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{{Teoria quântica de campos}}
Na [[teoria quântica de campos]], o '''intervalo de massa''' é a diferença entre a [[energia do vácuo]] e próximo menor estado de [[energia]] possível. A energia do vácuo pode ser definida por zero, e assumindo que todos estados de energia podem ser descritos como [[Partícula fundamental|partículas]] em [[Função de onda|funções de onda]], o intervalo de massa é a massa da partícula mais leve.

Já que a energia exata do [[valor próprio]] é infinitamente espalhada, logo excluída de uma descrição [[matemática]] formal, uma descrição mais apurada é que o intervalo de massa é a energia [[Ínfimo|ínfima]] de qualquer estado que seja ortogonal em relação ao [[vácuo]].

== Definição ==
Para um dado campo [[Número real|real]] <math>\phi(x)</math>, pode-se dizer que a teoria possui um intervalo de massa se uma qualquer de dois pontos possui a propriedade

:<math>\langle\phi(0,t)\phi(0,0)\rangle\sim \sum_nA_n\exp\left(-\Delta_nt\right)</math>

onde <math>\Delta_0>0</math> é o menor valor energético no espectro do [[hamiltoniano]], ou seja, é o intervalo de massa. Esta quantidade, facilmente generalizada para outros campos, é uma medida generalizada na [[teoria do retículo gauge]]. Isto foi matematicamente provado desta forma que pela [[teoria de Yang-Mills]] se desenvolve um intervalo de massa. O [[propagador]] terá a propriedade

:<math>\lim_{p\rightarrow 0}\Delta(p)=\mathrm{constante}</math>

sendo a constante finita. Um exemplo típico é oferecido por uma partícula massiva e livre, neste caso, a constante possui o valor <math>1/{m^2}</math>. No mesmo limite, o propagador para a partícula sem massa será singular.

== Exemplo ==
Um exemplo de intervalo de massa para teorias de partículas sem massa, pode ser visto na [[quebra espontânea de simetria]] ou no [[mecanismo de Higgs]]. No primeiro caso, tem-se que lidar com a aparência de excitações sem massa, [[Bóson de Goldstone]], que são removidos pelo último caso devido a [[Teoria de gauge|liberdade de gauge]]. A quantização preserva esta propriedade.

Um [[quark]] escalar sem massa pela teoria quântica de campos desenvolve um intervalo de massa de níveis clássicos. Então considere-se

:<math>\Box\phi+\lambda\phi^3=0.</math>

esta equação possui a seguinte solução

:<math>\phi(x)=\mu\left(\frac{2}{\lambda}\right)^\frac{1}{4}{\rm sn}\left(p\cdot x+\theta,-1\right)</math>

onde <math>\mu</math> e <math>\theta</math> possuem [[Integral|integrais]] [[constante matemática|constante]]s e <math>sn</math> é uma [[Funções elípticas de Jacobi|função elíptica de Jacobi]], fornece

:<math>p^2=\mu^2\sqrt{\frac{\lambda}{2}}.</math>

== Representação de Källén-Lehmann ==
Se a [[representação espectral de Källén-Lehmann]] se confirmar, neste estágio se excluiria as teorias de gauge, pois a função de [[densidade espectral]] pode ser descrita de forma simples com um espectro discreto com um intervalo de massa

:<math>\rho(\mu^2)=\sum_{n=1}^NZ_n\delta(\mu^2-m_n^2)+\rho_c(\mu^2)</math>

onde <math>\rho_c(\mu^2)</math> é a contribuição das partículas do espectro. Neste caso o propagador terá a seguinte forma

:<math>\Delta(p)=\sum_{n=1}^N\frac{Z_n}{p^2-m^2_n+i\epsilon}+\int_{4m_N^2}^\infty d\mu^2\rho_c(\mu^2)\frac{1}{p^2-\mu^2+i\epsilon}</math>

sendo <math>4m_N^2</math> aproximadamente o ponto inicial do setor de partículas. Agora, utilizando-se o facto que

:<math>\int_0^\infty d\mu^2\rho(\mu^2)=1</math>

Obtém-se a seguinte conclusão para as constantes na densidade espectral

:<math>1=\sum_{n=1}^NZ_n+\int_0^\infty d\mu^2\rho_c(\mu^2)</math>.

É importante enfatizar que esta representação ainda não foi comprovada numa teoria de gauge,

== Ver também ==
* [[Quebra espontânea de simetria]]
* [[Existência de Yang–Mills e o intervalo de massa]]

== Ligações externas ==
* {{Link|en|2=http://claymath.msri.org/yangmillsexistence.mov |3=Vídeo aula a respeito da natureza do problema intervalo de massa com a formulação de Yang-Mills |4=- [[Mathematical Sciences Research Institute]]}}
* {{Link|en|2=http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Cubic_NLW/NLKG |3=Intervalo de massa para teorias escalares de campo |4=- [[Universidade de Toronto]]}}

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[[Categoria:Teoria quântica de campos]]

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