Układ pierwiastkowy

Układ pierwiastkowy – skończony zbiór ${\displaystyle R}$ wektorów przestrzeni wektorowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ spełniający następujące warunki:

1. ${\displaystyle R}$ nie zawiera wektora zerowego i generuje przestrzeń ${\displaystyle V,}$
2. dla każdego ${\displaystyle \alpha \in R}$ istnieje taki element ${\displaystyle \alpha ^{*}\in V^{*},}$ gdzie ${\displaystyle V^{*}}$ jest przestrzenią sprzężoną z ${\displaystyle V,}$ że ${\displaystyle \alpha ^{*}(\alpha )=2}$ i endomorfizm ${\displaystyle s_{\alpha }:x\mapsto x-\alpha ^{*}(x)\alpha }$ przestrzeni ${\displaystyle V}$ odwzorowuje ${\displaystyle R}$ w siebie.
3. ${\displaystyle n(\alpha ,\beta )=\beta ^{*}(\alpha )}$ dla każdych ${\displaystyle \alpha ,\beta \in R}$^[1]