Método de Frobenius

Em matemática, o método de Frobenius, referente a Ferdinand Georg Frobenius, é uma maneira de encontrar uma solução em série infinita de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem da forma

${\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0}$

sendo

${\displaystyle u'\equiv {{du} \over {dz}}}$   e   ${\displaystyle u''\equiv {{d^{2}u} \over {dz^{2}}}}$

nas vizinhanças do ponto singular regular ${\displaystyle z=0}$. Dividindo a expressão por ${\displaystyle z^{2}}$, obtém-se a seguinte equação diferencial:

${\displaystyle u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0}$

que não será solúvel pelo método das séries de potências se p(z)/z ou q(z)/z² não forem analítica em z = 0. O método de Frobenius permite criar uma solução em série de potências para tal equação diferencial, contanto que p(z) e q(z) sejam analíticas em 0 ou, sendo analíticas em outro intervalo, contanto que os limites de p e q existam em z = 0 (e sejam finitos).

O método de Frobenius afirma que existe um solução da forma: $${\displaystyle u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$$

Diferenciando em relação a ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}$$ $${\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}$$

Substituindo na equação (1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u\\&=z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}]+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r)A_{k}z^{k+r}]+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }[A_{k}z^{k+r}]\\&=\sum _{k=0}^{\infty }([(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}]+p(z)[(k+r)A_{k}z^{k+r}]+q(z)[A_{k}z^{k+r}])\\&=\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)]A_{k}z^{k+r}\\0&=(r(r-1)+p(z)r+q(z))A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}\end{aligned}}}$$

A expressão ${\displaystyle r\left(r-1\right)+p(0)r+q(0)=:I(r)}$ é conhecido como polinômio indicial, que é quadrático em ${\displaystyle r.}$

Usando isto, a expressão geral do coeficiente ${\displaystyle z^{k+r}}$ é dada por: $${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}}$$ Estes coeficientes devem se anular, uma vez que a equção deve ser satisfeita: $${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=0}$$ $${\displaystyle \sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=-I(k+r)A_{k}}$$ $${\displaystyle {1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_{j}=A_{k}}$$ A série formada pelos A_k acima, $${\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$$ satisfaz $${\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}}$$ Se ${\displaystyle r}$ é uma raiz do polinômio indicial, então podemos construir uma solução para a equação. Se a diferença entre as raízes do polinômio indicial não é um número inteiro, então podem-se construir duas solução linearmente independentes para (1).

Os pontos singulares da equação diferencial

${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$

são os pontos ${\displaystyle x_{0}}$ onde

${\displaystyle P(x_{0})=0}$

Se os seguintes limites existem^[1]:

${\displaystyle {A=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {xQ(x)}{P(x)}}\qquad B=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {x^{2}R(x)}{P(x)}}}}$

diz-se que o ponto ${\displaystyle x_{0}}$ é um ponto singular regular.

Se ${\displaystyle x=0}$ for um ponto singular regular, existirá pelo menos uma solução da forma

${\displaystyle y(x)=x^{r}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+r}}$

A função ${\displaystyle f(x)}$ é analítica em ${\displaystyle x=0}$ e podemos admitir, sem perder nenhuma generalidade, que ${\displaystyle f(0)}$ é diferente de zero (se ${\displaystyle f(0)}$ for nula, fatoriza-se ${\displaystyle x,}$ e redefinem-se ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle f}$ ficando ${\displaystyle f(0)}$ diferente de zero). ^[1]

Isso implica que a constante ${\displaystyle a_{0}}$ seja também diferente zero:

${\displaystyle a_{0}=\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {y}{x^{r}}}=f(0)\neq 0}$

As derivadas ${\displaystyle y'}$ e ${\displaystyle y''}$ são

${\displaystyle {\begin{aligned}&y'=\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)a_{n}x^{n+r-1}\\&y''=\sum _{n=0}^{\infty }(n+r)(n+r-1)a_{n}x^{n+r-2}\end{aligned}}}$

Para calcular o valor do índice ${\displaystyle r}$ primeiro observamos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 0}x^{1-r}y'&=&ra_{0}\\\lim _{x\rightarrow 0}x^{2-r}y''&=&r(r-1)a_{0}\end{aligned}}}$

a seguir multiplicamos a equação diferencial por ${\displaystyle x^{2-r}}$ e dividimos por P

${\displaystyle x^{2-r}y''+{\frac {xQ}{P}}x^{1-r}y'+{\frac {x^{2}R}{P}}x^{-r}y=0}$

No limite ${\displaystyle x=0}$ e usando as constantes ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ definidas acima

Das equações obtemos:

${\displaystyle [r(r-1)+Ar+B]a_{0}=0}$

Como ${\displaystyle a_{0}}$ é diferente de zero, ${\displaystyle r}$ deverá ser solução da chamada equação indicial:

${\displaystyle r(r-1)+Ar+B=0}$

Para cada raiz real ${\displaystyle r}$ da equação indicial substituímos as séries para ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle y'}$ e ${\displaystyle y''}$ na equação diferencial e procedemos da mesma forma que no método das séries, para calcular os coeficientes ${\displaystyle a_{n}.}$ ^[1]

Cada raiz conduz a uma solução; se as duas soluções forem diferentes, a solução geral será a combinação linear das duas.

Em geral, cada raiz da equação indicial pode conduzir a uma solução em séries de potências. No entanto, em alguns casos é possível encontrar apenas uma solução. O teorema que se segue indica como determinar a solução geral por meio de séries de potências.

teorema Frobenius

Se ${\displaystyle r_{1}}$ e ${\displaystyle r_{2}}$ são duas raízes da equação indicial (em ${\displaystyle x=0}$) de uma equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular em ${\displaystyle x=0,}$ existem três casos, a depender dos valores de ${\displaystyle r_{1}}$ e ${\displaystyle r_{2}:}$

• Se ${\displaystyle r_{1}-r_{2}}$ for diferente de zero e diferente de um número inteiro,

cada raiz conduz a uma solução diferente.

• Se ${\displaystyle r_{1}=r_{2},}$ é possível obter uma única solução ${\displaystyle y_{1}}$ a partir do

método de Frobenius. A segunda solução terá a forma:

${\displaystyle y_{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+r_{1}}+y_{1}\ln \ x}$

onde a sucessão ${\displaystyle b_{n}}$ deverá ser obtida por substituição de ${\displaystyle y_{2}}$ na equação diferencial.^[1]

• Se ${\displaystyle r_{1}-r_{2}}$ for um número inteiro, existirá uma solução ${\displaystyle y_{1}}$ com a

forma usada no método de Frobenius. A segunda solução será:

${\displaystyle y_{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+r_{2}}+cy_{1}\ln \ x}$

onde ${\displaystyle c}$ é uma constante.^[1]

Nos casos em que ${\displaystyle c=0,}$ a segunda solução tem também a forma do método de Frobenius, o qual implica que aplicando o método de Frobenius é possível encontrar as duas soluções ${\displaystyle y_{1}}$ e ${\displaystyle y_{2}}$ linearmente independentes.

Quando ${\displaystyle c}$ não é nula, o método de Frobenius permite encontrar apenas uma solução e a segunda solução deverá ser encontrada por substituição da forma geral de ${\displaystyle y_{2}}$ na equação diferencial.^[1]

Com as duas soluções encontradas seguindo o método indicado pelo teorema de Frobenius, a solução geral será:

${\displaystyle y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)}$

Em alguns casos as condições fronteira exigem que ${\displaystyle y}$ seja finita na origem o qual implica ${\displaystyle C_{2}=0,}$ se ${\displaystyle r_{2}<0}$ ou ${\displaystyle r_{2}=r_{1},}$ já que nos dois casos a segunda solução é divergente na origem.^[1]

Se ${\displaystyle r_{1}-r_{2}}$ é um inteiro e o método de Frobenius conduz a uma única solução ${\displaystyle y_{1},}$ ${\displaystyle C_{2}}$ será também nula e não será preciso calcular ${\displaystyle y_{2}.}$

Referências

• Portal da matemática