Twierdzenie Wilsona

Najpierw załóżmy, że ${\displaystyle p}$  jest liczbą pierwszą. Twierdzenie zachodzi dla ${\displaystyle p=2}$  oraz ${\displaystyle p=3.}$  Więc dodatkowo załóżmy, że ${\displaystyle p>3.}$  Klasy liczb całkowitych mod ${\displaystyle p}$  tworzą ciało ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$  Rozpatrzmy w nim równanie:

${\displaystyle x^{2}=1.}$ 

Ma ono te same rozwiązania co równanie ${\displaystyle x^{2}-1=0,}$  czyli

${\displaystyle (x-1)\cdot (x+1)=0.}$ 

W ciele iloczyn niezerowych czynników jest niezerowy. Więc jedynymi rozwiązaniami powyższego równania są ${\displaystyle x=1}$  oraz ${\displaystyle x=-1}$  (w ciele ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$  dla ${\displaystyle p}$  różnego od 2, zachodzi nierówność ${\displaystyle -1\neq 1}$ ). Wynika stąd, że jedynymi elementami ciała ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$  które są odwrotne do siebie, są 1 i –1. Zatem zbiór pozostałych niezerowych elementów ciała rozpada się na rozłączne pary elementów ${\displaystyle \{x,y\}}$  o iloczynie ${\displaystyle x\cdot y=1,}$  gdzie ${\displaystyle x\neq y.}$  Stąd wnioskujemy iż iloczyn wszystkich, poza 1 oraz –1, niezerowych elementów ciała, jako iloczyn iloczynów takich par, wynosi 1, co oznacza, że:

${\displaystyle 2\cdot \ldots \cdot (p-2)\equiv 1\mod p.}$ 

Po przemnożeniu powyższej kongruencji przez ${\displaystyle p-1,}$  czyli przez ${\displaystyle -1}$  (co jest tym samym mod ${\displaystyle p}$ ), oraz po dopisaniu nieszkodliwego 1 po lewej, otrzymujemy:

${\displaystyle 1\cdot \ldots \cdot (p-1)\equiv -1\mod p,}$ 

czyli ${\displaystyle (p-1)!+1}$  jest podzielna przez ${\displaystyle p.}$ 

Wykażemy teraz twierdzenie przeciwne i w tym celu przypuśćmy, że ${\displaystyle p}$  jest złożoną liczbą naturalną. Wtedy istnieją takie dzielniki właściwe ${\displaystyle a}$  oraz ${\displaystyle b}$  liczby ${\displaystyle p,}$  że ${\displaystyle a\cdot b=p.}$  Wtedy ${\displaystyle a\ |\ (p-1)!.}$  Zatem

${\displaystyle a\cdot b\ |\ (p-1)!\cdot b}$ 

i stąd (pamiętając, że ${\displaystyle p=a\cdot b}$ )

${\displaystyle (p-1)!\cdot b\equiv \;0\mod p,}$ 

więc

${\displaystyle (p-1)!\cdot b\not \equiv (-1)\cdot b\mod p.}$ 

Tak więc

${\displaystyle (p-1)!\ \not \equiv \ -1\mod p}$ 

i liczba ${\displaystyle (p-1)!+1}$  nie jest podzielna przez ${\displaystyle p.}$ 

Istnieje uogólnienie twierdzenia Wilsona, autorstwa Gaussa:

${\displaystyle \prod _{a=1 \atop \operatorname {NWD} (a,m)=1}^{m}\!\!a\ \equiv \ \left\{{\begin{matrix}-1\ ({\text{mod }}m)&{\text{gdy }}\ m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha },\\\quad 1\ ({\text{mod }}m)&{\text{w innych wypadkach}},\end{matrix}}\right.}$ 

gdzie ${\displaystyle p}$  jest liczbą pierwszą większą od 2.

Dla ${\displaystyle m=2}$  zachodzi

${\displaystyle -1\equiv 1({\text{mod }}2),}$ 

więc równie dobrze można dodać ${\displaystyle m=2}$  do drugiej gałęzi wzoru.

•   Twierdzenie Wilsona, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 4 października 2017 [dostęp 2024-09-04].