Filtr grzebieniowy

Filtr grzebieniowy – jeden z podstawowych rodzajów filtrów stosowanych w przetwarzaniu sygnału. Jego działanie polega na dodawaniu sygnału do jego opóźnionej wersji, co powoduje wzmacnianie, bądź wygaszanie poszczególnych składowych częstotliwościowych poprzez zjawisko interferencji. W charakterystyce częstotliwościowej filtra grzebieniowego występują regularnie powtarzające się minima (ang. notch) nadające jej wygląd „grzebienia”.

Spośród licznych zastosowań filtrów grzebieniowych wymienić można:

• Kaskadowe filtry całkująco-grzebieniowe (ang. cascaded integrator-comb filters, CIC), szeroko stosowane do zapobiegania aliasingowi w operacjach interpolacji i decymacji, zmieniających częstotliwość próbkowania w systemach czasu dyskretnego.
• Filtry grzebieniowe 2D i 3D implementowane sprzętowo (rzadziej programowo) w dekoderach systemu PAL i NTSC. Ich zadaniem jest redukcja artefaktów typu „dot crawl”.
• Efekty dźwiękowe, takie jak np. echo czy flanger oraz falowodowa synteza dźwięku. Przykładowo, dla opóźnienia rzędu kilku milisekund, filtr grzebieniowy może być użyty do modelowania efektu akustycznej fali stojącej w cylindrycznej komorze rezonansowej bądź w drgającej strunie.
• W astronomii, tzw. „astro-comb” może potencjalnie zwiększyć precyzję istniejących spektrografów niemal stukrotnie.

W akustyce, filtracja grzebieniowa występuje niekiedy samorzutnie (i zwykle jest niepożądana). Przykładowo, jeśli dwa głośniki odtwarzają ten sam sygnał w różnej odległości od słuchacza, wystąpi efekt filtracji grzebieniowej^[1]. Ponadto, w każdej zamkniętej przestrzeni, słuchacz odbiera mieszaninę dźwięków bezpośrednich i odbitych od ścian, podłogi, sufitu, mebli i innych przedmiotów. Ponieważ dźwięk odbity przebywa dłuższą drogę do słuchacza, stanowi tym samym opóźnioną wersję dźwięku bezpośredniego, co również powoduje wystąpienie efektu filtracji grzebieniowej^[2].

Filtry grzebieniowe występują w dwóch podstawowych postaciach: bez sprzężenia zwrotnego i ze sprzężeniem zwrotnym i mogą być implementowane jako filtry cyfrowe bądź analogowe. Zostanie tu szczegółowo omówiony przypadek cyfrowy (przypadek analogowy opisuje się podobnie).

Ogólna struktura filtru tego typu przedstawiona jest na powyższym schemacie, a jego odpowiedź określa równanie różnicowe:

${\displaystyle y(n)=x(n)+\alpha x(n-k),}$

gdzie ${\displaystyle \textstyle k}$ jest opóźnieniem (mierzonym liczbą próbek), zaś ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ jest współczynnikiem skalującym określającym stopień wzmocnienia/wygaszenia sygnału opóźnionego.

Stosując transformację ${\displaystyle \textstyle z}$ do obu stron tego równania otrzymuje się:

${\displaystyle Y(z)=X(z)\left(1+\alpha z^{-k}\right),}$

skąd oblicza się transmitancję:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=1+\alpha z^{-k}={\frac {z^{k}+\alpha }{z^{k}}}.}$

Charakterystykę częstotliwościową układu dyskretnego otrzymuje się rozważając jego funkcję transmitancji dla argumentów leżących na okręgu jednostkowym w dziedzinie ${\displaystyle \textstyle z,}$ tj. dla ${\displaystyle \textstyle z=e^{j\omega }.}$ A zatem, dla tego filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego otrzymuje się:

${\displaystyle H(e^{j\omega })=1+\alpha e^{-j\omega k}.}$

Stosując wzór Eulera otrzymuje się równoważnie:

${\displaystyle H(e^{j\omega })=1+\alpha \cos {\omega k}-j\alpha \sin {\omega k}.}$

Obliczając moduł powyższego wyrażenia otrzymuje się charakterystykę amplitudową filtru:

${\displaystyle |H(e^{j\omega })|={\sqrt {\left(\Re \{{H(e^{j\omega })}\}\right)^{2}+\left(\Im \{{H(e^{j\omega })}\}\right)^{2}}}={\sqrt {\left(1+\alpha \cos {\omega k}\right)^{2}+\left(\alpha \sin {\omega k}\right)^{2}}},}$

skąd ostatecznie:

${\displaystyle |H(e^{j\omega })|={\sqrt {1+\alpha ^{2}+2\alpha \cos {\omega k}}}.}$

Zauważając, że składnik ${\displaystyle \textstyle (1+\alpha ^{2})}$ jest stały, podczas gdy ${\displaystyle \textstyle 2\alpha \cos {\omega k}}$ zmienia się okresowo wraz ze zmianą ${\displaystyle \textstyle \omega .}$ A zatem odpowiedź amplitudowa filtru grzebieniowego jest okresowa, z okresem ${\displaystyle \textstyle {\frac {2\pi }{k}}.}$

Na poniższym rysunku przedstawiono charakterystykę amplitudową filtru grzebieniowego dla ${\displaystyle \textstyle k=2}$ i kilku wybranych wartości ${\displaystyle \textstyle \alpha >0.}$ Jednostką osi odciętych jest znormalizowana częstotliwość (a zatem wartości ${\displaystyle \textstyle 2\pi }$ odpowiada częstotliwość próbkowania sygnału dyskretnego, a wartości ${\displaystyle \textstyle \pi }$ – częstotliwość Nyquista).

Zauważając, że dla powyższego przykładu (${\displaystyle \textstyle k=2,}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$) pierwsze minimum charakterystyki filtru występuje w punkcie ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}},}$ co odpowiada sygnałowi o okresie czterech próbek (tzn. o częstotliwości ${\displaystyle \textstyle 4\times }$ mniejszej niż częstotliwość próbkowania). Istotnie, jeśli uwzględni się fakt, że opóźnienie o ${\displaystyle \textstyle k=2}$ próbki oznacza dla tego sygnału po prostu odwrócenie fazy, to łatwo zauważyć, iż po zsumowaniu z sygnałem oryginalnym otrzyma się sygnał zerowy (dla ${\displaystyle \textstyle \alpha =1}$). Dla ${\displaystyle \textstyle 0<\alpha <1}$ uzyskane wygaszenie sygnału będzie częściowe.

Dla sygnału o maksymalnej częstotliwości (połowa częstotliwości próbkowania, i.e. dwie próbki na okres) jego opóźnienie o ${\displaystyle \textstyle k=2}$ próbki daje sygnał oryginalny, a zatem dla ${\displaystyle \textstyle \alpha =1}$ na wyjściu sumatora otrzyma się sygnał o dwukrotnie większej amplitudzie. Odpowiada to widocznemu maksimum charakterystyki dla ${\displaystyle \textstyle \omega =\pi .}$

Na kolejnym rysunku zaprezentowano przypadek gdy ${\displaystyle \textstyle \alpha <0.}$

Zauważając, że minima charakterystyki odpowiadają maksimom z rysunku (dla ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$) i vice versa. Dla ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$ minima występują dla częstotliwości:

${\displaystyle f={\frac {f_{s}}{2k}},{\frac {3f_{s}}{2k}},{\frac {5f_{s}}{2k}},\dots }$

gdzie ${\displaystyle \textstyle f_{s}}$ to częstotliwość próbkowania sygnału.

Zauważając też, że wartości w minimach i maksimach charakterystyki amplitudowej są równoodległe od jedności, a w przypadku gdy ${\displaystyle \textstyle \alpha =\pm 1}$ minima osiągają wartość zero.

Filtr grzebieniowy bez sprzężenia zwrotnego jest jednym z najprostszych filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej^[3]. Jego odpowiedź impulsowa składa się po prostu z wyjściowego impulsu powtórzonego po ${\displaystyle \textstyle k}$ próbkach.

Rozważając licznik i mianownik funkcji transmitancji filtru grzebieniowego bez sprzężenia zwrotnego:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{k}+\alpha }{z^{k}}}.}$

należy zauważyć, że mianownik ma miejsce zerowe (biegun transmitancji) dla ${\displaystyle \textstyle z=0,}$ zaś miejsca zerowe licznika (zera transmitancji) występują dla takich ${\displaystyle \textstyle z,}$ dla których ${\displaystyle \textstyle z^{k}=-\alpha .}$ Ich liczba wynosi dokładnie ${\displaystyle \textstyle k,}$ jak widać na rysunkach poniżej, a ich położenia pokrywają się z minimami charakterystyki częstotliwościowej. Zauważając, że dla ${\displaystyle \textstyle \alpha =-1}$ zera transmitancji odpowiadają zespolonym pierwiastkom ${\displaystyle \textstyle k}$-tego stopnia z jedności.

Ten wariant filtru grzebieniowego charakteryzuje następujące równanie różnicowe:

${\displaystyle y(n)=x(n)+\alpha y(n-k),}$

Przekształcając to równanie tak, aby mieć wszystkie składniki zależne od sygnału wyjściowego ${\displaystyle \textstyle y}$ po lewej stronie i stosując transformację ${\displaystyle \textstyle z}$ do obu stron otrzymuje się:

${\displaystyle \left(1-\alpha z^{-k}\right)Y(z)=X(z),}$

skąd oblicza się transmitancję:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-k}}}={\frac {z^{k}}{z^{k}-\alpha }}.}$

Podstawiając ${\displaystyle \textstyle z=e^{j\omega }}$ we wzorze na transmitancję otrzymuje się charakterystykę częstotliwościową filtru ze sprzężeniem zwrotnym:

${\displaystyle H(e^{j\omega })={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega k}}}.}$

Analogicznie jak dla wersji bez sprzężenia zwrotnego, pamiętając że moduł odwrotności liczby zespolonej, to odwrotność modułu, otrzymuje się charakterystykę amplitudową:

${\displaystyle |H(e^{j\omega })|={\frac {1}{\sqrt {1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos {\omega k}}}}.}$

Jest ona okresowa, podobnie jak w przypadku bez sprzężenia zwrotnego i podobnie jak tam maksima dla dodatnich wartości ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ odpowiadają minimom dla ujemnych ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ i vice versa. Dla ${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$ maksima występują dla częstotliwości:

${\displaystyle f=0,{\frac {f_{s}}{k}},{\frac {2f_{s}}{k}},{\frac {3f_{s}}{k}},\dots }$

gdzie ${\displaystyle \textstyle f_{s}}$ to częstotliwość próbkowania sygnału.

W przeciwieństwie do filtru bez sprzężenia zwrotnego, wartości w minimach i maksimach charakterystyki amplitudowej nie są tu równoodległe od jedności (maksima przyjmują wartość ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{1-\alpha }}}$). Zauważając też, że sprzężenie zwrotne powoduje, że filtr jest stabilny tylko dla ${\displaystyle \textstyle |\alpha |<1,}$ a wraz ze wzrostem wartości ${\displaystyle \textstyle |\alpha |,}$ od 0 do 1, amplituda maksimów gwałtownie rośnie.

Filtr grzebieniowy ze sprzężeniem zwrotnym to prosty filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej^[4]. Jeżeli jest stabilny, jego odpowiedź impulsowa składa się z ciągu powtarzających się impulsów o amplitudzie stopniowo malejącej wraz z czasem.

Z uwagi na postać wielomianu w mianowniku funkcji transmitancji:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-k}}}={\frac {z^{k}}{z^{k}-\alpha }}.}$

należy zauważyć, że jego miejsca zerowe (bieguny transmitancji) występują dla takich ${\displaystyle \textstyle z,}$ dla których ${\displaystyle \textstyle z^{k}=\alpha .}$ Ich liczba wynosi dokładnie ${\displaystyle \textstyle k,}$ jak widać na rysunkach poniżej, a ich położenia pokrywają się z maksimami charakterystyki częstotliwościowej. Dla ${\displaystyle \textstyle |\alpha |<1}$ bieguny transmitancji znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej, a zatem filtr jest stabilny. Licznik transmitancji przyjmuje wartość 0, gdy ${\displaystyle \textstyle z^{k}=0,}$ co daje ${\displaystyle \textstyle k}$ zer funkcji transmitancji w punkcie ${\displaystyle \textstyle z=0.}$

Filtr grzebieniowy może być również zdefiniowany jako układ z czasem ciągłym. Filtr bez sprzężenia zwrotnego opisuje się następująco:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha x(t-\tau ),}$

gdzie opóźnienie ${\displaystyle \textstyle \tau }$ wyrażone jest w sekundach (a nie w liczbie próbek, jak w przypadku dyskretnym). Transmitancja tego filtru:

${\displaystyle H(s)=1+\alpha e^{-s\tau },}$

charakteryzuje się występowaniem nieskończonej liczby zer wzdłuż osi ${\displaystyle \textstyle j\omega .}$ Filtr ze sprzężeniem zwrotnym:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha y(t-\tau ),}$

posiada funkcję transmitancji w postaci:

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1-\alpha e^{-s\tau }}},}$

charakteryzującą się występowaniem nieskończonej liczby biegunów wzdłuż osi ${\displaystyle \textstyle j\omega .}$

• filtr cyfrowy
• przetwarzanie sygnałów