Rugownik

Rugownik – typ funkcji, której argumentami są pary wielomianów lub – z innej perspektywy – ich współczynniki, co czyni rugownik funkcją wielu zmiennych; jest zdefiniowany wyznacznikiem opisanym niżej. Kluczową własnością rugownika jest to, że wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.

Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym ${\displaystyle K{:}}$

${\displaystyle F(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},}$

${\displaystyle G(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+b_{2}x^{m-2}+\ldots +b_{m}.}$

Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia ${\displaystyle n+m}$ postaci^[a][1]:

${\displaystyle \mathrm {R} (F,G)={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&0&0&\dots &0\\0&a_{0}&a_{1}&\dots &a_{n-1}&a_{n}&0&\dots &0\\0&0&a_{0}&\dots &a_{n-2}&a_{n-1}&a_{n}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}&0&0&\dots &0\\0&b_{0}&b_{1}&\dots &b_{m-1}&b_{m}&0&\dots &0\\0&0&b_{0}&\dots &b_{m-2}&b_{m-1}&b_{m}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}\end{vmatrix}}.}$

Przyjmuje się dodatkowo, że ${\displaystyle \mathrm {R} (0,G)=\mathrm {R} (F,0)=0.}$

Dla dowolnych wielomianów ${\displaystyle F,G,H}$ zachodzi:

• ${\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=(-1)^{\deg F\cdot \deg G}\cdot \mathrm {R} (G,F),}$
• ${\displaystyle \mathrm {R} (F\cdot H,G)=\mathrm {R} (F,G)\cdot \mathrm {R} (H,G),}$
• ${\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle G}$ mają wspólny pierwiastek.

• Istnieją takie wielomiany ${\displaystyle v,w,}$ że ${\displaystyle v\cdot F+w\cdot G=\mathrm {R} (F,G).}$

Niech ${\displaystyle F,G}$ będą postaci

${\displaystyle F(t)=(t-x_{1})(t-x_{2})\dots (t-x_{s}),}$

${\displaystyle G(t)=(t-y_{1})(t-y_{2})\dots (t-y_{r}).}$

Wtedy ${\displaystyle \mathrm {R} (F,G)=\prod _{i=1}^{s}\prod _{j=1}^{r}(x_{i}-y_{j})}$^[b].

Rozpatrzmy układ równań wielomianowych ${\displaystyle f(x,y)=0,g(x,y)=0;}$ ${\displaystyle f,g}$ – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg ${\displaystyle y}$ uzyskujemy:

${\displaystyle f_{0}(x)y^{s}+f_{1}(x)y^{s-1}+f_{2}(x)y^{s-2}+\ldots +f_{s}(x),}$

${\displaystyle g_{0}(x)y^{t}+g_{1}(x)y^{t-1}+g_{2}(x)y^{t-2}+\ldots +g_{t}(x),}$

gdzie ${\displaystyle f_{0},g_{0}}$ są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:

${\displaystyle \mathrm {R} (x)={\begin{vmatrix}f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)&0&0&\dots &0\\0&f_{0}(x)&f_{1}(x)&\dots &f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&0&\dots &0\\0&0&f_{0}(x)&\dots &f_{s-2}(x)&f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)\\g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)&0&0&\dots &0\\0&g_{0}(x)&g_{1}(x)&\dots &g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&0&\dots &0\\0&0&g_{0}(x)&\dots &g_{t-2}(x)&g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)\end{vmatrix}}.}$

Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg ${\displaystyle x,}$ tworzy się rugownik ${\displaystyle \mathrm {S} (y).}$ Można udowdnić, że gdy para ${\displaystyle (a,b)}$ jest rozwiązaniem układu równań ${\displaystyle f(x,y)=0,g(x,y)=0,}$ zachodzi ${\displaystyle \mathrm {R} (a)=0}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {S} (b)=0.}$

Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli ${\displaystyle R,S}$ są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ odciętej i ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{l}}$ rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par ${\displaystyle (a_{i},b_{j})}$ są rozwiązaniami układu równań.

• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, s. 300–318.

• Przemysław Koprowski, Rugownik – twierdzenie Sylvestera, kanał autorski na YouTube, 21 kwietnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Resultant, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-04-26].
• Resultant (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].