Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Se x e y são vectores com n coordenadas a desigualdade toma a forma

$${\displaystyle (a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}).}$$ 

Em análise esta desigualdade pode ser aplicada a séries infinitas.

Como a desigualdade é trivialmente verdadeira no caso y = 0, podemos assumir que ${\displaystyle \langle y,y\rangle }$  é diferente de zero.

Seja ${\displaystyle \lambda }$  um número complexo. Então, $${\displaystyle 0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -{\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle -\lambda \langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .}$$ 

Escolhendo $${\displaystyle \lambda =\langle x,y\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}$$  temos que

$${\displaystyle 0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}$$ 

o que é verdadeiro, se e somente se

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }$$ 

ou de modo equivalente:

$${\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|.}$$  Q.E.D.

Se ${\displaystyle y}$  for o vector nulo, o resultado é imediatamente verdadeiro. Suponhamos, agora, que ${\displaystyle y\neq 0.}$ 

Para um número real ${\displaystyle t,}$  arbitrário, tem-se, pelas propriedades do produto interno:

$${\displaystyle \langle x-ty,x-ty\rangle \geq 0}$$ 

Desenvolvendo esta desigualdade:

$${\displaystyle \langle x-ty,x-ty\rangle \geq 0\Leftrightarrow \left(x-ty\right)^{T}\left(x-ty\right)\geq 0}$$  $${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-ty\right)^{T}\left(x-ty\right)\geq 0\Leftrightarrow \left(x^{T}-ty^{T}\right)\left(x-ty\right)\geq 0}$$  $${\displaystyle \Leftrightarrow x^{T}x-tx^{T}y-ty^{T}x+t^{2}y^{T}y\geq 0\Leftrightarrow x^{T}x-2tx^{T}y+t^{2}y^{T}y\geq 0}$$  $${\displaystyle \Leftrightarrow x^{T}x-2tx^{T}y+t^{2}y^{T}y\geq 0}$$ 

O membro do lado esquerdo desta equação é um polinómio do segundo grau em ${\displaystyle t,}$  com a concavidade voltada para cima, pois o termo em ${\displaystyle t^{2}}$  é a norma de um vector. Assim sendo, só será não-negativo (condição necessária para manter a desigualdade) se não tiver zeros, o que só acontece se o seu binómio discriminante for menor ou igual que zero. Simbolicamente:

$${\displaystyle \Leftrightarrow x^{T}x-2tx^{T}y+t^{2}y^{T}y\geq 0\Leftrightarrow \left(-2x^{T}y\right)^{2}-4y^{T}yx^{T}x\leq 0}$$  $${\displaystyle \Leftrightarrow 4\left(\left(x^{T}y\right)^{2}-y^{T}yx^{T}x\right)\leq 0\Leftrightarrow \left(x^{T}y\right)^{2}-y^{T}yx^{T}x\leq 0}$$ 

Sabendo que ${\displaystyle x^{T}x=\langle x,x\rangle =\|x\|^{2},}$ 

$${\displaystyle \Leftrightarrow \langle x,y\rangle ^{2}-\|x\|^{2}\|y\|^{2}\leq 0\Leftrightarrow \langle x,y\rangle ^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}}$$ 

$${\displaystyle \Leftrightarrow \langle x,y\rangle \leq \|x\|\|y\|.}$$  Q.E.D.

Para a última parte do teorema, basta observar que apenas haverá igualdade se a função em ${\displaystyle t}$  tiver uma única raiz real, o que só acontece se ${\displaystyle \langle x-ty,x-ty\rangle =0}$  e implica que ${\displaystyle x=ty,}$  que é o mesmo que dizer que os vectores são linearmente dependentes.

• Desigualdade triangular