Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki

Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki – w teorii przemiennych algebr Banacha twierdzenie charakteryzujące funkcjonały liniowo-multiplikatywne na zespolonych, przemiennych algebrach Banacha z jedynką. Twierdzenie udowodnione niezależnie przez Gleasona^[1] oraz Kahane i Żelazkę^[2].

Niech ${\displaystyle A}$ będzie algebrą Banacha z jedynką ${\displaystyle 1.}$ Niech ${\displaystyle GL(A)}$ oznacza grupę elementów odwracalnych w ${\displaystyle A}$ oraz niech ${\displaystyle f\in A^{*}}$ będzie niezerowym funkcjonałem liniowo-multiplikatywnym na ${\displaystyle A.}$ Wówczas

• ${\displaystyle f(1)=1.}$ Rzeczywiście, ${\displaystyle f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1).}$ Oznacza to, że ${\displaystyle f(1)}$ jest skalarem równym swojemu kwadratowi, czyli ${\displaystyle f(1)=0}$ lub ${\displaystyle f(1)=1.}$ Pierwszy przypadek jest jednak niemożliwy, ponieważ ${\displaystyle f}$ jest niezerowym funkcjonałem, a ${\displaystyle f(a)=f(1)f(a)}$ dla każdego ${\displaystyle a\in A,}$ skąd ${\displaystyle f(1)=1.}$
• Dla każdego ${\displaystyle a\in GL(A)}$ wartość ${\displaystyle f(a)}$ jest niezerowa. Rzeczywiście, ${\displaystyle 1=f(1)=f(a)\cdot f(a^{-1}).}$

Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki gwarantuje, że te dwie własności charakteryzują funkcjonały liniowo-multiplikatywne na zespolonych przemiennych algebrach Banacha z jedynką.

Niech ${\displaystyle A}$ będzie zespoloną, przemienną algebrą Banacha z jedynką ${\displaystyle 1}$ oraz niech ${\displaystyle f\in A^{*}}$ będzie ograniczonym, niezerowym funkcjonałem liniowym. Wówczas ${\displaystyle f}$ jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy

• ${\displaystyle f(1)=1,}$
• ${\displaystyle f(a)\neq 0}$ dla każdego ${\displaystyle a\in GL(A).}$

Innymi słowy ${\displaystyle f}$ jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle a\in A}$ wartość ${\displaystyle f(a)}$ należy do ${\displaystyle \sigma (a),}$ tj. widma elementu ${\displaystyle a.}$

• E. Kaniuth, A Course in Commutative Banach Algebras Grad. Texts in Math., vol. 246, Springer, New York (2009), s. 45.