În matematică , funcțiile hiperbolice sunt analoagele funcțiilor trigonometrice , dar definite folosind hiperbola în locul cercului . La fel cum punctele (cos t , sin t ) formează un cerc [cu raza de o] unitate , punctele (ch t , sh t ) formează jumătatea dreaptă a unei hiperbole unitate . De asemenea, la fel cum derivatele lui sin t și cos t sunt cos t și –sin t , derivatele lui sh t și ch t sunt cosh t și +sinh t .
Sinus, cosinus și tangentă hiperbolică Funcțiile hiperbolice apar în calculele unghiurilor și distanțelor din geometrie hiperbolică . Ele apar, de asemenea, în soluțiile multor ecuații diferențiale liniare (cum ar fi ecuația care definește un lănțișor ), ecuații cubice și ecuația lui Laplace în coordonate carteziene . Ecuația lui Laplace este importantă în multe domenii ale fizicii , inclusiv teoria electromagnetică , transferul de căldură , dinamica fluidelor și relativitatea restrânsă .
Notațiile acestor funcții au variat, în literatura matematică în limba română s-au folosit mult notații diferite de cele folosite în limba engleză[ 1] [ 2]
Funcțiile hiperbolice de bază și inversele lor sunt:[ 3] [ 4]
Funcția
Notația în[ 2] [ 1]
Notația în[ 5]
Funcția inversă
Notația în[ 2]
Notația în[ 5]
sinus hiperbolic
sinh
sinh
arcsinus hiperbolic
arcsinh, arcsh
arcsinh
cosinus hiperbolic
cosh
cosh
arccosinus hiperbolic
arccosh, arcch
arccosh
tangentă hiperbolică
tanh
tanh
arctangentă hiperbolică
arctanh
arctanh
cotangentă hiperbolică
coth
coth
arccotangentă hiperbolică
arccoth
arccoth
secantă hiperbolică
–
sech
arcsecantă hiperbolică
–
arcsech
cosecantă hiperbolică
–
cosech
arccosecantă hiperbolică
–
arccsch
O „rază” în hiperbola unitate x 2 − y 2 = 1(cosh a , sinh a ) , unde a este dublul ariei dintre rază, hiperbolă și axa x . În punctele de pe hiperbolă sub axa x aria este considerată negativă (v. o animație de comparație cu funcțiile trigonometrice) Argumentul unei funcții hiperbolice este un număr real , numit unghi hiperbolic . Mărimea unui unghi hiperbolic este de două ori aria sectorului său hiperbolic . Funcțiile hiperbolice pot fi definite în termenii unui triunghi hiperbolic drept care acoperă acest sector.
În analiza complexă , funcțiile hiperbolice apar ca părți imaginare ale sinusului și ale cosinusului. Sinusul hiperbolic și cosinusul hiperbolic sunt funcții întregi . Ca rezultat, celelalte funcții hiperbolice sunt meromorfe în întregul plan complex.
Teorema Lindemann–Weierstrass afirmă că funcțiile hiperbolice au o valoare transcendentală pentru orice valoare algebrică nenulă a argumentului.[ 6]
Funcțiile hiperbolice au fost introduse în anii 1760 independent de Vincenzo Riccati și Johann Heinrich Lambert .[ 7] Sc. Cc. italiană sinus/cosinus circulare ) pentru a se referi la funcțiile trigonometrice și Sh. Ch. italiană sinus/cosinus hyperbolico ) pentru a se referi la funcțiile hiperbolice. Lambert a adoptat numele, dar a modificat abrevierile cu cele utilizate astăzi.[ 8] sh , ch , th , cth sunt și ele utilizate în prezent, în funcție de preferințele personale.
sinh , cosh și tanh csch , sech și coth Există diferite moduri echivalente de a defini funcțiile hiperbolice.
sinh x este jumătate din diferența dintre ex e −x cosh x este media aritmetică a ex e −x Folosind funcția exponențială :[ 4] [ 9]
Sinusul hiperbolic:
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
=
e
2
x
−
1
2
e
x
=
1
−
e
−
2
x
2
e
−
x
.
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
Cosinusul hiperbolic:
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
=
e
2
x
+
1
2
e
x
=
1
+
e
−
2
x
2
e
−
x
.
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
Tangenta hiperbolică:
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
Cotangenta hiperbolică, pentru x ≠ 0
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
Secanta hiperbolică:
sech
x
=
1
cosh
x
=
2
e
x
+
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
+
1
{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}
Cosecanta hiperbolică, pentru x ≠ 0
csch
x
=
1
sinh
x
=
2
e
x
−
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
−
1
{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}
Funcțiile hiperbolice pot fi definite ca soluții ale ecuațiilor diferențiale : sinusul și cosinusul hiperbolic sunt soluția unică (s ,c ) a sistemului:
c
′
(
x
)
=
s
(
x
)
s
′
(
x
)
=
c
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}
astfel încât
s (0) = 0c (0) = 1
(Condițiile inițiale
s
(
0
)
=
0
{\displaystyle s(0)=0}
c
(
0
)
=
1
{\displaystyle c(0)=1}
(
a
e
x
+
b
e
−
x
,
a
e
x
−
b
e
−
x
)
{\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}
De asemenea, sinh x și cosh x sunt unica soluție a ecuației f ″(x ) = f (x )f (0) = 1f ′(0) = 0f (0) = 0f ′(0) = 1
modificare
Funcțiile hiperbolice pot fi deduse din funcțiile trigonometrice de argument complex :
Sinusul hiperbolic:[ 4]
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}
Cosinusul hiperbolic:[ 4]
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}
Tangenta hiperbolică:
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}
Cotangenta hiperbolică:
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}
Secanta hiperbolică:
sech
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}
Cosecanta hiperbolică:
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}
unde i este unitatea imaginară cu i 2 = −1
Definițiile de mai sus sunt legate de definițiile exponențiale prin formula lui Euler .
Se poate arăta că aria de sub curba cosinusului hiperbolic (pe un interval finit) este întotdeauna egală cu lungimea arcului corespunzătoare acelui interval:[ 10]
area
=
∫
a
b
cosh
x
d
x
=
∫
a
b
1
+
(
d
d
x
cosh
x
)
2
d
x
=
arc length.
{\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}
Tangenta hiperbolică este unica soluție a ecuației diferențiale
f ′ = 1 − f 2 f (0) = 0[ 11] [ 12]
Funcțiile hiperbolice satisfac multe identități, toate similare ca formă cu identitățile trigonometrice. De fapt, regula lui Osborn [ 13]
θ
{\displaystyle \theta }
2
θ
{\displaystyle 2\theta }
3
θ
{\displaystyle 3\theta }
θ
{\displaystyle \theta }
φ
{\displaystyle \varphi }
Funcții pare și impare:
sinh
(
−
x
)
=
−
sinh
x
cosh
(
−
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}
de unde:
tanh
(
−
x
)
=
−
tanh
x
coth
(
−
x
)
=
−
coth
x
sech
(
−
x
)
=
sech
x
csch
(
−
x
)
=
−
csch
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
prin urmare cosh x și sech x sunt funcții pare; celelalte fiind impare.
arsech
x
=
arcosh
(
1
x
)
arcsch
x
=
arsinh
(
1
x
)
arcoth
x
=
artanh
(
1
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}
Sinusul și cosinusul hiperbolic satisfac relațiile:
cosh
x
+
sinh
x
=
e
x
cosh
x
−
sinh
x
=
e
−
x
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}
ultima fiind similară cu identitatea trigonometrică pitagoreică .
Între alte funcții există și relațiile:
sech
2
x
=
1
−
tanh
2
x
csch
2
x
=
coth
2
x
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
în particular
cosh
(
2
x
)
=
sinh
2
x
+
cosh
2
x
=
2
sinh
2
x
+
1
=
2
cosh
2
x
−
1
sinh
(
2
x
)
=
2
sinh
x
cosh
x
tanh
(
2
x
)
=
2
tanh
x
1
+
tanh
2
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}
Și:
sinh
x
+
sinh
y
=
2
sinh
(
x
+
y
2
)
cosh
(
x
−
y
2
)
cosh
x
+
cosh
y
=
2
cosh
(
x
+
y
2
)
cosh
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
sinh
(
x
−
y
)
=
sinh
x
cosh
y
−
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
−
y
)
=
cosh
x
cosh
y
−
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
−
y
)
=
tanh
x
−
tanh
y
1
−
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
Și:[ 14]
sinh
x
−
sinh
y
=
2
cosh
(
x
+
y
2
)
sinh
(
x
−
y
2
)
cosh
x
−
cosh
y
=
2
sinh
(
x
+
y
2
)
sinh
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
sinh
(
x
2
)
=
sinh
x
2
(
cosh
x
+
1
)
=
sgn
x
cosh
x
−
1
2
cosh
(
x
2
)
=
cosh
x
+
1
2
tanh
(
x
2
)
=
sinh
x
cosh
x
+
1
=
sgn
x
cosh
x
−
1
cosh
x
+
1
=
e
x
−
1
e
x
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}
unde sgn este semnul funcției.
Dacă x ≠ 0[ 15]
tanh
(
x
2
)
=
cosh
x
−
1
sinh
x
=
coth
x
−
csch
x
{\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}
sinh
2
x
=
1
2
(
cosh
2
x
−
1
)
cosh
2
x
=
1
2
(
cosh
2
x
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\frac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\frac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}
Următoarea inegalitate este utilă în statistici:[ 16]
cosh
(
t
)
≤
e
t
2
/
2
{\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}}
Ea poate fi demonstrată comparând termen cu termen seriile Taylor ale celor două funcții.
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
x
⩾
1
artanh
(
x
)
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
|
x
|
<
1
arcoth
(
x
)
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
|
x
|
>
1
arsech
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
−
1
)
=
ln
(
1
+
1
−
x
2
x
)
0
<
x
⩽
1
arcsch
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
+
1
)
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geqslant 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
d
d
x
tanh
x
=
1
−
tanh
2
x
=
sech
2
x
=
1
cosh
2
x
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
csch
2
x
=
−
1
sinh
2
x
x
≠
0
d
d
x
sech
x
=
−
tanh
x
sech
x
d
d
x
csch
x
=
−
coth
x
csch
x
x
≠
0
d
d
x
arsinh
x
=
1
x
2
+
1
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
−
1
1
<
x
d
d
x
artanh
x
=
1
1
−
x
2
|
x
|
<
1
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
−
x
2
1
<
|
x
|
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
0
<
x
<
1
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}
Fiecare dintre funcțiile sinh și cosh este egală cu derivata a doua a lor, adică:
d
2
d
x
2
sinh
x
=
sinh
x
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x\,}
d
2
d
x
2
cosh
x
=
cosh
x
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}
Toate funcțiile cu această proprietate sunt combinații liniare de sinh și cosh , în particular de funcțiile exponențiale
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}}
∫
sinh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
cosh
(
a
x
)
+
C
∫
cosh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
sinh
(
a
x
)
+
C
∫
tanh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
cosh
(
a
x
)
)
+
C
∫
coth
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
sinh
(
a
x
)
)
+
C
∫
sech
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
arctan
(
sinh
(
a
x
)
)
+
C
∫
csch
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
tanh
(
a
x
2
)
)
+
C
=
a
−
1
ln
|
coth
(
a
x
)
−
csch
(
a
x
)
|
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C=a^{-1}\ln \left|\coth(ax)-\operatorname {csch} (ax)\right|+C\end{aligned}}}
Următoarele integrale pot fi demonstate cu ajutorul substituției hiperbolice:
∫
1
a
2
+
u
2
d
u
=
arsinh
(
u
a
)
+
C
∫
1
u
2
−
a
2
d
u
=
arcosh
(
u
a
)
+
C
∫
1
a
2
−
u
2
d
u
=
a
−
1
artanh
(
u
a
)
+
C
u
2
<
a
2
∫
1
a
2
−
u
2
d
u
=
a
−
1
arcoth
(
u
a
)
+
C
u
2
>
a
2
∫
1
u
a
2
−
u
2
d
u
=
−
a
−
1
arsech
(
u
a
)
+
C
∫
1
u
a
2
+
u
2
d
u
=
−
a
−
1
arcsch
|
u
a
|
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}
unde C este constanta de integrare .
Funcțiile de mai sus pot fi dezvoltate în serie Taylor la zero (sau serie Laurent , dacă funcția nu este definită în zero).
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
Această serie este convergentă pentru orice valoare complexă a x . Deoarece funcția sinh x este impară, numai exponenții impari ai lui x
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
Această serie este convergentă pentru orice valoare complexă a x . Deoarece funcția cosh x este pară, numai exponenții pari ai lui x
Suma seriilor sinh și cosh este expresia seriei infinite a funcției exponențiale .
Următoarele serii sunt urmate de o descriere a unui subdomeniu al domeniului convergenței lor, în care seria este convergentă și suma sa este egală cu funcția.
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
coth
x
=
x
−
1
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
csch
x
=
x
−
1
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}
unde:
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
n -lea număr Bernoulli
E
n
{\displaystyle E_{n}\,}
n -lea număr Euler
Cercul și hiperbola tangente în (1,1) arată geometria funcțiilor trigonometrice în funcție de aria u a sectorului de cerc și funcțiile hiperbolice în funcție aria u a sectorului hiperbolic Funcțiile hiperbolice sunt o generalizare a trigonometriei dincolo de funcțiile trigonometrice. Ambele tipuri sunt în funcție de un argument, unghi , respectiv unghi hiperbolic .
Deoarece aria unui sector de cerc cu raza r și unghiul u (în radiani) este
r
2
u
2
{\displaystyle {\frac {r^{2}u}{2}}}
u când r = √2 . În diagramă, un astfel de cerc este tangent la hiperbola "xy" = 1 în (1,1). Sectorul portocaliu descrie o zonă și un unghi. Similar, sectoarele portocaliu și roșu prezintă împreună zona și mărimea unghiului hiperbolic.
Catetele opuse unghiului ale celor două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuza pe rază au lungimea de √2 ori funcțiile trigonometrică, respectiv hiperbolică.
Unghiul hiperbolic este invariant la o rotație hiperbolică , la fel cum unghiul (trigonometric) este invariant la o rotație.[ 17]
Funcția Gudermann oferă o relație directă între funcțiile trigonometrice și cele hiperbolice care nu implică numere complexe.
Graficul funcției a cosh(x /a ) este lănțișorul , curba formată sub acțiunea gravitației uniforme de un lanț flexibil uniform, liber, agățat doar între două puncte fixe.
Funcțiile hiperbolice se pot defini algebric in absența considerentelor geometrice legate de hiperbolă folosind funcția exponențială de argumente x și -x . Acest procedeu permite deducerea identităților:
e
x
=
cosh
x
+
sinh
x
,
{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}
și
e
−
x
=
cosh
x
−
sinh
x
.
{\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}
Prima este analogă cu formula lui Euler
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
.
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
În plus,
e
x
=
1
+
tanh
x
1
−
tanh
x
=
1
+
tanh
x
2
1
−
tanh
x
2
{\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}
modificare
Deoarece funcția exponențială poate fi definită pentru orice argument complex, definițiile funcțiilor hiperbolice pot fi extise la argumente complexe. Funcțiile sinh z și cosh z sunt atunci olomorfe .
Relațiile cu funcțiile trigonometrice obișnuite sunt date de formula lui Euler pentru numerele complexe:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}
deci:
cosh
(
i
x
)
=
1
2
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
=
cos
x
sinh
(
i
x
)
=
1
2
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
=
i
sin
x
cosh
(
x
+
i
y
)
=
cosh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
sinh
(
x
)
sin
(
y
)
sinh
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
tanh
(
i
x
)
=
i
tan
x
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}
Astfel, funcțiile hiperbolice sunt periodice în raport cu componenta imaginară, cu perioada
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i\,}
π
i
{\displaystyle \pi i\,}
Funcții hiperbolice în planul complex
sinh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sinh} (z)}
cosh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {cosh} (z)}
tanh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {tanh} (z)}
coth
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {coth} (z)}
sech
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (z)}
csch
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (z)}
^ a b Remus Răduleț și colab. Lexiconul Tehnic Român , ediția a doua, Editura Tehnică, București, 1957-1966, „funcții hiperbolice ”
^ a b c Octavian Mircia Gurzău, Curs scurt de matematici speciale Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca , 2017, accesat 2021-03-29
^ en „Comprehensive List of Algebra Symbols” . Math Vault . 25 martie 2020 . Accesat în 29 august 2020 . ^ a b c d en Weisstein, Eric W. „Hyperbolic Functions” . mathworld.wolfram.com . Accesat în 29 august 2020 .
^ a b en (1999) Collins Concise Dictionary , 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN: 0 00 472257 4
^ en Niven, Ivan (1985 ). Irrational Numbers . 11 . Mathematical Association of America . ISBN 9780883850381 . JSTOR 10.4169/j.ctt5hh8zn . ^ en Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.^ en Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.^ en „Hyperbolic Functions” . www.mathsisfun.com . Accesat în 29 august 2020 . ^ en N.P., Bali (2005 ). Golden Integral Calculus ISBN 81-7008-169-6 . ^ en Willi-hans Steeb (2005 ). Nonlinear Workbook, The: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic With C++, Java And Symbolicc++ Programs (3rd Edition) ISBN 978-981-310-648-2 . Extract of page 281 (using lambda=1) ^ en Keith B. Oldham; Jan Myland; Jerome Spanier (2010 ). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator ISBN 978-0-387-48807-3 . Extract of page 290 ^ en Osborn, G. (iulie 1902). „Mnemonic for hyperbolic formulae” . The Mathematical Gazette 2 (34): 189. doi :10.2307/3602492 . JSTOR 3602492 . ^ en Martin, George E. (1986 ). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (ed. 1st corr.). New York: Springer-Verlag. p. 416. ISBN 3-540-90694-0 . ^ en „Prove the identity” . StackExchange (mathematics) . Accesat în 24 ianuarie 2016 . ^ en Audibert, Jean-Yves (2009 ). „Fast learning rates in statistical inference through aggregation”. The Annals of Statistics. p. 1627. [1] ^ en Mellen W. Haskell, "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society 1 :6:155–9, full text
