Marcel Riesz

Marcel Riesz
Teorema da representação de Riesz
Nascimento	16 de novembro de 1886 Győr
Morte	4 de setembro de 1969 (82 anos) Lund
Sepultamento	Cemitério de Norra
Nacionalidade	húngaro
Cidadania	Hungria, Suécia
Filho(a)(s)	Margit Ingrid Riesz-Pleijel
Irmão(ã)(s)	Frigyes Riesz
Alma mater	Universidade Eötvös Loránd
Ocupação	matemático, professor universitário
Empregador(a)	Universidade de Lund, Universidade de Estocolmo, Universidade de Maryland
Orientador(a)(es/s)	Leopold Fejér
Orientado(a)(s)	Otto Frostman, Lars Gårding, Harald Cramér, Einar Carl Hille, Lars Hörmander
Instituições	Universidade de Lund
Campo(s)	matemática
Tese	1912
Obras destacadas	F. and M. Riesz theorem, teorema de Riesz–Thorin, M. Riesz extension theorem, potencial de Riesz, função de Riesz, transformada de Riesz, média de Riesz
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Marcel Riesz (Győr, 16 de novembro de 1886 — Lund, 4 de setembro de 1969) foi um matemático húngaro, conhecido por trabalhar em métodos de soma, teoria do potencial e outras partes da análise, bem como teoria dos números, equações diferenciais parciais e álgebras de Clifford. Ele passou a maior parte de sua carreira em Lund, Suécia.

Marcel é o irmão mais novo de Frigyes Riesz, que também era um matemático importante e às vezes trabalhavam juntos.

Marcel Riesz nasceu em Győr, Áustria-Hungria; ele era o irmão mais novo do matemático Frigyes Riesz. Ele obteve seu PhD na Universidade Eötvös Loránd sob a supervisão de Lipót Fejér. Em 1911, mudou-se para a Suécia a convite de Magnus Gösta Mittag-Leffler. De 1911 a 1925, ele lecionou em Stockholms högskola (hoje Universidade de Estocolmo). De 1926 a 1952, ele foi professor na Universidade de Lund. Depois de se aposentar, ele passou 10 anos em universidades nos Estados Unidos. Ele voltou para Lund em 1962 e morreu lá em 1969.^[1][2]

Riesz foi eleito membro da Real Academia Sueca de Ciências em 1936.^[1]

O trabalho de Riesz como aluno de Fejér em Budapeste foi dedicado às séries trigonométricas:

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left\{a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right\}.\,}$

Um de seus resultados afirma que, se

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|a_{n}|+|b_{n}|}{n^{2}}}<\infty ,\,}$

e se as médias de Fejer da série tendem a zero, então todos os coeficientes a _n e b _n são zero.^[3]

Seus resultados sobre soma de séries trigonométricas incluem uma generalização do teorema de Fejér para os meios de Cesàro de ordem arbitrária.^[4] Ele também estudou a soma de poder e as séries de Dirichlet, e foi co-autor de um livro Hardy & Riesz (1915) sobre o último com GH Hardy.^[3]

Em 1916, ele introduziu a fórmula de interpolação de Riesz para polinômios trigonométricos, que lhe permitiu apresentar uma nova prova da desigualdade de Bernstein.^[5]

Ele também introduzida a função Riesz Riesz ( x ), e mostrou que a hipótese de Riemann é equivalente ao limite Riesz ( x ) = S ( x ^{1 / ₄  +  ε} ) como x  → ∞, para qualquer ε  > 0.^[6]

Junto com seu irmão Frigyes Riesz, ele provou o teorema F. e M. Riesz, o que implica, em particular, que se μ é uma medida complexa no círculo unitário tal que

${\displaystyle \int z^{n}d\mu (z)=0,n=1,2,3\cdots ,\,}$

então a variação | μ | de µ e a medida de Lebesgue no círculo são mutuamente absolutamente contínuas.^[5][7]

Parte do trabalho analítico de Riesz na década de 1920 usou métodos de análise funcional.

No início da década de 1920, ele trabalhou no problema do momento , ao qual introduziu a abordagem teórica do operador ao provar o teorema de extensão de Riesz (que antecedeu o teorema de Hahn-Banach intimamente relacionado).^[8][9]

Mais tarde, ele desenvolveu um teorema de interpolação para mostrar que a transformada de Hilbert é um operador limitado em L _p (1 <  p  <∞). A generalização do teorema de interpolação por seu aluno Olaf Thorin é agora conhecida como teorema de Riesz – Thorin.^[2][10]

Riesz também estabeleceu, independentemente de Andrey Kolmogorov, o que agora é chamado de critério de compactação de Kolmogorov-Riesz em L _p: um subconjunto K  ⊂ L _p ( R ⁿ ) é pré-compactado se e somente se as três seguintes condições forem válidas: (a) K é limitado;

(b) para cada ε  > 0 existe R  > 0 de modo que

${\displaystyle \int _{|x|>R}|f(x)|^{p}dx<\epsilon ^{p}\,}$

para todo f  ∈  K;

(c) para cada ε  > 0 existe ρ  > 0 de modo que

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x+y)-f(x)|^{p}dx<\epsilon ^{p}\,}$

para cada y  ∈  R ⁿ com | y | <  Ρ , e cada f  ∈  K.^[11]

Depois de 1930, os interesses de Riesz mudaram para a teoria do potencial e equações diferenciais parciais. Ele fez uso de "potenciais generalizados", generalizações da integral de Riemann-Liouville. Em particular, Riesz descobriu o potencial de Riesz, uma generalização da integral de Riemann-Liouville para uma dimensão maior que um.

Nas décadas de 1940 e 1950, Riesz trabalhou nas álgebras de Clifford. Suas notas de aula de 1958, cuja versão completa só foi publicada em 1993 (Riesz (1993)), foram apelidadas pelo físico David Hestenes de "a parteira do renascimento" das álgebras de Clifford.^[12]

Os alunos de doutorado de Riesz em Estocolmo incluem Harald Cramér e Einar Carl Hille.^[1] Em Lund, Riesz supervisionou as teses de Otto Frostman, Lars Hörmander e Olaf Thorin.^[2]

• Hardy, G. H.; Riesz, M. (1915). The general theory of Dirichlet's series. Cambridge University Press. JFM 45.0387.03.
• Riesz, Marcel (1988). Collected papers. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-18115-6. MR 0962287.
• Riesz, Marcel (1993) [1958]. Clifford numbers and spinors. Fundamental Theories of Physics. 54. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 978-0-7923-2299-3. MR 1247961.

• Literatura de e sobre Marcel Riesz (em alemão) no catálogo da Biblioteca Nacional da Alemanha
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Marcel Riesz», MacTutor History of Mathematics archive (em inglês), Universidade de St. Andrews 
• Marcel Riesz (em inglês) no Mathematics Genealogy Project