Sistema adiabático

A equação matemática para um gás ideal passando por um processo adiabático reversível é

${\displaystyle PV^{\gamma }=\operatorname {constante} \qquad }$ 

onde P é a pressão, V é o volume, e

${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\frac {f+2}{f}}}$ 

${\displaystyle C_{P}}$  sendo o calor específico para pressão constante, ${\displaystyle C_{V}}$  sendo o calor específico para volume constante, ${\displaystyle \gamma }$  é o coeficiente de expansão adiabática, e ${\displaystyle f}$  é o número de graus de liberdade (3 para um gás monoatômico, 5 para um gás diatômico e moléculas colineares).

Para um gás ideal monoatômico, ${\displaystyle \gamma =5/3\,}$ , e para um gás diatômico (como nitrogênio e oxigênio, principais componentes do ar) ${\displaystyle \gamma =7/5\,}$ .^[4] Note que a fórmula acima se aplica somente a gases ideais clássicos e não Bose–Einstein ou Fermi gases.

Para processos adiabáticos reversíveis, também é correto afirmar que

${\displaystyle P^{1-\gamma }T^{\gamma }=\operatorname {constante} }$ 

${\displaystyle VT^{f/2}=\operatorname {constante} }$ 

onde T é uma temperatura absoluta.

Isto também pode ser escrito como

${\displaystyle TV^{\gamma -1}=\operatorname {constante} }$ 

Vejamos agora um exemplo comum de compressão adiabática, - a compressão em um cilindro de um motor de combustão interna. Faremos algumas suposições simples: que o volume descompactado do cilindro é 1000 cm³ (um litro), que o gás em seu interior é quase que puramente nitrogênio (portanto um gás diatômico com cinco graus de liberdade e assim ${\displaystyle \gamma }$  = 7/5), e a taxa de compressão do motor é 10:1 (isto é, o volume de 1000 cm³ de gás descompactado irá comprimir-se até 100 cm³ quando o pistão for de baixo para cima). O gás descompactado está aproximadamente a temperatura e pressão ambientes (temperatura de 27 °C, e pressão de 1 atm ~ 7005100000000000000♠100000 Pa).

${\displaystyle PV^{\gamma }=\operatorname {constante} =100.000\operatorname {Pa} \cdot 1000^{7/5}=100\times 10^{3}\cdot 15,8\times 10^{3}=1,58\times 10^{9}}$ 

então nossa constante adiabática para esse experimento é aproximadamente 1.58 bilhões.

O gás é agora compactado até um volume de 100 cm³ (iremos supor que isso ocorre suficientemente rápido para que nenhum calor penetre ou deixe o gás). O novo volume é 100 cm³, mas a constante para esse experimento ainda é 1.58 bilhões:

${\displaystyle PV^{\gamma }=\operatorname {constante} =1,58\times 10^{9}=P\cdot 100^{7/5}}$ 

resolvendo para P:

${\displaystyle P=1,58\times 10^{9}/{100^{7/5}}=1,58\times 10^{9}/630,9=2,50\times 10^{6}\operatorname {Pa} }$ 

ou em torno de 24.5 atm. Note que esse aumento da pressão é mais do que uma simples taxa de compressão de 10:1 indicaria; isso porque o gás não é somente compactado, mas o trabalho exercido para comprimir o gás também o aquece, e quanto mais quente o gás maior a pressão, mesmo que o volume não tenha mudado.

Podemos resolver para a temperatura do gás compactado no cilindro do motor também, usando a lei dos gases ideais. Nossas condições iniciais são 7005100000000000000♠100000 Pa para pressão, 1000 cm³ de volume, e 300 K para temperatura, então nossa constante experimental é:

${\displaystyle {PV \over T}=\operatorname {constante} ={{10^{5}\cdot 10^{3}} \over {300}}=3,33\times 10^{5}}$ 

Sabemos que o gás compactado possui um V = 100 cm³ e P = 2.5E6 pa, então podemos resolver para a temperatura por simples álgebra:

${\displaystyle {PV \over {\operatorname {constante} }}=T={{2,50\times 10^{6}\cdot 100} \over {3,33\times 10^{5}}}=751}$ 

Essa é uma temperatura final de 751 K, ou 477 °C, bem acima do ponto de ignição de muitos combustíveis. É por isso que um motor de alta compressão requer combustíveis especialmente formulados para não entrarem em autoignição (o que causaria o bater das bielas do motor quando operado sob estas condições de temperatura e pressão), ou que um supercompressor e intercooler que forneçam uma temperatura menor mantendo a mesma pressão. Um motor a diesel opera sob condições ainda mais extremas, com taxas de compressão de 20:1 ou mais, para fornecer uma alta temperatura de gás, que garanta a ignição imediata do combustível injetado.

Para uma expansão adiabática livre de um gás ideal, o gás é contido em um recipiente isolado^[5] e então liberado para expandir em um vácuo. Como não há pressão externa contra qual o gás se expandir, o trabalho realizado pelo sistema é zero. Como esse processo não envolve nenhuma transferência de calor ou trabalho, a primeira lei da termodinâmica implica uma variação de energia interna de rede igual a zero. Para um gás ideal, a temperatura permanece constante porque a energia interna depende somente da temperatura neste caso. Como à temperatura constante a entropia é proporcional ao volume, a entropia aumenta neste caso, portanto esse processo é irreversível.

A definição de um processo adiabático é que a transferência de calor ao sistema deve ser zero, ${\displaystyle \delta Q=0}$ . Então, de acordo com a primeira lei da termodinâmica,^[6]

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad dU+\delta W=\delta Q=0}$ 

onde dU é a variação da energia interna do sistema e δW é o trabalho realizado pelo sistema. Qualquer trabalho (δW) realizado deve ser feito à

custo da energia interna U, já que nenhum calor δQ está sendo fornecido do ambiente. Pressão-volume trabalho δW feito pelo sistema é

definido como

${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \delta W=P\,dV}$ 

Entretanto, P não permanece constante durante um processo adiabático porém muda juntamente com V.

Deseja-se saber como os valores de dP e dV relacionam-se entre si conforme o processo procede. Para um gás ideal a energia interna é dada por

${\displaystyle {\text{(3)}}\qquad U=\alpha nRT,}$ 

onde ${\displaystyle {\alpha }}$  é o número de graus de liberdade dividido por dois, R é a constante universal dos gases perfeitos e n é o número de mols no sistema (uma constante).

Diferenciando a equação (3) e usando a lei dos gases ideais, ${\displaystyle PV=nRT}$ , gera

${\displaystyle {\text{(4)}}\qquad dU=\alpha nR\,dT=\alpha \,d(PV)=\alpha (P\,dV+V\,dP)}$ 

A equação (4) é geralmente expressada como ${\displaystyle dU=nC_{V}\,dT}$ , pois ${\displaystyle C_{V}=\alpha R}$ .

Agora substituindo as equações (2) e (4) na equação (1) para obter

${\displaystyle -P\,dV=\alpha P\,dV+\alpha V\,dP}$ 

simplificando:

${\displaystyle -(\alpha +1)P\,dV=\alpha V\,dP}$ 

e dividindo ambos os lados por PV:

${\displaystyle -(\alpha +1){dV \over V}=\alpha {dP \over P}}$ 

Depois de integrar os lados esquerdo e direito de V₀ a V e de P₀ a P e mudando os lados respectivamente,

${\displaystyle \ln \left({P \over P_{0}}\right)={-{\alpha +1 \over \alpha }}\ln \left({V \over V_{0}}\right)}$ 

Exponencie ambos os lados,

${\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }}}$ 

e elimine o sinal negativo para obter

${\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }}$ 

Portanto,

${\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }=1}$ 

e

${\displaystyle PV^{\alpha +1 \over \alpha }=P_{0}V_{0}^{\alpha +1 \over \alpha }=PV^{\gamma }=\operatorname {constante} }$ 

A variação na energia interna de um sistema, medida de um estado 1 até um estado 2, é igual a

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \Delta U=\alpha Rn_{2}T_{2}-\alpha Rn_{1}T_{1}=\alpha R(n_{2}T_{2}-n_{1}T_{1})}$ 

Ao mesmo tempo, o trabalho realizado pela pressão–volume muda como um resultado desse processo, é igual a

${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV}$ 

Como queremos que o processo seja adiabático, a seguinte equação deve ser verdadeira

${\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \Delta U+W=0}$ 

Pela derivação anterior,

${\displaystyle {\text{(4)}}\qquad PV^{\gamma }={\text{constant}}=P_{1}V_{1}^{\gamma }}$ 

Rearranjando (4) temos

${\displaystyle P=P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }}$ 

Substituindo isso em (2) temos

${\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }\,dV}$ 

Integrando,

${\displaystyle W=P_{1}V_{1}^{\gamma }{\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}}$ 

Substituindo ${\displaystyle \gamma ={\frac {\alpha +2}{\alpha }}}$ ,

${\displaystyle W=-{\frac {\alpha }{2}}P_{1}V_{1}^{\gamma }\left(V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }\right)}$ 

Rearranjando,

${\displaystyle W=-{\frac {\alpha }{2}}P_{1}V_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}$ 

Usando a lei dos gases ideais e presumindo uma quantidade molar constante (como normalmente ocorre em casos práticos),

${\displaystyle W=-{\frac {\alpha }{2}}nRT_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}$ 

Pela fórmula contínua,

${\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{-\gamma }}$ 

Ou,

${\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{-1 \over \gamma }={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$ 

Substituindo na expressão anterior para W,

${\displaystyle W=-{\frac {\alpha }{2}}nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}$ 

Substituindo essa expressão em (1) e em (3) temos

${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}nR(T_{2}-T_{1})={\frac {\alpha }{2}}nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}$ 

Simplificando,

${\displaystyle T_{2}-T_{1}=T_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}$ 

Simplificando,

${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1=\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1}$ 

Simplificando,

${\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}$ 

Uma adiabata é a curva de entropia constante no diagrama PxV. As propriedades das adiabatas num diagrama PxV são:

1. Cada adiabata se aproxima assintoticamente tanto do eixo V como do eixo P (assim como as isotermas).
2. Cada adiabata intercepta cada isoterma exatamente uma vez.
3. Uma adiabata parece similar a uma isoterma, exceto que durante uma expansão, uma adiabata perde mais pressão que uma isotérma, então possui uma inclinação mais íngreme (mais vertical).
4. Se isotérmas são côncavas na direção nordeste (45°), então adiabátas são côncavas na direção "leste nordeste" (31°).
5. Se são feitos diversos gráficos das adiabatas e isotermas a mudanças regulares de entropia e temperatura, respectivamente (como altitude em um mapa de contornos), então conforme o olho se move em direção aos eixos (direção sudoeste), parece que a densidade de isotermas permanece constante, mas ele ve a densidade das adiabatas crescer. A exceção é muito próxima de zero absoluto, onde a densidade de adiabátas cai bruscamente e elas se tornam raras.

O seguinte diagrama é um diagrama PxV com a superposição de adiabatas e isotermas:

• Resfriamento adiabático
• Vento Foehn
• Expansão livre

• Article in HyperPhysics Encyclopaedia

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