiperbolică

În planul hiperbolic distanțele pot fi măsurate în termeni de o unitate de lungime ${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$ , fiind analoagele razelor unor sfere din geometria sferică. Utilizând această unitate de lungime, există în geometria hiperbolică, o teoremă echivalentă cu teorema lui Pitagora. Dacă ${\displaystyle a,b\,}$  sunt două laturi ale unui triunghi dreptunghic, iar ${\displaystyle c\,}$  este ipotenuza sa atunci avem:

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b\,.}$ 

Funcția cosh este o funcție hiperbolică, echivalentă funcției standard cosinus. Toate cele trei funcții trigonometrice standard au echivalente hiperbolice. În trigonometrie, în relațiile ce conțin laturile și unghiurile unui triunghi hiperbolic, funcțiile hiperbolice sunt aplicate laturilor, iar funcțiile trigonometrice standard sunt aplicate unghiurilor. De exemplu, teorema sinusului într-un triunghi hiperbolic este:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}.}$ 

Spre deosebire de triunghiurile euclidiene, în care suma tuturor unghiurilor este egală cu 180° sau ${\displaystyle \pi }$  radiani, în triunghiurile hiperbolice toate cele trei unghiuri însumează mai puțin de 180°. Această diferență se datorează deficitului unghiular. Aria unui triunghi hiperbolic este dată de deficitul său înmulțit cu ${\displaystyle R^{2}}$  , unde ${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$  . Ca o consecință, toate triunghiurile hiperbolice au aria mai mică decât ${\displaystyle \pi {R^{2}}}$ . La fel ca în geometria sferică singurele triunghiuri asemenea sunt triunghiurile congruente.

În geometria hiperbolică lungimea unui cerc de rază ${\displaystyle r\,}$  este mai mare decât ${\displaystyle 2\pi r\,.}$ . De fapt este egală cu

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.}$ 

Aria discului închis este

${\displaystyle 2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)\,.}$ 

Aria suprafeței unei sfere este

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.}$ 

Orice izometrie (transformare sau deplasare) a planului hiperbolic pe el însuși poate fi realizată prin cel mult trei reflexii. În spațiul hiperbolic n-dimensional ar putea fi necesare până la n+1 reflexii. (Acestea sunt valabile și pentru geometriile euclidiene și sferice, dar clasificarea de mai jos diferă.)

Toate izometriile planului hiperbolic pot fi clasificate în următoarele clase:

• Care conservă orientarea

• izometria de identitate — nicio deplasare, reflexie; niciun grad de libertate.
• simetria față de centru (jumătate de rotație) — două reflexii față de drepte reciproc perpendiculare care trec prin punctul dat, adică o rotație de 180° în jurul punctului; două grade de libertate.
• rotația în jurul unui punct — două reflexii față de drepte care trec prin punctul respectiv (inversiunea fiind un caz particular); punctele se deplasează pe cercuri în jurul centrului; trei grade de libertate.
• "rotația" în jurul unui punct ideal — două reflexii față de drepte care duc la punctul ideal; punctele se deplasează de-a lungul oriciclelor cu centrul în punctul ideal; două grade de libertate.
• translația de-a lungul unei drepte — două reflexii față de drepte perpendiculare pe dreapta dată; punctele de pe linia dată se deplasează de-a lungul hiperciclurilor; trei grade de libertate.

• Care inversează orientarea

• reflexia față de o dreaptă — o singură reflexie; două grade de libertate.
• reflexia față de o dreaptă combinată cu o translație de-a lungul aceleiași drepte (reflexie translată) — reflexia și translația sunt comutative; sunt necesare trei reflexii; trei grade de libertate.

• Patrulaterul Saccheri
• Geometrie sferică

• en Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
• en Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co. 
• en Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (2003). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co., edited by Asmus L. Schmidt. 
• en Nikolai Lobacevski, (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
• en John Milnor, (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
• en William Reynolds, (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• en Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697. 
• en David Samuels, (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
• en James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
• en James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, volume 31.

•   Materiale media legate de geometrie hiperbolică la Wikimedia Commons